中下承式拱橋吊桿應力沖擊系數不均勻性研究

朱勁松，邑 強

(1.天津大學 建筑工程學院，天津 300072;2.天津大學 濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

拱橋吊桿是中下承式拱橋的關鍵受力構件。吊桿失效輕則引起吊桿靜張力的重分布［1］，對拱橋結構整體受力安全產生不利影響，重則引起橋面坍塌等惡性事故的發生。引起吊桿失效甚至過早失效的主要原因是吊桿在運營中受到車輛荷載作用。更重要的是，車輛過橋還會對吊桿產生沖擊作用，增大其循環應力幅。對于橋梁的不同部位，車輛荷載所產生的沖擊效應也不一致［2］，車輛對拱橋吊桿產生的沖擊作用亦是如此。因此，有必要對吊桿所受沖擊效應不均勻性進行研究，研究結果對拱橋吊桿的設計以及運營期維護具有指導意義。

國內外很多學者對橋梁結構所受移動車輛荷載沖擊效應進行了研究，并取得了顯著的成果。Huang［3］對跨度在200 m以內的中承式鋼管混凝土拱橋的動力特性和沖擊系數進行了研究，提出了相關的計算公式。文獻［4］對簡支梁橋在移動車輛荷載作用下的動力沖擊效應進行了計算分析與現場試驗研究。文獻［5］采用7自由度的整車模型，混凝土裂縫分為開口裂縫和呼吸裂縫兩種類型，對不同裂縫類型、裂縫出現位置、裂縫參數及車輛組合等因素對橋梁沖擊系數的影響進行了分析。文獻［6］利用多體系統動力學軟件SIMPACK建立三維空間車輛精細化模型，針對瓊洲海峽跨海超大跨度斜拉橋方案，采用基于多體系統動力學與有限元結合的聯合仿真技術，計算列車以不同車速單線行車和雙向對開通過該大跨度斜拉橋的空間耦合振動響應。文獻［7］基于ANSYS提出了簡便的分離迭代解法進行車橋耦合振動分析，考慮車輛在曲線梁橋上的行駛偏心，分析了曲率半徑和車速對曲線梁橋沖擊效應的影響。Bruno等［8］研究了大跨度斜拉橋在移動荷載作用下的動力響應，分析了包括斜拉索在內的結構多處的動力沖擊系數。Lei等［9］分析了大跨箱型梁橋在車輛荷載作用下的動力響應。Hamidi等［10］分析了車輛軸距與橋梁跨度的比值對結構動力響應的影響，并提出了簡支梁橋動力沖擊系數取用參考公式。Wu等［11－12］中提出了車橋耦合振動中各參數都具有不確定性，作者以能夠考慮這些不確定因素的隨機有限元法分析了橋梁結構在移動車輛作用下的動力響應。但大部分研究都集中在橋梁主梁在車輛荷載作用下的動力反應，主要關注跨中位移、速度、加速度響應，很少關注移動車輛荷載對拱橋吊桿的動力沖擊作用。

為了分析公路車輛動力作用下的拱橋吊桿沖擊系數不均勻性，本文基于D'Alembert原理，導出了兩軸車輛模型的振動方程，根據車輛與橋梁接觸點處位移與力的協調條件耦合二者的振動方程，并且考慮了橋上路面不平順的影響;采用Newmark－β求解，編制了計算程序VBAP;最后以某鋼管混凝土拱橋為例，利用本文方法與程序分析了結構阻尼、橋上路面粗糙度、車重及車速對吊桿應力沖擊系數的影響。所得結論可為同類橋梁吊桿設計與運營期的維護提供理論指導。

1 動力響應分析

1.1 橋梁模型

為了分析拱橋在行駛車輛作用下的動力響應，本文對橋梁結構進行了有限元離散。離散后，橋梁動力方程為:

本文以瑞雷阻尼［13］的形式考慮橋梁結構阻尼:

式中，C為結構的阻尼矩陣，M，K分別為結構質量矩陣和剛度矩陣。α0，β0由式(3)、(4)求得:

式中:ω01，ω02分別為結構第一階和第二階自振頻率。ξ1，ξ2分別為結構的第一階和第二階模態阻尼。

1.2 車輛模型

圖1 車輛模型Fig.1 Model of vehicle

將車輛簡化為如圖1所示的兩軸車力學模型。車體簡化為一個具有質量m2，繞質心轉動慣量為J的剛體，兩軸距離為l，車輪的質量分別為m1，m3。車輪與地面的相互作用以及車體與車輪之間的連接均用彈簧阻尼系統模擬。車輪與橋面相互作用的剛度系數與阻尼系數分別為k1，c1以及k4，c4，車體與車輪間連接的剛度與阻尼系數分別為k2，c2和k3，c3。該模型具有8個自由度，即車輪的豎向位移y1，y4，車輪與橋面接觸處的位移z1，z2，車體兩端的豎向位移 y2，y3，車體質心處的位移和轉角yc，θ。其中z1，z2與橋面位移耦合，yc，θ 可用 y2，y3表示，即:

因此該模型獨立自由度共四個，其位移向量可寫成:

對車輛各剛體進行受力分析，根據達朗貝爾原理可列出車輛的振動方程:

為便于編程，將方程整理成矩陣形式:

其中:

表1 車輛模型參數Tab.1 Parameters of vehicle model

本文所用20 t車輛模型參數如表1所示［9］，在此基礎上通過修改車體質量m2得到15 t，30 t車輛參數。

1.3 橋面粗糙度模型

表2 路面分級情況Tab.2 Road surface classification

橋上路面不平順在車橋耦合振動中不容忽視。由文獻［14］可知，橋面不平順可描述為一個零均值服從穩態Gauss分布的隨機過程，給定路面不平順功率譜后，可通過多種方法模擬得到路面不平順樣本。本文采用三角級數疊加法［15］模擬路面不平順:

其中，r(x)為路面不平順樣本函數，αk為余弦函數的幅值，ωk為位于功率譜密度的定義區間［ω1，ωu］內的頻率。θk為均勻分布在0和2π之間的隨機相位角，x為局部坐標，表示橋上某點距車輛上橋端的距離，N為模擬隨機不平順的點數。S(ωk)是功率譜密度函數，在區間［ω1，ωu］內定義為路面不平順空間頻率的函數［14］:

式中，指數 β 取1.94，α 是不平順系數，見文獻［16］，橋上路面粗糙度可被劃分為5個等級，各等級路面不平順系數α見表2。

1.4 車橋耦合振動分析

假設車輛在行駛過程中與橋面一直接觸，車輪與橋面相互作用力可以表示為:

式中，下標i表示第i個車輪與橋面接觸點;Δi(t)為第i個車輪t時刻相對于橋面的垂直位移，其表達式為:

式中，yi(t)為第i個車輪t時刻的豎向位移，zi(t)為橋面t時刻在第i個車輪與橋面接觸點處的豎向位移，ri為第i個車輪與橋面接觸點處的橋面不平順樣本值。

車輛與橋梁作為兩個子系統，其動力方程通過車輪與橋面接觸點處位移相同、相互作用力大小相等耦合起來。由于車輛與橋梁之間的相互作用力與車輛的運動狀態以及橋梁的變形都有關，因此需要迭代求解這兩組耦合的、時變的二階微分方程組。

本文采用Newmark-β法，基于matlab語言編制了車橋耦合振動分析程序VBAP，計算流程如圖2所示。

圖2 車橋耦合振動分析流程圖Fig.2 Simulation procedure of vehicle-bridge coupled vibration

1.5 沖擊系數

［17］中沖擊系數μ的定義，將吊桿應力沖擊系數定義為:

其中，σdmax為動力分析時吊桿應力最大值，σsmax為靜力作用下吊桿應力最大值。

2 算例分析

2.1 分析模型

以某鋼管混凝土拱橋為例分析公路車輛動力作用下的吊桿沖擊系數的不均勻性問題。該橋主橋為單跨88 m下承式鋼管混凝土系桿拱橋，橫橋向設二片拱肋。計算跨徑86 m，矢高21.5 m，矢跨比1/4，拱軸線為m=1.0的懸鏈線。橋梁結構主要由鋼管混凝土拱肋、預應力混凝土系梁、端橫梁、中橫梁、吊桿及橋面板組成，總體布置如圖3所示。

圖3 拱橋總體布置圖(單位:cm)Fig.3 The overall drawing of the arch bridge(Unit:cm)

利用通用有限元軟件ANSYS建立二維有限元模型。拱肋與主梁均采用梁單元模擬，吊桿采用桿單元模擬。其中，對于拱肋部分，采用組合梁單元模擬鋼管與混凝土。模型邊界條件為:左端固定鉸支座，右端滑移支座。整個模型共703個單元，516個節點。

2.2 分析結果

2.2.1 結構自振特性分析

運用ANSYS對上述下承式吊桿拱橋進行模態分析，前四階自振頻率及振型描述如表3所示。前四階振型如圖4所示。

表3 橋梁前四階自振頻率及振型描述Tab.3 The first 4 natural frequencies and mode shapes description of the bridge

圖4 橋梁前四階振型Fig.4 The first 4 mode shapes of the bridge

該橋一階自振頻率為 1.42Hz，根據規定［17］，該橋的沖擊系數應取為0.05。

2.2.2 車橋耦合振動對比分析

用自編的車橋耦合振動分析程序VBAP對20 t車以70 km/h的速度過橋進行了分析，分析中假設橋面絕對光滑。作為對比，在ANSYS中將車輛簡化為移動荷載模型，用瞬態分析對該過程進行了數值模擬。兩種分析方法所得1#吊桿應力時程曲線與靜力分析所得1#吊桿應力如圖5所示。由圖5可見，結構在移動荷載模型作用下，1#吊桿的應力時程曲線只是在靜力影響線的基礎上有所偏移。兩軸車輛模型作用下分析得到的1#吊桿應力最大值分別是靜力荷載作用下應力最大值和移動荷載作用下應力最大值的1.13倍和1.2倍。移動荷載模型作用下，1#吊桿應力幅為6.23 MPa，而兩軸車輛模型作用下，1#吊桿應力幅達到8.0 MPa，分別是移動荷載模型作用下應力幅和靜力分析下應力幅的1.28倍和1.21倍。因此，即使不考慮路面不平順的影響，簡單的把車輛簡化為移動荷載模型進行分析所得到的結果偏小，是不可靠的。

圖5 1#吊桿應力Fig.5 The stress of the 1#suspender

圖6 單車總輪壓荷載Fig.6 Summation of reaction forces of tires

圖7 路面粗糙度對沖擊系數的影響Fig.7 Impact factors varying with road roughness

2.2.3 輪壓荷載放大效應

為了分析車橋耦合振動對輪壓荷載產生的放大效應，計算了20 t車以80 km/h的速度在三種粗糙度等級橋面下過橋，車輛總輪壓荷載的變化情況，結構阻尼比設為0.02，得到的單車總輪壓荷載如圖6所示。結果顯示，總輪壓荷載靜力值為常數196 kN，隨著路面粗糙度增大，輪壓荷載的振幅也跟著增大，在粗糙度等級為“差”條件下，輪壓荷載達378.7 kN，超過靜態輪壓93%。

2.2.4 吊桿沖擊系數不均勻性分析

為分析不同位置吊桿沖擊系數的不均勻性，選取分別位于橋梁端部、1/4 跨、跨中、3/4 跨的1#、5#、8#、11#、15#吊桿作為研究對象。在下文的分析中，車輛均以勻速自左向右通過橋梁。

2.2.4.1 橋上路面粗糙度對吊桿應力沖擊系數的影響

為了比較不同路面粗糙度對沖擊系數的影響，分析五種等級路面下，20 t汽車以80 km/h通過該橋時橋梁結構的動力響應，結果如圖7所示。

由圖7可見，5根吊桿的應力沖擊系數在路面粗糙度等級為“較好”或者更差時均高于我國規范中對該橋沖擊系數的取值。吊桿應力沖擊系數隨著路面粗糙度增大而增大。以“一般”路面粗糙度等級為分界線，路面退化到“一般”以下對吊桿應力沖擊系數的影響迅速增大。路面粗糙度由“一般”退化到“很差”，跨中的8#吊桿應力沖擊系數增大了0.16，而1#吊桿應力沖擊系數增大了0.83，是8#吊桿應力沖擊系數增幅的5.2倍。因此，路面的退化、路面粗糙度的增大對短吊桿的影響要大于對跨中附近吊桿的影響。所以，運營中維持該橋路面平整可以有效降低短吊桿所受車輛荷載沖擊作用，延長其使用壽命。

2.2.4.2 車速及車重對吊桿應力沖擊系數的影響

為了分析車速及車重對沖擊系數的影響，計算了15 t、20 t和30 t三種重量的汽車分別以30～120 km/h的速度通過該橋，路面粗糙度為一般，橋梁結構阻尼比取0.02，計算結果如圖8所示。隨著車速的增大，5根吊桿的應力沖擊系數總體都呈減小趨勢。因此，車輛以較高的車速通過可使吊桿受到較小的沖擊作用。當三種重量的車輛都以60 km/h以上的速度過橋時，1#、15#端部短吊桿應力沖擊系數變化幅度在0.5左右，1/4跨5#吊桿與3/4跨11#吊桿應力沖擊系數變化幅度在0.3左右，跨中8#吊桿應力沖擊系數變化幅度為0.16。因此，相比較而言，在橋梁的運營期間，端部短吊桿的應力沖擊系數變化幅度最大，對車重的變化最敏感。另外，車重增加會使吊桿應力沖擊系數有所降低。這可以通過車輛質量的增加會增大車輛的慣性，從而使車輛行駛更穩定，對結構沖擊作用較小來解釋。

圖8 不同車重及車速下吊桿應力沖擊系數Fig.8 Stress impact factors of suspenders varying with vehicle speed and weight

2.2.4.3 結構阻尼對吊桿應力沖擊系數的影響

為了分析結構阻尼對撓度沖擊系數的影響，計算了路面粗糙度等級為一般時，20 t車以80 km/h的速度過橋，橋梁結構阻尼比為 0.01、0.02、0.03 三種情況下的吊桿沖擊系數，結果如圖9所示。當結構阻尼比由0.01升至0.02，除5#吊桿外其他4根吊桿沖擊系數都有不同程度的下降。其中，以15#吊桿應力沖擊系數下降了60%，變化幅度最大。但是，當結構阻尼比由0.02升至0.03時，5根吊桿應力沖擊系數都有所上升，上升幅度最大的仍是15#吊桿，上升了45%。因此，單純的增大結構阻尼比并不能減小吊桿應力沖擊系數，而是存在一個最優的阻尼比使吊桿受到的沖擊作用最小。另外，與其他位置處的吊桿相比，橋梁兩端的短吊桿對結構阻尼的變化更敏感。

圖9 橋梁結構不同阻尼比下沖擊系數Fig.9 Impact factors varying with damping ratio of bridge

3 結論

(1)車橋耦合振動對輪壓荷載具有放大效應。

(2)路面的退化、路面粗糙度的增大對橋梁端部短吊桿的影響要大于對跨中附近吊桿的影響，路面退化到“一般”以下對吊桿應力沖擊系數的影響迅速增大，運營中維持該橋路面平整可以有效降低短吊桿所受汽車荷載沖擊作用，延長其使用壽命。

(3)吊桿應力沖擊系數隨車速增大而減小，使車輛以較高的車速通過該橋可使吊桿受到較小的沖擊作用。

(4)端部短吊桿對車重的變化最敏感，空車過橋比滿載車輛過橋所產生的沖擊系數更大。

(5)單純的增大結構阻尼比并不能減小吊桿應力沖擊系數，而是存在一個最優的阻尼比使吊桿受到的沖擊作用最小。與其他位置處的吊桿相比，橋梁兩端的短吊桿對結構阻尼的變化更敏感。

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