基于譜分析的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

李洪濤 賀亞鵬 朱曉華 胡 文

(1.南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210016)

引 言

自適應(yīng)波束形成可以有效地抑制干擾，但在低快拍情況下、使用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣代替理想?yún)f(xié)方差矩陣或者導(dǎo)向矢量存在誤差時(shí)，會(huì)出現(xiàn)期望信號(hào)相消、波束形成性能下降等穩(wěn)健性問(wèn)題。近年來(lái)出現(xiàn)了大量的針對(duì)波束形成穩(wěn)健性的研究：傳統(tǒng)的基于對(duì)角載入的波束形成算法是一種簡(jiǎn)單有效的方法[1-2]，但需要正確估計(jì)對(duì)角載入的具體值；基于Krylov子空間的波束形成算法[3]，收斂速度快，但其具體截?cái)嗉?jí)數(shù)需要預(yù)先確定；基于子空間的波束形成算法[4-9]具有良好的性能，需要正確估計(jì)空間信號(hào)源數(shù)目；近幾年提出的在理論上比較嚴(yán)格的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法[10-13]，其主要思想是定義不確定集并使最差性能最優(yōu)化，經(jīng)證明其與對(duì)角加載類算法等效，對(duì)角載入值的準(zhǔn)確估計(jì)仍然不可避免；基于二階錐規(guī)劃(SOCP)以及幅度約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法[14-15]的主要思想是形成平頂主瓣，對(duì)導(dǎo)向矢量誤差具有非常優(yōu)越的性能，是自適應(yīng)波束形成穩(wěn)健性研究最新的成果，需要主瓣寬度參數(shù)等先驗(yàn)信息。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出一種基于譜分析的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成(SA-RAB)算法。算法利用信號(hào)空域與頻域的對(duì)稱性，根據(jù)真實(shí)導(dǎo)向矢量與理想導(dǎo)向矢量之間的誤差，將真實(shí)導(dǎo)向矢量視為“信號(hào)”，運(yùn)用頻譜分析(SA)技術(shù)確定主瓣寬度，運(yùn)用SOCP技術(shù)在主瓣寬度內(nèi)形成平頂響應(yīng)，并在副瓣區(qū)域內(nèi)進(jìn)行自適應(yīng)干擾抑制。SA-RAB算法解決了基于SOCP技術(shù)以及幅度約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法需要主瓣寬度先驗(yàn)信息的問(wèn)題，對(duì)導(dǎo)向矢量誤差具有非常優(yōu)越的性能，是一種穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成算法。

1. 信號(hào)模型

考慮具有N個(gè)陣元且間距為d的均勻線陣，各陣元均為全向陣元，M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶非相干信號(hào)從方向(θ1,θ2, …,θM)入射到陣列，則陣列接收數(shù)據(jù)x(t)可以表示為

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

陣列的輸出為各陣元輸出觀測(cè)信號(hào)的加權(quán)和，加權(quán)矢量為ω=[ω1,ω2, …,ωN]T，其中ωk為第k個(gè)加權(quán)系數(shù)，則陣列的輸出為

y(t)=ωHx(t)

(2)

陣列輸出總功率為

E{y(t)yH(t)}=ωHRxω

(3)

式中：E{·}表示數(shù)學(xué)期望；Rx=E{x(t)xH(t)}是陣列輸入信號(hào)的協(xié)方差矩陣。

2. 基于譜分析的波束形成算法

2.1 基于SOCP的穩(wěn)健波束形成算法

基于SOCP的穩(wěn)健波束形成器[15]為

minωHRxω

‖ω‖≤ζ0

|ωHa(θ)|≤Δθ∈[-90°,θL]∪[θU,90°]

(4)

式中： [θL,θU]為主瓣寬度；δ為主瓣紋波； Δ為阻帶紋波；ζ0為波束形成穩(wěn)健性約束；ωt為主瓣寬度內(nèi)目標(biāo)波束形成器加權(quán)向量。

式(4)是一個(gè)SOCP問(wèn)題，現(xiàn)在有很多成熟的工具箱可解決這類問(wèn)題，如利用工具箱CVX求解式(4)，可以得到基于SOCP的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法加權(quán)矢量。

傳統(tǒng)基于SOCP的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法中，參數(shù)δ，Δ，ζ0和ωt均可以通過(guò)實(shí)際應(yīng)用具體確定，而主瓣寬度[θL,θU]沒(méi)有具體的確定準(zhǔn)則，如果應(yīng)用基于SOCP的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法，則需要主瓣寬度的先驗(yàn)信息。若主瓣選擇的太寬，就會(huì)引入額外的噪聲和干擾，將影響系統(tǒng)輸出信號(hào)干擾噪聲比(SINR)，若主瓣選擇的太窄，期望信號(hào)位于主瓣寬度以外，系統(tǒng)對(duì)期望信號(hào)的增益將降低，同樣會(huì)影響輸出SINR.因此，主瓣寬度是影響系統(tǒng)輸出SINR的一個(gè)重要因素。SA-RAB算法通過(guò)真實(shí)導(dǎo)向矢量與理想導(dǎo)向矢量之間的誤差確定主瓣寬度范圍，利用基于SOCP的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法進(jìn)行波束形成。

2.2 本文算法

(5)

設(shè)陣列主瓣對(duì)應(yīng)角度為θ0，則

(6)

式(6)兩邊同時(shí)乘以一個(gè)常數(shù)‖aH(θ0)‖，得

(7)

≤‖aH(θ0)‖ε0

又‖aH(θ0)‖=1，所以

(8)

根據(jù)向量范數(shù)性質(zhì)，有

(9)

整理得到

(10)

由式(6)運(yùn)用向量范數(shù)性質(zhì)，得

(11)

整理得到

(12)

因此，求解式(13)可得主瓣寬度參數(shù)θL和θU

(13)

在確定主瓣寬度后，利用式(4)可得SA-RAB算法加權(quán)矢量。

與傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成算法，當(dāng)導(dǎo)向矢量存在誤差時(shí)，由于波束指向不再與期望信號(hào)一致，導(dǎo)致輸出SINR下降相比，SA-RAB算法通過(guò)準(zhǔn)確確定波束主瓣寬度，使陣列對(duì)于期望信號(hào)增益始終保持最大，從而使系統(tǒng)在導(dǎo)向矢量存在誤差時(shí)可以輸出理想的SINR.

3. 仿真與性能分析

試驗(yàn)1設(shè)均勻線陣由32個(gè)全向陣元構(gòu)成，陣元間距d=λ/2，期望信號(hào)方向?yàn)?°，在-22°、22°各有一個(gè)互不相干的干擾，干擾的干噪比均為50 dB，快拍數(shù)為400.

圖1(a)為不同誤差上界ε0對(duì)應(yīng)的SA-RAB算法的方向圖。從圖1(a)可以看出，隨著ε0的增大，SA-RAB算法方向圖的主瓣寬度也隨之展寬，且算法在多個(gè)干擾處可形成零陷，零陷平均深度達(dá)到-85 dB，滿足干擾抑制的要求。圖1(b)為SA-RAB算法方向圖主瓣展寬的示意圖。

(a) 算法方向圖

(b) 主瓣寬度圖1 SA-RAB算法方向圖

試驗(yàn)2設(shè)均勻線陣由32個(gè)全向陣元構(gòu)成，陣元間距d=λ/2，期望信號(hào)方向?yàn)?°，在-10°、10°、20°各有一個(gè)互不相干的干擾，干擾的干噪比均為50 dB，快拍數(shù)為400.

圖2(a)為SA-RAB算法、CAPON算法、子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨誤差上界ε0變化的對(duì)比。從圖2(a)可以看出，SA-RAB算法輸出SINR隨誤差上界ε0的增加基本保持不變，即SA-RAB算法對(duì)誤差具有良好的適應(yīng)性；子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨誤差上界ε0的增加而下降；CAPON算法輸出SINR隨誤差上界ε0的增加快速下降。圖2(b)為各算法輸出SINR隨誤差上界變化的局部放大圖。

(a) 輸出SINR隨輸入變化對(duì)比

(b) 局部放大圖圖2 幾種算法輸出SINR隨ε0變化對(duì)比

試驗(yàn)3設(shè)均勻線陣由32個(gè)全向陣元構(gòu)成，陣元間距d=λ/2，期望信號(hào)方向?yàn)?°，在-10°、10°、20°各有一個(gè)互不相干的干擾，干擾的干噪比均為10 dB，誤差上界ε0=0.1，快拍數(shù)為400.

圖3(a)為SA-RAB算法、CAPON算法、子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨輸入信號(hào)噪聲比(SNR)變化的對(duì)比。從圖3(a)可以看出， SA-RAB算法、子空間算法與SOCP算法輸出SINR隨輸入SNR增加而增加，且SA-RAB算法輸出SINR高于另外兩種算法；CAPON算法在存在導(dǎo)向矢量誤差的情況下，輸出SINR隨輸入SNR的增加先增加后減少。圖3(b)為各算法輸出SINR隨SNR變化的局部放大圖。

(a) 輸出SINR隨輸入SNR變化對(duì)比

(b) 局部放大圖圖 3 幾種算法輸出SINR隨輸入SNR變化對(duì)比

4. 結(jié) 論

在導(dǎo)向矢量存在誤差的情況下，傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成算法存在穩(wěn)健性下降的問(wèn)題。根據(jù)真實(shí)導(dǎo)向矢量與理想導(dǎo)向矢量之間的誤差，運(yùn)用譜分析技術(shù)確定波束主瓣寬度，利用SOCP技術(shù)實(shí)現(xiàn)平頂主瓣自適應(yīng)波束形成，提出一種SA-RAB算法，有效地解決了該問(wèn)題。算法根據(jù)導(dǎo)向矢量誤差自適應(yīng)確定主瓣寬度，在主瓣寬度內(nèi)形成平頂響應(yīng)，并可有效地抑制干擾，且可輸出較高的SINR.算法對(duì)導(dǎo)向矢量誤差具有非常優(yōu)越的性能，是一種穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成算法。

[1] CARLSON B D．Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arrays[J]．IEEE Transactions on Aerospace and Electronic systems, 1988, 24(4): 397-401.

[2] 曾 操, 廖桂生, 楊志偉. 一種加載量迭代搜索的穩(wěn)健波束形成[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 22(5): 779-784.

ZENG Cao, LIAO Guisheng, YANG Zhiwei. Diagonal loading level estimation for robust beamforming[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2007, 22(5): 779-784. (in Chinese)

[3] GOLDSTEIN J S, REED I S, SCHARF L L. A multistage representation of the Wiener filter based on orthogonal projections [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1998, 44(7): 2943-2959.

[4] HAIMOVICH A M, BAR-NESS Y. An eigenanalysis interference Canceler[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1991, 39(1): 76-84.

[5] FELDMAN D D, GRIFFITHS L J. A projection approach for robust adaptive beamforming[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(4): 867-876.

[6]YU J L, YEH C C. Generalized eigenspace-based beamformers [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1995, 43(11): 2453-2461.

[7] 劉桂瑜, 廖桂生, 陶海紅. 一種樣本污染且快拍數(shù)有限情況下的穩(wěn)健的波束形成方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2009, 31(1): 192-195.

LIU Guiyu, LIAO Guisheng, TAO Haihong. A robust beamforming method in the situation of sample pollution and limited snapshots[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2009, 31(1): 192-195. (in Chinese)

[8] 曾 浩, 楊士中, 馮文江. 基于SVD的特征空間波束合成器[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 23(6): 1194-1198.

ZENG Hao, YANG Shizhong, FENG Wenjiang. Eigenspace beamforming based on SVD[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2008, 23(6): 1194-1198. (in Chinese)

[9] 沈怡平, 騰升華. 基于四階累積量的穩(wěn)健波束形成算法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 23(6): 1056-1060.

SHEN Yiping, TENG Shenghua. Fourth-order cumulant based robust blind beamforming algorithm[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2008, 23(6): 1056-1060. (in Chinese)

[10]LI Jian, STOTICA P, WANG Zhisong. On robust capon beamformer and diagonal loading[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2003, 51(7): 1702-1715.

[11] LI Jian, STOTICA P, WANG Zhisong. Doubly constrained robust capon beamformer[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, 52(9): 2407-2423.

[12] ELNASHAR A, ELNOUBI S M, EL-MIKATI H A. further study on robust adaptive beamforming with optimum diagonal loading[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(12): 3647-3658.

[13]VOROBYOV S A, GERSHMAN A B, LUO Zhiquan. Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization: a solution to the signal mismatch problem[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2003, 51(2): 313-324.

[14] ZHU L Y, SER W, ER M H, et al. Robust adaptive beamformers based on worst-case optimization and constraints on magnitude response[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(7): 2615-2628.

[15] 鄢社鋒, 馬遠(yuǎn)良. 傳感器陣列波束優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2009.