基于譜分析的穩(wěn)健自適應波束形成算法

李洪濤 賀亞鵬 朱曉華 胡 文

(1.南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094；2.南京航空航天大學信息科學與技術學院，江蘇 南京 210016)

引 言

自適應波束形成可以有效地抑制干擾，但在低快拍情況下、使用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣代替理想?yún)f(xié)方差矩陣或者導向矢量存在誤差時，會出現(xiàn)期望信號相消、波束形成性能下降等穩(wěn)健性問題。近年來出現(xiàn)了大量的針對波束形成穩(wěn)健性的研究：傳統(tǒng)的基于對角載入的波束形成算法是一種簡單有效的方法[1-2]，但需要正確估計對角載入的具體值；基于Krylov子空間的波束形成算法[3]，收斂速度快，但其具體截斷級數(shù)需要預先確定；基于子空間的波束形成算法[4-9]具有良好的性能，需要正確估計空間信號源數(shù)目；近幾年提出的在理論上比較嚴格的穩(wěn)健自適應波束形成算法[10-13]，其主要思想是定義不確定集并使最差性能最優(yōu)化，經(jīng)證明其與對角加載類算法等效，對角載入值的準確估計仍然不可避免；基于二階錐規(guī)劃(SOCP)以及幅度約束的穩(wěn)健自適應波束形成算法[14-15]的主要思想是形成平頂主瓣，對導向矢量誤差具有非常優(yōu)越的性能，是自適應波束形成穩(wěn)健性研究最新的成果，需要主瓣寬度參數(shù)等先驗信息。

針對上述問題，提出一種基于譜分析的穩(wěn)健自適應波束形成(SA-RAB)算法。算法利用信號空域與頻域的對稱性，根據(jù)真實導向矢量與理想導向矢量之間的誤差，將真實導向矢量視為“信號”，運用頻譜分析(SA)技術確定主瓣寬度，運用SOCP技術在主瓣寬度內(nèi)形成平頂響應，并在副瓣區(qū)域內(nèi)進行自適應干擾抑制。SA-RAB算法解決了基于SOCP技術以及幅度約束的穩(wěn)健自適應波束形成算法需要主瓣寬度先驗信息的問題，對導向矢量誤差具有非常優(yōu)越的性能，是一種穩(wěn)健的自適應波束形成算法。

1. 信號模型

考慮具有N個陣元且間距為d的均勻線陣，各陣元均為全向陣元，M個遠場窄帶非相干信號從方向(θ1,θ2, …,θM)入射到陣列，則陣列接收數(shù)據(jù)x(t)可以表示為

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

陣列的輸出為各陣元輸出觀測信號的加權和，加權矢量為ω=[ω1,ω2, …,ωN]T，其中ωk為第k個加權系數(shù)，則陣列的輸出為

y(t)=ωHx(t)

(2)

陣列輸出總功率為

E{y(t)yH(t)}=ωHRxω

(3)

式中：E{·}表示數(shù)學期望；Rx=E{x(t)xH(t)}是陣列輸入信號的協(xié)方差矩陣。

2. 基于譜分析的波束形成算法

2.1 基于SOCP的穩(wěn)健波束形成算法

基于SOCP的穩(wěn)健波束形成器[15]為

minωHRxω

‖ω‖≤ζ0

|ωHa(θ)|≤Δθ∈[-90°,θL]∪[θU,90°]

(4)

式中： [θL,θU]為主瓣寬度；δ為主瓣紋波； Δ為阻帶紋波；ζ0為波束形成穩(wěn)健性約束；ωt為主瓣寬度內(nèi)目標波束形成器加權向量。

式(4)是一個SOCP問題，現(xiàn)在有很多成熟的工具箱可解決這類問題，如利用工具箱CVX求解式(4)，可以得到基于SOCP的穩(wěn)健自適應波束形成算法加權矢量。

傳統(tǒng)基于SOCP的穩(wěn)健自適應波束形成算法中，參數(shù)δ，Δ，ζ0和ωt均可以通過實際應用具體確定，而主瓣寬度[θL,θU]沒有具體的確定準則，如果應用基于SOCP的穩(wěn)健自適應波束形成算法，則需要主瓣寬度的先驗信息。若主瓣選擇的太寬，就會引入額外的噪聲和干擾，將影響系統(tǒng)輸出信號干擾噪聲比(SINR)，若主瓣選擇的太窄，期望信號位于主瓣寬度以外，系統(tǒng)對期望信號的增益將降低，同樣會影響輸出SINR.因此，主瓣寬度是影響系統(tǒng)輸出SINR的一個重要因素。SA-RAB算法通過真實導向矢量與理想導向矢量之間的誤差確定主瓣寬度范圍，利用基于SOCP的穩(wěn)健自適應波束形成算法進行波束形成。

2.2 本文算法

(5)

設陣列主瓣對應角度為θ0，則

(6)

式(6)兩邊同時乘以一個常數(shù)‖aH(θ0)‖，得

(7)

≤‖aH(θ0)‖ε0

又‖aH(θ0)‖=1，所以

(8)

根據(jù)向量范數(shù)性質(zhì)，有

(9)

整理得到

(10)

由式(6)運用向量范數(shù)性質(zhì)，得

(11)

整理得到

(12)

因此，求解式(13)可得主瓣寬度參數(shù)θL和θU

(13)

在確定主瓣寬度后，利用式(4)可得SA-RAB算法加權矢量。

與傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成算法，當導向矢量存在誤差時，由于波束指向不再與期望信號一致，導致輸出SINR下降相比，SA-RAB算法通過準確確定波束主瓣寬度，使陣列對于期望信號增益始終保持最大，從而使系統(tǒng)在導向矢量存在誤差時可以輸出理想的SINR.

3. 仿真與性能分析

試驗1設均勻線陣由32個全向陣元構成，陣元間距d=λ/2，期望信號方向為0°，在-22°、22°各有一個互不相干的干擾，干擾的干噪比均為50 dB，快拍數(shù)為400.

圖1(a)為不同誤差上界ε0對應的SA-RAB算法的方向圖。從圖1(a)可以看出，隨著ε0的增大，SA-RAB算法方向圖的主瓣寬度也隨之展寬，且算法在多個干擾處可形成零陷，零陷平均深度達到-85 dB，滿足干擾抑制的要求。圖1(b)為SA-RAB算法方向圖主瓣展寬的示意圖。

(a) 算法方向圖

(b) 主瓣寬度圖1 SA-RAB算法方向圖

試驗2設均勻線陣由32個全向陣元構成，陣元間距d=λ/2，期望信號方向為0°，在-10°、10°、20°各有一個互不相干的干擾，干擾的干噪比均為50 dB，快拍數(shù)為400.

圖2(a)為SA-RAB算法、CAPON算法、子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨誤差上界ε0變化的對比。從圖2(a)可以看出，SA-RAB算法輸出SINR隨誤差上界ε0的增加基本保持不變，即SA-RAB算法對誤差具有良好的適應性；子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨誤差上界ε0的增加而下降；CAPON算法輸出SINR隨誤差上界ε0的增加快速下降。圖2(b)為各算法輸出SINR隨誤差上界變化的局部放大圖。

(a) 輸出SINR隨輸入變化對比

(b) 局部放大圖圖2 幾種算法輸出SINR隨ε0變化對比

試驗3設均勻線陣由32個全向陣元構成，陣元間距d=λ/2，期望信號方向為0°，在-10°、10°、20°各有一個互不相干的干擾，干擾的干噪比均為10 dB，誤差上界ε0=0.1，快拍數(shù)為400.

圖3(a)為SA-RAB算法、CAPON算法、子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨輸入信號噪聲比(SNR)變化的對比。從圖3(a)可以看出， SA-RAB算法、子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨輸入SNR增加而增加，且SA-RAB算法輸出SINR高于另外兩種算法；CAPON算法在存在導向矢量誤差的情況下，輸出SINR隨輸入SNR的增加先增加后減少。圖3(b)為各算法輸出SINR隨SNR變化的局部放大圖。

(a) 輸出SINR隨輸入SNR變化對比

(b) 局部放大圖圖 3 幾種算法輸出SINR隨輸入SNR變化對比

4. 結 論

在導向矢量存在誤差的情況下，傳統(tǒng)自適應波束形成算法存在穩(wěn)健性下降的問題。根據(jù)真實導向矢量與理想導向矢量之間的誤差，運用譜分析技術確定波束主瓣寬度，利用SOCP技術實現(xiàn)平頂主瓣自適應波束形成，提出一種SA-RAB算法，有效地解決了該問題。算法根據(jù)導向矢量誤差自適應確定主瓣寬度，在主瓣寬度內(nèi)形成平頂響應，并可有效地抑制干擾，且可輸出較高的SINR.算法對導向矢量誤差具有非常優(yōu)越的性能，是一種穩(wěn)健的自適應波束形成算法。

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