股骨假體熱應力有限元分析

王沫楠，王紅晶，杜志江

(1.哈爾濱工業大學機器人技術與系統國家重點實驗室，150080 哈爾濱;2.哈爾濱理工大學機械動力工程學院，150080 哈爾濱)

股骨假體熱應力有限元分析

王沫楠1，2，王紅晶2，杜志江1

(1.哈爾濱工業大學機器人技術與系統國家重點實驗室，150080 哈爾濱;2.哈爾濱理工大學機械動力工程學院，150080 哈爾濱)

為定量研究材料熱物性對股骨－假體系統應力的影響，以熱彈性力學為基礎，利用有限元方法對髖關節置換后股骨－假體系統的應力進行分析.假設假體、骨水泥、股骨為線彈性和各向同性材料且完全結合的同心圓柱體，經力學分析和有限元仿真，分別求得鈦合金和鈷鉻合金作為假體材料時考慮熱效應前后的假體/骨水泥、骨水泥/股骨隨軸向位置分布的界面剪切應力以及假體、骨水泥、股骨的軸向應力.結果表明:界面失效是股骨－假體系統的主要失效形式，熱效應使界面產生了混合而不是純剪切的失效形式，加快了股骨－假體系統的界面失效，加速了假體柄的松動;由于鈷鉻合金的熱膨脹系數大于鈦合金，鈷鉻合金作為假體材料時更易引起界面失效，導致手術失敗.選擇熱膨脹系數小的假體材料，可以減小界面失效的可能性，提高手術成功率.

股骨;假體;鈦合金假體;鈷鉻合金假體;熱應力;有限元分析

近年來人工關節置換術迅速發展，歐美等發達國家每年僅人工髖、膝關節置換的數量就超過5×105人次，據推算我國也有10×105左右的病人需要人工關節手術［1］，其中又以髖關節置換最為廣泛.當假體植入骨組織內，假體與組織之間的界面不僅僅是分界線，而是一個相互作用區域［2－3］.股骨假體系統較易發生以下兩種失效，從而導致手術的失敗:第一，由于應力遮擋的存在，置換后的假體將承擔大部分的載荷，而股骨所承擔的載荷會大大減小，根據Wolff定律，應力遮擋的股骨將產生骨吸收，引起假體柄的松動，導致手術失敗;第二，置換后股骨系統靠接觸界面傳遞應力，不適合的假體材料選擇和假體外形設計也會導致手術失敗率的增加.選擇假體時，不僅要考慮在幾何學的匹配，還要在生物力學性能上達到最優，這對提高置換術后療效具有現實意義［4］.有關假體的研究主要集中在幾何形狀和材料的強度、密度、彈性模量等對置換效果的影響上，而關于材料的熱物性對導致股骨假體置換失效影響的研究卻鮮見報道.相關文獻研究了股骨假體置換界面的應力模型，但未考慮熱效應的影響，不能真實反映股骨假體的受力情況.由于假體柄通常是通過骨水泥與股骨粘結的［5］，而骨水泥材料主要是聚甲基丙烯酸甲酯(polymethyl methacrylate，PMMA)，具有比股骨高得多的熱膨脹系數，在較高的溫差下，它的存在將極大影響界面應力傳遞的效率.同樣，不同熱膨脹系數的假體材料也會對界面應力傳遞效率產生不同的影響.所以，研究在考慮熱效應條件下不同假體材料的股骨－假體系統應力傳遞規律具有重要意義.

目前，髖關節置換中使用的假體材料多種多樣，其中用得最多的是鈷鉻合金和鈦合金［6］.本文將分別選用鈷鉻合金和鈦合金作為假體材料，以熱彈性力學為基礎，運用有限元軟件分析在熱效應下兩種假體材料股骨－假體系統的應力分布規律，為假體材料的選擇提供參考.

1 股骨假體熱應力分析

假設假體、骨水泥、股骨為線彈性和各向同性材料，在置換后它們是同心圓柱體，且完全結合，則當考慮熱效應時，假體柄(用p表示)、骨水泥(用c表示)、股骨(用f表示)的軸向應力－應變關系分別如下:

式中，ε、u和σ分別表示應變、位移和應力，α為熱膨脹系數，E為彈性模量，Δt表示從某個高溫(本文為體溫37℃)冷卻到室溫(20℃)的溫差，Δt一般為負數.

骨水泥和股骨中的剪切應力可分別表達為

式中:τ為剪切應力;G為剪切模量，且 G=0.5E/(1+v);v是泊松比，r為徑向位移.

骨水泥和股骨沿軸向應力的平均值為

假體柄軸向應力、骨水泥和股骨中的平均軸向應力滿足下面的平衡關系:

式中，σ為在站立條件下人的體重作用于單個髖關節上的壓應力.

聯立式(1)～(6)就可以求得假體、骨水泥、股骨的軸向應力和假體/骨水泥、骨水泥/股骨的界面剪切應力.

2 股骨假體熱應力有限元模型

有限元法(FEM)將研究對象的連續求解區域離散為一組有限個、且按一定方式相互聯結在一起的單元組合體，然后對單元(小區域)進行分析，最后再整體分析.

熱應力分析實際包括熱分析和應力分析，運用有限元方法進行熱應力分析，是對這兩種分析的耦合.

熱分析時，根據熱傳導微分方程

進行推導，最后得出其有限元計算通式

應力分析時，則根據 {σe}={εe}+［De］計算出單元應力.

將各單元按一定的邊界條件進行整合分析，即可求出模型的溫度和應力分布.最后根據

進行計算，可求出模型的熱應力.其中，{ε}為總的應變向量;{ε}T為由溫度引起的應變向量;{ε}σ為應力引起的應變向量.

運用有限元分析軟件求解，首先定義了材料屬性，并按照考察對象的實際情況添加了邊界條件，分析在考慮熱效應前后同種假體材料股骨－假體系統各應力隨軸向位置的分布規律和研究在熱效應影響下不同假體材料各應力的區別.

2.1 材料屬性

分別采用鈷鉻合金和鈦合金作為假體材料，由于股骨的骨松質部分幾乎全部為假體柄所代替，因此假設股骨的材料特性近似為骨密質.

密質骨、骨水泥、鈷鉻合金和鈦合金的材料屬性如表1.

表 1 材料屬性［7－11］

2.2 邊界條件及載荷

假設成年人體重為m=60 kg，髖關節承受的壓力約為體重的6～7倍［12］，則作用在單個髖關節上的壓力約為p=2 000 N，壓應力大小為σ=p/(πa2)=25.5 MPa.在施加壓力時對股骨末端進行約束，考慮熱效應時假設材料溫度為20℃，人體溫度為37℃.

2.3 有限元模型的建立

主要定量考慮存在熱效應時各應力隨軸向位置變化的情況，故可對受力模型進行一定程度的簡化.假設假體、骨水泥、股骨為線彈性和各向同性的材料，在置換后它們是同心圓柱體，且完全結合.在上述假設下，其他截面上的應力變化與此界面相同，建立模型如圖1所示.

圖1 髖關節置換界面示意圖

假設假體的半徑為a，骨水泥的半徑為b，股骨的半徑為c，假體柄的軸向與z軸相同，假體嵌入股骨長度為L，嵌入端z=0，加載端z=L，各參數值如表2所示.

表2 股骨假體置換參數［13］

在分析軟件里建立模型并劃分網格，最終的受力模型如圖2所示.

經劃分網格后，得到3 618個節點，1 145個單元，圖中的A1、A2、A3分別表示假體柄、骨水泥、股骨的橫截面，各界面通過布爾操作完全結合.根據圣維南原理，作用于一點上的力，可以均勻分散成較小的力作用于較多的點，但其從整體上產生的力學效果是相同的.根據這一原理，本研究將作用于股骨－假體系統的生理載荷施加在假體近端中點，從而將力均勻地傳遞到假體上所有點.

圖2 髖關節受力模型

3 股骨假體熱應力分析結果

分析軟件的熱－應力耦合功能包括直接耦合與間接耦合，本研究采用間接耦合，先對結構進行熱分析，然后將熱分析所得到的節點溫度作為“體載荷”施加到結構的節點上，熱單元采用8節點PLANE77單元，結構單元采用 8節點PLANE82單元.按照前述的邊界條件和載荷對有限元模型加載求解，分別求出了鈷鉻合金和鈦合金兩種材料作為假體柄時考慮熱效應前后各應力隨軸向位置的分布，這些應力包括假體柄、骨水泥、股骨的軸向應力，假體柄/骨水泥、骨水泥/股骨的界面剪切應力，對以上各應力進行對比分析，得出熱效應對股骨－假體系統應力的影響，為假體材料的選擇提供參考.股骨－假體系統各應力隨軸向位置的分布規律如圖3～7(其中橫坐標代表軸向位置，縱坐標代表應力).

圖3為假體柄/骨水泥界面剪切應力τp隨軸向位置z的分布情況.τp在假體遠端最大，迅速減小后保持相對穩定.遠端界面的高應力加大了遠端失效的可能;在考慮熱效應情況下，遠端失效趨勢加劇，文獻［7］通過建模分析假體柄/骨水泥界面應力傳遞，指出熱效應對界面環向和徑向應力影響較大，這和本文的結果一致;熱應力的存在還加大了外載荷經過骨水泥傳到股骨的應力，一定程度上緩解了應力遮擋;從圖3可以看出，鈷鉻合金假體材料產生的假體柄/骨水泥界面應力大于鈦合金假體材料所產生的界面應力，故鈷鉻合金材料假體更容易引起遠端失效.

圖4為的骨水泥/股骨界面剪切應力τf隨軸向位置z的分布情況.τf分布與圖3具有相似性，均是先從遠端最大值減小到一定值然后保持相對穩定.從圖4可以看出，熱應力的存在在一定程度上加大了τf，盡管傳遞到股骨上的應力提高，但是加速了骨水泥 /股骨界面的失效.所以，從骨水泥/股骨界面剪切應力分析，熱效應具有加速遠端失效的作用.文獻［8］通過有限元建模方法得出:熱應力較大時，骨水泥 /股骨界面上的剪切破壞容易引發裂紋.這和本文結論是一致的.

圖3 假體柄/骨水泥界面剪切應力軸向分布

圖4 骨水泥/股骨界面剪切應力軸向分布

從圖3和圖4可以看出，隨著軸向位置的變化，假體柄/骨水泥與骨水泥/股骨界面應力分布規律相同，接觸界面遠端應力最大，最容易產生遠端界面失效，熱效應的存在，加大了界面應力，加速了界面失效，而且由于鈦合金假體材料的熱膨脹系數和彈性模量都比鈷鉻合金小，所以鈦合金假體柄在一定程度上減小了界面失效的概率.

圖5為假體柄分別為鈦合金和鈷鉻合金材料的骨水泥軸向應力隨軸向位置的分布情況.假體由室溫(20℃)增加到體溫(37℃)，運用鈷鉻合金和鈦合金所得的曲線幾乎相同:在遠端從最小快速增大到一定值后基本保持不變，在加載端增大到最大值.這是由于骨水泥材料(PMMA)拉伸或壓縮強度一般在50～77 MPa左右，從圖5可以看出，在溫差為－17℃時骨水泥平均軸向應力在5 MPa左右，因此不會造成骨水泥本身的破壞，這體現了用聚甲基丙烯酸甲酯作骨水泥材料的一大優點.

圖5 骨水泥軸向應力分布

從圖3～5可以看出，由于骨水泥具有比假體和股骨高得多的熱膨脹系數，熱效應的存在加速了假體柄/骨水泥、骨水泥/股骨界面的破壞，加速了遠端失效.

圖6為考慮熱效應前后兩種不同材料假體柄軸向應力隨軸向位置的分布情況.對鈦合金和鈷鉻合金兩種假體材料，在考慮熱效應前后，假體柄軸向應力分布規律都相同，都是在遠端最小，快速增大后增幅減緩，在加載端應力值到達最大;置換后兩種材料假體都承載了髖關節大部分應力，都導致了應力遮擋;在考慮熱效應時，鈷鉻合金材料假體承載應力所受影響比鈦合金材料假體大得多，這是因為鈦合金的彈性模量和熱膨脹系數都比鈷鉻合金的小，熱效應的影響相對較弱.

圖6 假體柄軸向應力分布

圖7為股骨平均軸向應力隨軸向位置z的分布情況.可以看出，股骨平均軸向應力分布與假體柄軸向應力分布正好相反.因為股骨和假體共同分擔應力，圖6和圖7的應力分布驗證了分析的正確性.當不考慮熱效應時，股骨所承載的應力約為假體柄相同情況下的30%，表明植入假體后，股骨軸向應力大大減小，產生了較大的應力遮擋;在考慮熱效應時，從股骨軸向應力分析，熱效應的存在對應力遮擋有所緩解，但效果不明顯，這與圖3和圖4結果相符.

由圖6和圖7可以看出，髖關節置換后假體承擔大部分載荷，股骨承擔的載荷較置換前大大減小，導致應力遮擋，熱效應存在時，相對于鈦合金，鈷鉻合金具有更好的緩解應力遮擋的作用，但效果不明顯.

圖7 股骨應力軸向分布

4 結論

1)熱效應存在時，隨著軸向位置的變化，兩種假體材料在考慮熱效應前后的假體柄/骨水泥與骨水泥/股骨界面應力分布規律相同，而假體、骨水泥、股骨的軸向應力分布規律不同.

2)假體柄/骨水泥、骨水泥/股骨界面失效，特別是遠端失效是髖關節置換后承受壓力的主要失效形式，且在熱應力作用下，界面容易產生混合而不是純剪切的失效形式.

3)由于骨水泥具有比假體高得多的熱膨脹系數，熱效應的存在加速了假體柄/骨水泥、骨水泥/股骨界面的破壞，加速了遠端失效.

4)當熱效應存在時，由于鈦合金假體材料的熱膨脹系數和彈性模量都比鈷鉻合金小，所以鈦合金假體柄在一定程度上緩解了界面失效.因此，在選擇假體材料時，不但要考慮材料的剛度、彈性模量等對置換效果的影響，也要考慮材料熱膨脹系數的影響.選擇熱膨脹系數小的假體材料，可以減小置換失效的可能.

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Finite element analysis of thermal stress of femoral prosthesis

WANG Mo-nan1，2，WANG Hong-jing2，DU Zhi-jiang1

(1.State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China;2.College of Mechanical and Power Engineering，Harbin University of Science and Technology，150080 Harbin，China)

To study the influence of thermo property on stress of femur-prosthesis system quantitatively，the finite element method is used to analyze the stress of femur-prosthesis system when the hip joint has been replaced，in which the prosthesis，bone cement and femur are assumed as linear elastic and isotropic materials in shape of a concentric cylinder.Considering the thermal effect，the axial stress of prosthesis，bone cement，femur and the interface shear stress along axial of the prosthesis/bone cement and bone cement/femur when the prosthesis are made of titanium alloy and cobalt-chromium alloy are acquired separately by mechanical analysis and FEM simulation.The results indicate that the interface failure is the primary failure mode of the femur-prosthesis system.The existence of thermal effect accelerates the interface failure of femur-prosthesis system and the loose of prosthesis stem.The possibility of interface failure which result in operation failure will ascend when the cobalt-chromium alloy is used，because the thermal expansion coefficient of cobalt-chromium alloys is higher than that of titanium alloy.

femur;prosthesis;titanium prosthesis;cobalt-chromium prosthesis;thermal stress;finite element analysis

R496

A

0367－6234(2012)07－0038－05

2011－07－18.

國家自然科學基金資助項目(61073144);黑龍江省新世紀優秀人才培養計劃資助項目(251NCET006);機器人技術與系統國家重點實驗室開放研究資助項目.

王沫楠(1973—)女，博士，教授.

王沫楠，qqwmnan@163.com.

(編輯 楊 波)