基于阻抗分析法的壓電片尺寸分析

曹艷芹，鄧國(guó)紅，楊鄂川，歐 健

(重慶理工大學(xué) 重慶汽車(chē)學(xué)院，重慶 400054)

壓電陶瓷因其具有體積小、質(zhì)量小、機(jī)電轉(zhuǎn)換效率高等特點(diǎn)，是振動(dòng)控制技術(shù)中一種很好的作動(dòng)器元件。影響振動(dòng)控制效果的因素主要有智能材料的位置、數(shù)量以及尺寸等，合理的布置與尺寸能在較小的能量損耗下最大限度地抑制振動(dòng)。目前，智能材料的優(yōu)化配置方法主要有基于系統(tǒng)可控性和可觀性準(zhǔn)則、基于系統(tǒng)能量準(zhǔn)則、基于控制和觀測(cè)溢出的配置準(zhǔn)則以及應(yīng)變能準(zhǔn)則等［1－3］。文獻(xiàn)［4］指出在智能結(jié)構(gòu)中壓電元件存在一最佳厚度使有效彎矩最大。文獻(xiàn)［5］采用LQR法討論了壓電片位置和大小對(duì)控制效果的影響。文獻(xiàn)［6］采用提出的優(yōu)化模型及算法對(duì)懸臂梁壓電片的位置、尺寸和控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

阻抗法與其他方法相比，優(yōu)點(diǎn)是能抓住PZT片與結(jié)構(gòu)之間機(jī)電耦合的物理實(shí)質(zhì)，更方便地建立更完善的理論模型［7］。文獻(xiàn)［8］用阻抗分析法對(duì)薄板和薄圓筒進(jìn)行建模分析，并且與靜力法和實(shí)驗(yàn)法所得結(jié)果進(jìn)行比較，說(shuō)明阻抗分析法比靜力法更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。文獻(xiàn)［9］比較了靜力法、動(dòng)態(tài)有限元法和阻抗法3種分析方法，指出:靜力法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是會(huì)產(chǎn)生較大誤差;動(dòng)態(tài)有限元法可以準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，但是不能反映系統(tǒng)的物理實(shí)質(zhì);阻抗法不僅能反映系統(tǒng)的物理實(shí)質(zhì)，而且能更精確地反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在國(guó)內(nèi)，對(duì)于阻抗分析法也有研究，如文獻(xiàn)［10］采用阻抗分析法考察不同尺寸的壓電片產(chǎn)生的作用力情況，并進(jìn)行了驗(yàn)證。

本文就四邊簡(jiǎn)支壓電薄板結(jié)構(gòu)的尺寸問(wèn)題進(jìn)行了研究和探討。首先介紹了靜力法與阻抗分析法的相關(guān)理論，并在Matlab軟件中對(duì)貼有不同尺寸的壓電薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，計(jì)算出不同尺寸壓電片產(chǎn)生的等效彎矩，將結(jié)果進(jìn)行比較。通過(guò)對(duì)比分析，根據(jù)不同尺寸的壓電片所產(chǎn)生的等效彎矩選擇出最佳壓電片。

1 靜力法與阻抗分析法

1.1 靜力法

考慮上下表面對(duì)稱(chēng)粘貼壓電片的四邊簡(jiǎn)支薄板，如圖1所示。a、b和h分別為薄板的長(zhǎng)、寬和厚度;x1、x2、y1、y2為壓電片粘貼在薄板上的位置坐標(biāo);Mx、My分別為在外電場(chǎng)作用下壓電片產(chǎn)生沿x、y方向的等效彎矩;u、v分別為在外電場(chǎng)作用下壓電片沿x、y方向的位移。

在靜力法中，假定對(duì)于粘貼在薄板上并在x和y方向產(chǎn)生大小相等的自由應(yīng)變的作動(dòng)器，在x和y方向上的正應(yīng)力也將相等，也就是在x和y方向產(chǎn)生的等效分布彎矩相等，并且等效分布彎矩與輸入頻率無(wú)關(guān)，這顯然不能正確反映壓電片與薄板之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，與實(shí)際情況有差距。文獻(xiàn)［11］對(duì)粘貼有壓電作動(dòng)器的薄板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)于粘貼層厚度為0的情況(一般假定)，可以得到沿x和y方向的等效分布彎矩(單位長(zhǎng)度的彎矩)為

其中:

式(1)～(5)中:h、hp為薄板與壓電片的厚度;E、Ep為薄板與壓電片的彈性模量;μ、μp為薄板與壓電片的泊松比;V為所加電壓;d31、d32為壓電片的壓電常數(shù)。

圖1 貼有壓電片的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板結(jié)構(gòu)

從式(1)～(5)可以計(jì)算出使作動(dòng)器產(chǎn)生最大分布彎矩的最佳壓電作動(dòng)器與薄板厚度的比值，不能反映分布彎矩與壓電片的大小尺寸的關(guān)系，并且分布彎矩與輸入頻率無(wú)關(guān)。通過(guò)以上數(shù)學(xué)模型，有研究結(jié)果表明所用作動(dòng)器最佳厚度約為鋼板厚度的一半，對(duì)于鋁板約為其厚度的四分之一。但是，也可以看出靜力法并不能確定或者選擇出最佳作動(dòng)器的長(zhǎng)寬尺寸，也不能反映系統(tǒng)與輸入頻率的動(dòng)態(tài)關(guān)系。

1.2 阻抗分析法

在阻抗分析法中，定義

其中Z是系統(tǒng)的機(jī)械阻抗。在如圖1所示的二維薄板結(jié)構(gòu)中，若沿z方向外加一個(gè)電壓，則壓電片產(chǎn)生的等效力為

其中Fx、Fy分別表示x和y方向上的等效力;Zxx、Zyy表示結(jié)構(gòu)的直接阻抗;Zxy、Zyx表示結(jié)構(gòu)的交叉阻抗分別表示壓電片沿x和y方向上的速度響應(yīng)。式中的負(fù)號(hào)表示結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與壓電片產(chǎn)生的等效力方向相反。

由機(jī)械阻抗理論(阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系)知:

其中Q矩陣表示系統(tǒng)的機(jī)械導(dǎo)納，它們分別為:

式中:ρ表示薄板的密度;ω表示輸入頻率;ωmn表示薄板的固有頻率，可以由以下式求出［12］:

由彈性理論和薄板理論推導(dǎo)出壓電作動(dòng)器產(chǎn)生的等效分布力(彎矩)，即單位長(zhǎng)度的等效力(彎矩):

式中的N為:

其中Zpx和Zpy表示短路時(shí)壓電片在作用點(diǎn)處的輸入阻抗，

式中kp表示各向同性壓電材料的波數(shù)，

其中:ρp為壓電片的密度為壓電片的復(fù)彈性模量;η為損耗因子。

對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言，壓電片產(chǎn)生的等效彎矩為:

式中δ()·和h()·分別為Direc-delta和Heaviside函數(shù)。

由式(7)～(17)可以看出，壓電片產(chǎn)生的等效彎矩是與輸入頻率、壓電片位置尺寸有關(guān)的函數(shù)，通過(guò)此方法計(jì)算出在壓電片尺寸不同，其他條件均相同時(shí)壓電片產(chǎn)生的等效彎矩，進(jìn)而比較彎矩的大小，從而選擇出最佳壓電片尺寸。

2 數(shù)值建模與仿真

一塊四邊簡(jiǎn)支的矩形鋁制薄板，尺寸為300 mm×200 mm×1mm，板的實(shí)彈性模量為6.8 ×1010Pa，體密度為 2 800 kg/m3，薄板上下表面中心處均貼有壓電片。壓電片的實(shí)彈性模量為6.3 ×1010Pa，體密度為 7 650 kg/m3，壓電常數(shù)d31=d32=1.6×10－10m/V。薄板與壓電片的泊松比分別為0.33、0.3，損耗因子均為0.005。外加電壓幅值為100 V。

利用四邊簡(jiǎn)支薄板彈性理論，計(jì)算出薄板的固有頻率，如表1所示。

表1 四邊簡(jiǎn)支薄板的固有頻率 Hz

選擇尺寸分別為40 mm×20 mm×0.8 mm，40 mm×20 mm ×0.2 mm，50 mm ×20 mm ×0.2 mm，50 mm×30 mm×0.2 mm的壓電片，并給它們依次編號(hào)為p1，p2，p3，p4。下面根據(jù)阻抗分析法分別計(jì)算在其他條件相同的情況下，不同尺寸的壓電片置于薄板中心處所產(chǎn)生的等效彎矩，計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2中，壓電片產(chǎn)生的等效彎矩是頻率的函數(shù)，在靠近板的固有頻率(1，1)，(2，2)處等效彎矩的幅值變化較大，這是壓電片與薄板動(dòng)態(tài)耦合的結(jié)果。

圖2(a)和(b)分別表示p1和p2產(chǎn)生的等效彎矩Mx、My，通過(guò)比較可看出p2產(chǎn)生的等效彎矩比p1大;圖2(c)和(d)分別表示p2和p3產(chǎn)生的等效彎矩Mx、My，通過(guò)比較可看出p3產(chǎn)生的等效彎矩比p2大;圖2(e)和(f)分別表示p3和p4產(chǎn)生的等效彎矩Mx、My，通過(guò)比較可看出p4產(chǎn)生的等效彎矩比p3大。由上面的比較結(jié)果可以說(shuō)明4種壓電片產(chǎn)生的等效彎矩由大到小是p4、p3、p2、p1，由此可以確定在本文所研究的結(jié)構(gòu)中選用p4作為壓電作動(dòng)器，產(chǎn)生的等效彎矩相對(duì)最大。

經(jīng)由以上結(jié)果對(duì)比分析可見(jiàn):壓電片長(zhǎng)寬尺寸相同時(shí)，厚度的大小對(duì)等效彎矩的大小關(guān)系很大，厚度較小時(shí)產(chǎn)生的等效彎矩大;壓電片厚度相同時(shí)，壓電片面積越大產(chǎn)生的等效彎矩越大。

圖2 不同尺寸壓電片產(chǎn)生的等效彎矩

3 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)壓電片尺寸問(wèn)題，利用阻抗分析法對(duì)貼用不同尺寸壓電片的四邊簡(jiǎn)支壓電薄板進(jìn)行分析，計(jì)算出單對(duì)壓電片作用于薄板中心位置處的產(chǎn)生的等效彎矩大小，通過(guò)對(duì)比可以選擇出最佳壓電片，并得出相關(guān)結(jié)論。本文只討論了單對(duì)壓電片作用下的簡(jiǎn)支薄板結(jié)構(gòu)，對(duì)多對(duì)壓電片作用下以及其他支撐形式的壓電薄板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的等效彎矩需進(jìn)一步研究。另外，對(duì)壓電片大小的最優(yōu)化問(wèn)題亦需進(jìn)一步分析。

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