基于熵限制的Baldwin-Lomax湍流模型

趙 瑞 閻 超 于 劍

（北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191）

基于熵限制的Baldwin-Lomax湍流模型

趙 瑞 閻 超 于 劍

（北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191）

針對Baldwin-Lomax（BL）模型在模擬超聲速復雜流動中的不足，提出一種基于熵限制的新型修正方式.分別采用原始的BL模型（BL-origin）、修正后的BL模型（BL-entropy）以及Wilcox k-ω兩方程模型對超聲速平板、超聲速二維壓縮拐角以及膨脹-壓縮拐角3個典型算例進行計算，結果表明BL-entropy能夠較好地獲取長度尺度進而得到均勻合理的渦粘性分布.同時，該修正方式簡單高效并且適用于其他與超聲速邊界層有關的模型，具有較大的發展潛力.

湍流模型;熵;超聲速流動;計算流體力學

超聲速飛行器在大多數飛行情況下都處于湍流流態.由于湍流是流體微團的不規則運動，湍流運動產生的質量、動量和能量的輸運將遠遠大于分子熱運動產生的宏觀輸運，同時湍流脈動導致額外的能量耗散，引起氣動加熱和摩阻增加.此外，高超聲速流動中普遍存在激波與湍流邊界層相互作用、激波誘導邊界層分離與再附等非常復雜的現象，因此湍流計算對準確預估高超聲速飛行器的氣動性能非常重要.

目前湍流數值模擬一般有3種方法:直接數值模擬（DNS，Direct Numerical Simulation），大渦模擬（LES，Large Eddy Simulation），雷諾平均 N-S方程（RANS，Reynolds Average Navier-Stokes）.受目前計算機條件等限制，前兩種方法只限于求解一些低雷諾數的簡單流動，RANS只計算大尺度平均流動，所有湍流脈動對平均流動的作用均用模型假設封閉，使計算量大為減少，其中 BL（Baldwin-Lomax）零方程湍流模型構造最簡單、魯棒性最好、精度較高，在工程界應用最廣泛.

原始的BL模型［1］在工程計算中存在的不足主要表現在:強逆壓梯度非平衡湍流邊界層;分離區附近及內部流動;激波/邊界層干擾;超聲速及高超聲速激波附近存在劇烈渦量變化的流動等.為此，研究學者針對具體的流動工況提出了不同的修正方式:文獻［2］針對大分離漩渦流動提出Degani-Schiff修正;文獻［3］指出該修正的物理缺陷，并提出Kcut修正，但仍然存在如何確定Kcut點位置的問題;文獻［4］針對后掠激波/邊界層干擾流動提出Panaras修正，該方法必須人為指定分離前參考點;與此類似，文獻［5］提出的松弛模型也是通過人為指定參考點引入上游歷史效應，顯然這種修正方式在實際工程運用中受到限制.

針對超聲速復雜流動，本文引入熵限制的概念，試圖在不增加原始BL模型復雜度的前提下，提高BL模型的預測精度，使之更好地適于工程運用.為檢驗該修正方式的效果，分別采用原始的BL模型（BL-origin）、修正后的BL模型（BL-entropy）及兩方程 Wilcox k-ω［6］模型對超聲速平板、超聲速壓縮拐角、超聲速膨脹-壓縮拐角進行數值模擬，并對這種新型的修正方式做出綜合評價.

1 數值方法

1.1 控制方程

基本控制方程為雷諾平均N-S方程，其守恒形式為

其中，τtij為雷諾應力，對于μt?；椒ú煌瑯嬙觳煌臏u粘性湍流模型.

采用有限體積法求解N-S方程，計算采用量熱完全氣體假設，粘性通量采用中心差分格式進行離散，無粘通量的離散選擇Roe的FDS（Flux Difference Splitting）格式，時間推進采用LU-SGS（Lowerk-Upper Symmeffic Gauss-Seidel）隱式方法.

1.2 湍流模型

BL模型對湍流邊界層的內層與外層采用不同的混合長假設，其渦粘性如下所示:

其中，Yc是（μt）inner=（μt）outer時 Y 到壁面最小距離.

對于內層，即Y≤Yc，有:

其中，ρ為密度;Ω為渦量;K=0.4為 Karman常數;Van Driest衰減因子D如下:

其中τw為壁面摩擦力.

對于外層，即 Y＞Yc，有:

其中，k=0.0168;Ccp=1.6.

尾跡函數Fwake如下式所示:

其中 Fmax=max（YΩD）;Ymax是函數 F=YΩD 達到最大值Fmax的位置;Cwk=1.0;Udiff是平均速度分布中最大值與最小值之差.

Klebanoff間歇函數Fkleb如下式所示:

其中，Ckleb=0.3;邊界層厚度 δ=Ymax/Ckleb.

大量研究表明，原始的BL模型只能準確地預測附體流動以及弱分離流動，對于激波/邊界層干擾以及分離、再附等復雜流動卻無能為力.究其根本原因，一方面BL模型中的經驗常數Ccp=1.6，Ckleb=0.3是基于跨聲速的平衡流動得出的，并不適用于超聲速及高超聲速的復雜流動;另一方面外層渦粘性的捕捉嚴重依賴于Fmax，Ymax的確定，原始的BL模型并未限制尋找Fmax的范圍，在復雜流動中會導致長度尺度 Ymax的不確定性.圖1為采用兩方程Wilcox k-ω模型對24°超聲速壓縮拐角數值計算結果，可看出即使在附體流動（圖2站位x=－1），由于劇烈的非平衡效應，F在邊界層外存在一個虛假的極大值，在分離區及激波區域（圖2 站位 x=－0.5，－0.3，0，0.3，0.5），出現多個極值，不同極值間相差近一個量級.顯然在復雜流動中，原始的BL模型將沿流向得到非物理或間斷的Fmax與 Ymax，從而導致渦粘性分布不均勻，使得BL模型的應用受到限制.

針對上述問題，本文提出熵限制的概念.熵的大小表征能量的耗散程度，由于邊界層內湍流劇烈的脈動以及與壁面的摩擦作用，當地的熵值要遠遠大于外流，同時研究發現，在超聲速流動中，無論是在流動附體區還是激波/邊界層干擾的分離區，沿壁面法向熵值都能夠保持較好的單調性（圖3）.因此，本文以熵的大小作為函數F搜尋范圍的判斷指標，進而保證渦粘性的合理分布.

圖1 24°壓縮拐角等熵線圖，Ma=2.84

圖2 函數F沿壁面法向分布圖

搜尋過程分兩步完成:①沿壁面法向向外搜索直到S/S∞＞C停止，儲存停止位置;②函數F由停止位置反向搜索，確定 Fmax與 Ymax，如圖 4所示.

圖4 搜尋過程示意圖

本文中常數C比擬邊界層厚度δ:Ue/U∞=0.95，取 C=1.0/0.95.修正后模型采用文獻［4］針對超聲速流動建議的Ccp=2.08.

2 計算結果及分析

本文采用 BL-origin、BL-entropy以及兩方程k-ω模型分別對超聲速平板（Ma=2.25）、超聲速壓縮拐角（Ma=2.85）、超聲速膨脹-壓縮拐角（Ma=2.9）進行數值模擬，流動現象包括簡單的附體流動到復雜的激波/邊界層干擾、分離以及再附，以期對這種新型的修正方式進行綜合的評估.

2.1 超聲速平板算例

文獻［7］采用DNS方法對超聲速平板進行數值試驗，試驗條件如下:Ma∞=2.25，Re=63500 in－1（1 in=2.54 cm）.

如圖5所示，將BL-origin模型中的Ccp改為2.08，構造 BL-origin-coe，計算結果與 BL-entropy重合，但在對數率區與BL-origin差別較大，一方面說明對于簡單的平板流動，本文提出的熵限制修正能夠回歸到原始模型，另一方面再次印證模型參數（Ccp，Ckleb）對BL模型性能有較大的影響.鑒于超聲速可壓縮效應的影響，4種模型計算結果與DNS數據稍有差異.

圖5 超聲速平板速度型（x=8.8 in）

圖6 平板邊界層以及等熵層

圖6為沿流向（x方向）平板邊界層厚度以及等熵線位置分布，可以看出等熵線具有類似邊界層的性質，文中選取C=1.0/0.95既能將邊界層包絡在內，又能將外流分割出來，對函數F的搜尋范圍起到合理的約束作用.

2.2 超聲速壓縮拐角

文獻［8］在普林斯頓大學超聲速風洞對二維壓縮拐角進行了試驗研究，其中24°壓縮拐角試驗條件如表1所示.

表1 24°超聲速壓縮拐角試驗條件

如圖7所示，超聲速氣流流至拐角前段時，在逆壓梯度的作用下，邊界層變厚，從而使主流提前產生一系列的壓縮波，并在離拐角一定距離處匯聚成一道分離激波，激波后邊界層往往不能承受強逆壓梯度而發生分離，形成一個“凸包”，超聲速氣流流經該“凸包”后緊接著在斜面的壓縮作用下，形成新的壓縮波區.

圖7 超聲速壓縮拐角流場示意圖

與文獻［9－10］結論一致，本文采用BL-origin進行計算未能得到收斂結果.圖8為修正后的BL-entropy與Wilcox k-ω計算所得壁面壓力、摩擦力分布，可以看出，BL-entropy能夠很好地預測分離點的位置，其中壓力分布與試驗值吻合一致，但再附區中渦粘性預估不足，導致摩擦力低于試驗值.對比兩個模型計算所得渦粘性分布（圖9），BL-entropy能夠有效地將渦粘性均勻地限制在壁面附近，達到了熵限制的目的.

2.3 超聲速膨脹-壓縮拐角

超聲速湍流膨脹-壓縮拐角是吸氣式高超聲速飛行器燃燒室和尾噴管部分的典型流動.采用的試驗模型來流條件為［11－12］:拐角角度 α =25°，高度 h=15 mm，Ma=2.9，單位長度雷諾數 Re=3.8×107m－1，來流湍流邊界層厚度在膨脹拐點處為δ=5.08 mm.

圖10為超聲速膨脹-壓縮拐角流場示意圖，超聲速氣流在第一個拐角處發散出膨脹波系，在壓縮拐點處由于強逆壓梯度形成分離區，分離區前后分別為分離激波和壓縮激波，兩道激波在下游交匯.

圖8 壓縮拐角壁面壓力與摩擦力分布圖

圖9 壓縮拐角流場渦粘性系數分布圖

圖11、圖12分別為3個模型計算所得壓力、摩擦力以及渦粘性分布圖.

圖10 超聲速膨脹-壓縮拐角流場示意圖

可以看出，BL-entropy極大地改進了 BL-origin的性能.BL-entropy與Wilcox k-ω壓力計算結果一致且與試驗值吻合良好，在再附點處摩擦力計算結果偏低，其他區域與試驗值一致.BL-origin由于在分離區無法確定合理的長度尺度 Ymax，導致壓力與摩擦力計算結果在分離區域出現“震蕩”，并且由圖12可以看出，BL-origin計算所得渦粘性在整個膨脹扇區以及分離區出現間斷，導致分離區過大.BL-entropy在膨脹扇區渦粘性計算偏小，其他區域與Wilcox k-ω計算結果相近，說明本文提出的熵限制的方法能夠克服原始模型的缺陷，更好地符合物理本質.

圖12 膨脹-壓縮拐角流場渦粘性系數分布圖

3 結論

BL-origin模型由于未限制長度尺度的搜索范圍，使其在模擬激波/邊界層干擾、分離、再附等復雜流動時無法獲取正確的渦粘性分布，從而導致計算發散或者得出錯誤流場.本文針對上述不足，提出一種基于熵限制的新型修正方式.熵是衡量能量耗散的指標，超聲速流動中壁面處的熵值遠遠大于外部流動，同時，熵值在復雜流動區域也能夠保持較好的單調性.本文利用熵的上述特點，在原始的BL模型中引入熵限制，通過對超聲速平板、超聲速壓縮拐角、超聲速膨脹-壓縮拐角3種典型算例進行計算研究，得出以下結論:

1）BL模型中的參數Ccp，Ckleb與馬赫數有關，并直接影響BL模型的性能;

2）對于激波/邊界層干擾、分離、再附區域，原始的BL模型不能正確捕捉渦粘性，會造成預測分離點提前，分離區過大甚至導致流場計算發散的問題;

3）采用熵限制后的BL模型能夠獲得符合物理意義的渦粘性分布，在再附點區域渦粘性偏小，需要進一步改進;

4）本文提出的新型熵限制方式保持了BL-origin模型的簡單、效率高的優勢，其思想可以推廣到其他與超聲速邊界層相關的模型當中.

（References）

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New kind Baldwin-Lomax turbulence model under the limit of entropy

Zhao RuiYan Chao Yu Jian
（School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

A new kind correction to Baldwin-Lomax turbulence model（BL-entropy）based on the concept of entropy was proposed. The supersonic plane， two-dimensional supersonic compression corner and expansion-compression corner which were representative in the engineering area were chosen in the numerical simulation to evaluate the performance of this model.It is found that BL-entropy can conquer the essential deficiency of the original model by providing a more physically correct length scale in the supersonic complex flow.Moreover，this method is simple，computationally fast and general，making it applicable to other models related with the supersonic boundary layer.

turbulence models;entropy;supersonic flows;computational fluid dynamics

V 211.3

A

1001-5965（2012）02-0175-05

2010-11-12;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:47;

CNKI:11-2625/V.20120221.1147.029

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1147.029.html

國家973計劃資助項目（2009CB724104）

趙 瑞（1987－），男，山東陽谷人，博士生，zr8800@126.com.

（編 輯:李 晶）