共軛類長的算術性質對群結構的影響

鐘艷林

(閩南理工學院 信息管理系，福建 泉州 362700)

在研究有限群結構的諸多方法中，通過元素的性質來刻畫有限群的結構一直是令人感興趣的問題。本文就是通過元素的共軛類長的一些算術性質來刻畫有限群結構的。特別是通過有限群G的每一個素數冪階元的共軛類長無平方因子、無p2因子和不被8整除等性質來刻畫有限群的結構。

定義1［1］設G是有限群，G的所有冪零正規子群的乘積F(G)仍為G的冪零正規子群，叫做G的Fitting子群。

定義2［2］設π是素數組成的集合且G是π-可解群，如果G的每一個π-主因子都是素數階循環群，則稱G是π-超可解群。

定義3［1］設G是有限群，如果G滿:?H＜G，H＜PG(H)總是成立，則稱G為PC-群，這里PG(H)=＜|

x|x∈G，＜x＞H=H＜x＞＞。

定義4［1］稱有限群G為π可分群，如果存在的一個正規群列G=N0≥N1≥N2≥…≥Nr=1，使Ni/Ni+1為π群或π'群，i=01，2，…r-1。

定義5［3］設G是一個有限群，如果對G的每個素數冪階元x，|xG|均元平方因子，則G超可解。

定義6［4］設G是有限群，Φ(G)=1，則F(G)交換且可由G的所有可解極小正規子群生成。

定義7 設G為有限群且F(G)為素數冪階群，若G的每一個素數冪階元的共軛類長均無平方因子，則G/F(G)循不且其階無平方因子。

證明:設G是極小階反例。由引理5得G是超可解的，從而G'是冪零群。又G'G，可得G≤F(G)，故G/F(G)交換。若證明了|G/F(G)|無平主因子，則G/F(G)循環。故只需證|G/F(G)|無平方因子。

由于F(G/Φ(G))=F(G)/Φ(G)，若Φ(G)＞1，則由引理5和G為極小階反例知|G/Φ(G):F(G/Φ(G))|=|G/Φ(G):F(G)/Φ(G)|=|G/F(G)|無平方因子，矛盾。從而有Φ(G)=1，再由引理6得F(G)交換。

因為G是極小階反例，|G/F(G)|不能是素數階群。又G/F(G)交換，故F(G)不是G的極大子群，從而存在H G，H為G的極大子群，使得F(G)＜H＜G且|G:H|=|G/F(G):H/F(G)|=p，p為某一素數。又F(H)特征于H，H G，得F(H)G，故F(H)≤F(G)。而F(G)≤H，當然有F(G)≤F(H)。故F(H)=F(G)。

因為H G，由G是級小階反例如|H/F(H)|=|H/F(G)|無平方因子。假設另有一素數q≠p，q‖G/F(G)‖，則類似上面的討論，我們可以找到L G，L為G的極大子群，使得F(G)＜L＜G，F(L)=F(G)，|G:L|=q且|L/F(L)|=|L/F(G)|無平方因子，矛盾。即不存在另一素數q≠p，使得q‖G/F(G)|，故可得G/F(G)為p-群。假設F(G)為p-群，則G為p-群，從而G冪零，有G=F(G)，矛盾。故F(G)為p'-群，因為|H/F(G)|無平方因子且H/F(G)≤G/F(G)，得|H/F(G)|=p，所以|G/F(G)|=p|H/F(G)|=p2，又因為F(G)交換，由引理5可知，存在A≤G，使得G=F(G)A，其中F(G)∩A=1，|A|=p2。

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