MEMS 陀螺隨機(jī)誤差的建模與分析

王新龍 李 娜

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191）

MEMS 陀螺隨機(jī)誤差的建模與分析

王新龍 李 娜

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191）

為了更全面地了解微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS，Micro-Electro-Mechanical Systems）陀螺儀的隨機(jī)漂移誤差隨時(shí)間變化的特性，利用動(dòng)態(tài)Allan方差分析法對(duì)MEMS陀螺儀輸出信號(hào)特性進(jìn)行了全面分析.首先介紹了Allan方差和動(dòng)態(tài)Allan方差分析法原理，然后分別利用Allan方差分析法和動(dòng)態(tài)Allan方差分析法對(duì)MEMS陀螺儀的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了特性研究與性能分析.研究結(jié)果表明:速率斜坡、量化噪聲和速率隨機(jī)游走是MEMS陀螺的主要隨機(jī)噪聲，并且MEMS陀螺的隨機(jī)漂移具有隨時(shí)間變化的不穩(wěn)定性.動(dòng)態(tài)Allan方差不僅可以分離和辨識(shí)出MEMS陀螺的主要隨機(jī)誤差源，而且可以跟蹤和描述信號(hào)隨時(shí)間變化的穩(wěn)定性，因此動(dòng)態(tài)Allan方差較經(jīng)典Allan方差分析法能夠更全面地表征MEMS陀螺儀的性能.

MEMS陀螺;漂移誤差;Allan方差;動(dòng)態(tài)Allan方差

與傳統(tǒng)陀螺儀相比，微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS，Micro-Electro-Mechanical Systems）陀螺儀具有體積小、重量輕、成本低、抗沖擊、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，在低成本導(dǎo)航系統(tǒng)中獲得了越來越廣泛的應(yīng)用.但MEMS陀螺儀的精度相對(duì)較低，這極大地限制了其應(yīng)用范圍.因此，如何補(bǔ)償MEMS陀螺儀的漂移誤差以提高陀螺儀的測(cè)量精度，已成為MEMS陀螺儀研究工作的重點(diǎn)之一.

陀螺儀漂移一般分為確定性漂移和隨機(jī)漂移兩部分，確定性漂移通過陀螺測(cè)試和標(biāo)定試驗(yàn)加以補(bǔ)償.隨機(jī)漂移是無規(guī)律且隨時(shí)間變化的，一般方法是通過建立陀螺的時(shí)間序列隨機(jī)漂移模型，然后利用濾波器對(duì)建模后的殘差進(jìn)行濾波，以降低隨機(jī)漂移誤差對(duì)陀螺精度的影響.

目前絕大多數(shù)文獻(xiàn)都是采用Allan方差法對(duì)MEMS陀螺儀隨機(jī)噪聲特性進(jìn)行分析.Allan方差分析是在時(shí)域上對(duì)頻率穩(wěn)定性進(jìn)行分析的一種通用方法［1］.然而 Allan方差也有不足之處，經(jīng)典Allan方差一般用來分析信號(hào)的穩(wěn)定性，它對(duì)理想的時(shí)變信號(hào)是有效的，而實(shí)際的誤差信號(hào)，即使在極短的時(shí)間間隔內(nèi)，信號(hào)也表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，況且在長時(shí)間內(nèi)，被測(cè)信號(hào)受到溫度、濕度和其他器件物理性能的改變而變化.動(dòng)態(tài)Allan方差是用來測(cè)量原子鐘時(shí)變穩(wěn)定性的工具，它可以揭示受濕度變化、溫度變化、輻射干擾、突然故障、老化等各種因素影響的原子鐘平穩(wěn)性的變化［2］.目前，動(dòng)態(tài)Allan方差已被成功應(yīng)用于伽利略實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星GIOVE的時(shí)鐘監(jiān)控［3］，同時(shí)也被用來監(jiān)測(cè) GPS（Global Positioning System）時(shí)鐘的穩(wěn)定性［4］.

本文應(yīng)用動(dòng)態(tài)Allan方差分析法對(duì)MEMS陀螺儀輸出隨機(jī)誤差信號(hào)特性進(jìn)行了建模與分析，結(jié)果表明動(dòng)態(tài)Allan方差分析法不僅能確定MEMS陀螺儀各種隨機(jī)漂移的系數(shù)，而且還可以跟蹤和描述信號(hào)隨時(shí)間變化的穩(wěn)定性.

1 時(shí)間序列分析建模方法

采集到陀螺儀實(shí)測(cè)信號(hào)后，首先通過速率試驗(yàn)法對(duì)陀螺儀確定性誤差分量進(jìn)行標(biāo)定.確定性漂移誤差標(biāo)定后，通常再利用時(shí)間序列分析法確定隨機(jī)漂移誤差的特性.MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差時(shí)間序列分析法建模與補(bǔ)償流程見圖1，其建模步驟［5］可歸納為:首先對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行預(yù)處理，包括奇點(diǎn)的剔除、趨勢(shì)項(xiàng)的去除和周期項(xiàng)的去除;其次對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，包括平穩(wěn)性檢驗(yàn)、周期性檢驗(yàn)和正態(tài)性檢驗(yàn).

圖1 利用時(shí)間序列分析法的陀螺儀誤差建模流程圖

若經(jīng)過上述預(yù)處理后的殘差序列是平穩(wěn)時(shí)間序列，則可利用平穩(wěn)時(shí)間法建立其誤差模型，首先確定所要擬合模型的類別和階次;其次估計(jì)模型參數(shù)并進(jìn)行適用性檢驗(yàn);最后對(duì)所建立的模型進(jìn)行變換，使之成為連續(xù)微分方程，便得到可利用Kalman濾波器處理的系統(tǒng)狀態(tài)模型和量測(cè)模型.

2 Allan方差和動(dòng)態(tài)Allan方差原理

2.1 Allan 方差原理

Allan方差是一種在時(shí)域上對(duì)頻域穩(wěn)定性進(jìn)行分析的方法.Allan方差的特點(diǎn)是它不僅能夠確定產(chǎn)生數(shù)據(jù)噪聲的基本隨機(jī)過程的特性，而且能夠識(shí)別給定噪聲項(xiàng)的來源［6］.

在進(jìn)行Allan方差的分析時(shí)，由于陀螺儀類型和數(shù)據(jù)測(cè)試環(huán)境等的不同，陀螺儀輸出數(shù)據(jù)中可能存在各種成分的隨機(jī)噪聲.如果各噪聲源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則計(jì)算的Allan方差是各類型誤差的平方和［7］，即

式中，τ為相關(guān)時(shí)間，s.

式（1）中包含角隨機(jī)游走（ARW，Angle Random Walk）（系數(shù)用N表示）、偏差不穩(wěn)定性（BI，Bias Instability）（系數(shù)用 B表示）、速率隨機(jī)游走（RRW，Rate Random Walk）（系數(shù)用 Kr表示）、速率斜坡（RR，Rate Ramp）（系數(shù)用 R表示）、量化噪聲（QN，Quantization Noise）（系數(shù)用Q表示）、指數(shù)相關(guān)噪聲（MN，Markov Noise）、正弦噪聲（SN，Sinusoidal Noise）.

式（1）中各主要誤差項(xiàng)都可表示成正比于τ的－2～+2次冪的系數(shù)表達(dá)式，因此式（1）可簡化為

其中，An分別對(duì)應(yīng)與 QN，ARW，BI，RRW，RR 各噪聲相關(guān)的擬合多項(xiàng)式系數(shù)，n=－2，－1，0，+1，+2.

根據(jù)不同的τ對(duì)應(yīng)的Allan方差，對(duì)式（2）進(jìn)行最小二乘擬合，可以求得擬合多項(xiàng)式系數(shù)，進(jìn)而求得各噪聲源系數(shù).

2.2 動(dòng)態(tài)Allan方差原理

動(dòng)態(tài)Allan方差是經(jīng)典Allan方差的擴(kuò)展，它是以一種非常直觀的方式定義的:如果認(rèn)為一個(gè)代表相位或頻率誤差（或任何其他物理量）的隨機(jī)信號(hào) （x t）具有時(shí)變特性，那么可以在不同的時(shí)間段內(nèi)重復(fù)估計(jì)信號(hào)的Allan方差，例如在時(shí)間點(diǎn)t，以長度為N的矩形窗截?cái)嚯S機(jī)信號(hào) （x t），估計(jì)此截?cái)嘈盘?hào)的Allan方差.在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)t做同樣的分析，然后綜合每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)獲得的方差值，即可得到隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài) Allan方差［8－9］.

評(píng)估信號(hào)穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn)是Allan方差［10］:

這里〈〉表示求時(shí)間段內(nèi)的總體平均.

如果

則式（3）可以寫成如下形式:

對(duì)于離散信號(hào)

Allan方差是在給定觀測(cè)間隔τ的情況下，以二維圖的形式描述信號(hào)的誤差特性，而動(dòng)態(tài)Allan方差是在給定時(shí)間t和觀測(cè)間隔τ的情況下，以三維圖的形式來描述隨機(jī)信號(hào)的穩(wěn)定性信息.

當(dāng)存在外界干擾時(shí)，信號(hào)穩(wěn)定性會(huì)隨著時(shí)間而變化，可以用動(dòng)態(tài)Allan方差描述這種變化:

由于動(dòng)態(tài)Allan方差描述的是信號(hào)隨著時(shí)間變化的平穩(wěn)性信息，因此，利用動(dòng)態(tài)Allan方差分析非平穩(wěn)隨機(jī)過程，既可以得到陀螺儀隨機(jī)漂移的各噪聲項(xiàng)系數(shù)，又可以分析隨機(jī)誤差隨時(shí)間變化的穩(wěn)定性.

3 MEMS陀螺實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

本文在實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上對(duì)MEMS陀螺儀進(jìn)行速率實(shí)驗(yàn)，分別記錄輸入不同角速率時(shí)陀螺儀的輸出數(shù)據(jù).陀螺1隨機(jī)誤差輸出如圖2所示，其Allan方差分析和動(dòng)態(tài)Allan方差（選取N=100）分析曲線如圖3和圖4所示.

圖2 陀螺1隨機(jī)誤差輸出曲線

圖3 陀螺1隨機(jī)誤差A(yù)llan標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)時(shí)間曲線

圖4 陀螺1隨機(jī)誤差的動(dòng)態(tài)Allan方差曲線圖

由圖3可以看出:在τ=1～7 s內(nèi)，曲線斜率近似為－1/2，主要表現(xiàn)為角隨機(jī)游走噪聲，說明陀螺受外界干擾影響較大，在τ=7～8 s內(nèi)，曲線斜率趨近－1，主要表現(xiàn)為量化噪聲，在τ=8～10 s內(nèi)，曲線斜率近似為0，主要表現(xiàn)為零偏不穩(wěn)定性噪聲.在τ=10～30 s內(nèi)，曲線斜率近似為－1/2，角隨機(jī)游走在發(fā)揮作用，隨后Allan標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)為速率隨機(jī)游走、角度隨機(jī)游走和速率斜坡交替出現(xiàn)，并與各種噪聲疊加，而在曲線后段出現(xiàn)正弦狀震蕩，可以理解為信號(hào)中含有低頻的正弦噪聲并伴有一定的速率隨機(jī)游走噪聲.同時(shí)，也可看出MEMS陀螺隨機(jī)誤差的多樣性.

通過以上分析可以得到:MEMS陀螺儀的角隨機(jī)游走噪聲分布在高頻部分，量化噪聲分布在略低頻段，零偏不穩(wěn)定性頻率更低，而速率隨機(jī)游走和速率斜坡頻率最低.另外，由圖4可以進(jìn)一步看出:隨著時(shí)間的變化，MEMS陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)Allan方差起伏較大，說明陀螺具有隨時(shí)間變化的不穩(wěn)定性.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證動(dòng)態(tài)Allan方差在分析陀螺儀輸出隨機(jī)噪聲信號(hào)特性方面的有效性，選取陀螺2的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行Allan方差和動(dòng)態(tài)Allan方差分析，其結(jié)果如圖5～圖7所示.從圖中可以看出:動(dòng)態(tài) Allan方差示意圖 τ-σ（t，τ）坐標(biāo)軸的投影即為經(jīng)典Allan方差，動(dòng)態(tài)Allan方差在時(shí)間軸上反映了噪聲的突變，而經(jīng)典Allan方差不包含此信息.

圖5 陀螺2隨機(jī)誤差輸出曲線

圖6 陀螺2隨機(jī)誤差A(yù)llan標(biāo)準(zhǔn)差-相關(guān)時(shí)間曲線

圖7 陀螺2隨機(jī)誤差的動(dòng)態(tài)Allan方差曲線圖

2組陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的Allan方差法擬合噪聲項(xiàng)系數(shù)如表1所示.

表1 Allan方差擬合的陀螺噪聲項(xiàng)系數(shù)

由表1可以看出，對(duì)于陀螺1而言，速率斜坡、速率隨機(jī)游走和量化噪聲的系數(shù)較大，因此它們是主要誤差源.而陀螺2的主要噪聲為速率斜坡、速率隨機(jī)游走和偏差不穩(wěn)定性.

比較2組MEMS陀螺儀輸出噪聲項(xiàng)系數(shù)可以得出:

1）陀螺2的量化噪聲系數(shù)較小，說明其數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是比較理想的，而陀螺1量化噪聲較大，可以通過提高采樣系統(tǒng)的精度和縮短初始采樣時(shí)間來減小此誤差;

2）陀螺1的偏差不穩(wěn)定性較陀螺2大很多，說明陀螺2電路部分存在較大誤差，需要采取相應(yīng)的濾波方法抑制此噪聲;

3）陀螺2的速率隨機(jī)游走較小，說明其漂移相對(duì)較小.隨機(jī)游走噪聲反映了MEMS陀螺儀的制造水平，因此，陀螺2的制造水平要高一些;速率隨機(jī)游走占了誤差較大部分，說明系統(tǒng)的馬爾科夫過程是比較明顯的，可用軟件補(bǔ)償?shù)姆椒ㄌ岣咂渚?

4）可能由于外界環(huán)境影響陀螺溫度的變化導(dǎo)致陀螺1的速率斜坡噪聲較大.

利用動(dòng)態(tài)Allan方差方法計(jì)算陀螺1的隨機(jī)誤差在不同時(shí)刻的噪聲項(xiàng)系數(shù)如表2所示.

表2 動(dòng)態(tài)Allan方差計(jì)算陀螺1噪聲項(xiàng)系數(shù)

由表2可以得到，當(dāng)t=100 s時(shí)，速率斜坡、速率隨機(jī)游走和偏差不穩(wěn)定性的噪聲項(xiàng)系數(shù)較大，因此，它們是主要誤差源.當(dāng)t=600 s時(shí)，速率斜坡、速率隨機(jī)游走和量化噪聲是主要誤差項(xiàng).這說明了在不同的時(shí)刻，由于溫度、濕度、干擾或器件物理性能等條件的變化，起主要作用的噪聲項(xiàng)也在不斷變化.

利用Allan方差以及動(dòng)態(tài)Allan方差2種分析方法對(duì)MEMS陀螺儀輸出的隨機(jī)誤差進(jìn)行對(duì)比分析，可以看出:動(dòng)態(tài)Allan方差在時(shí)間軸上反映了信號(hào)的瞬時(shí)穩(wěn)定性，信號(hào)有突然變化時(shí)可以顯示出來，而經(jīng)典Allan方差卻隱藏了這種變化.

4 結(jié)論

本文利用動(dòng)態(tài)Allan方差法對(duì)MEMS陀螺儀實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明:動(dòng)態(tài)Allan方差法不僅可以分析陀螺儀的主要隨機(jī)誤差源，而且能夠分析陀螺儀信號(hào)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間的變化趨勢(shì).與傳統(tǒng)的Allan方差分析法相比，它是一種更為有效的分析陀螺儀隨機(jī)誤差特性的方法.

將動(dòng)態(tài)Allan方差應(yīng)用于陀螺漂移誤差信號(hào)的分析上，不僅可以分析信號(hào)頻率的穩(wěn)定性，還可以跟蹤和描述信號(hào)隨時(shí)間變化的穩(wěn)定性.可見，動(dòng)態(tài)Allan方差分析方法，不僅可用于MEMS慣性器件誤差的建模與補(bǔ)償，而且可用于對(duì)器件內(nèi)部結(jié)構(gòu)的改進(jìn)和完善，另外在慣導(dǎo)獨(dú)立導(dǎo)航以及與其他導(dǎo)航設(shè)備組合導(dǎo)航等應(yīng)用方面都具有重要的推廣應(yīng)用價(jià)值.

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Error modeling and analysis for random drift of MEMS gyroscopes

Wang Xinlong Li Na
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

In order to comprehensively understand the characteristics of random drift error of micro-electro-mechanical systems（MEMS）gyroscope varying with time，the dynamic Allan variance was utilized to analyze the property of output signal of MEMS gyroscopes.Firstly，the theory of Allan variance and dynamic Allan variance were introduced.Then，the Allan variance and the dynamic Allan variance were utilized to analyze the characteristic and performance of the practical testing date of MEMS gyroscopes respectively.The study results show that the main random noise of MEMS gyroscope are the rate ramp，quantization noise and the rate random walk，and they are unstability varying with time.The dynamic Allan variance was utilized to not only extract and confirm some main noises of MEMS gyroscope，but also track and describe the stability of MEME gyroscope's signal varying with time.Consequently，compared with Allan variance，the dynamic Allan variance can represent the characterization of stochastic errors in MEMS gyroscope more comprehensively.

micro-electro-mechanical systems（MEMS）gyroscopes;drift error;Allan variance;dynamic Allan variance

V 241.5

A

1001-5965（2012）02-0170-05

2010-10-25;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.018

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.018.html

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61074157）

王新龍（1969－），男，陜西渭南人，教授，xlwon@163.com.

（編 輯:趙海容）