帶冷罩的自旋彈頭在液氮消耗時的姿態模型

余正寧 趙育善

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

帶冷罩的自旋彈頭在液氮消耗時的姿態模型

余正寧 趙育善

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

研究了帶液氮冷屏蔽罩（冷罩）的自旋彈頭在自由飛行段中，冷罩多孔介質層內液氮不斷消耗時彈頭姿態的變化規律.針對工程上無法利用數值計算直接研究多孔介質中液氮消耗對彈頭姿態運動影響的問題，以均相模型分析多孔介質層內氣液混合物的運動規律，建立了均相介質在離心力作用下的滲流運動方程.對此方程進行無量綱化，分析了均相介質的運動規律，得到了變質量彈頭的姿態動力學模型.通過分析與仿真發現，自旋角速度隨冷罩內液氮消耗而不斷增大，非自旋方向角速度不為零時，其運動頻率不斷增大，且會產生運動阻尼，但頻率變化很小，運動阻尼量級也極小，工程中可忽略冷罩中液氮消耗對非自旋方向的影響.

冷屏蔽罩;滲流;多孔介質;姿態動力學模型

為了達到彈頭紅外隱身的目的，美國物理學家協會提出了用液氮冷屏蔽罩（簡稱冷罩）冷卻彈頭的方案［1］.冷罩由雙壁面錐體構成，內外壁之間形成空腔，通入液氮，液氮在雙壁面形成的空隙間流動與蒸發，使冷罩維持在低溫條件下，進而實現紅外隱身的目標.為使液氮在空腔中分布均勻，在腔內填充多孔介質材料.

研究表明［2］:攜帶冷罩的彈頭在5μm波段的紅外輻射能量比沒有攜帶冷罩的普通彈頭低1012倍，對于導彈攔截器上5 μm波段紅外探測器，這意味著原來可發現距離1 000 km處的普通彈頭，卻只能發現距離1 m處的攜帶冷罩的彈頭.因此，冷罩在彈道導彈紅外隱身方面非常有應用前景.

當前，國內外有關冷罩的研究資料很少，僅有的資料也只是針對冷罩的熱交換機理［2］、結構設計與熱應力［3－4］等進行分析.總體設計師們則更關心冷罩及其內部液體對彈頭軌道、姿態的影響，而這方面的研究尚無公開報導.液氮在冷罩多孔介質內運動極其復雜，不僅需要考慮液氮揮發后的氣液混合物的運動、還要分析混合物在多孔介質中的滲流運動，很難用數值仿真直接對其動力學特性進行研究，而工程應用中希望建立簡單、有效的力學模型來描述液氮運動對彈頭運動的影響，目前為止，并未發現相關的工程模型.

本文以兩相均相模型分析多孔介質層內氣液混合物的運動規律，建立了離心力作用下的均相介質滲流運動方程.經無量綱化分析，總結出多孔介質層中氣液混合物的運動規律，得到均相介質在冷罩中的質量變化模型，進而建立了可用于工程實際的姿態動力學模型.

1 多孔介質中的液氮運動分析

1.1 兩相均相模型

液氮在多孔介質層中蒸發、流動，表現為氣液兩相.處理兩相流問題有兩種模型:兩相均相模型與兩相分相模型，前者指的是把兩相介質看成均勻介質，介質的參數取兩相平均參數，然后再根據單相均勻介質建立兩相流基本方程;后者把兩相分成兩種單相流動（氣相和液相），介質參數分別取各自的介質參數.

兩相均相模型認為相變過程沒有嚴格的氣液界面存在，氣態和液態共同存在，該模型計算簡單;兩相分相模型能較精細地反映出相變的過程，但計算量和難度都較大，不便工程應用.本文采用兩相均相模型.

1.2 多孔介質中滲流方程

工程上一般采用滲流力學來研究液體在多孔介質中的運動，其對大量流體質點利用統計平均方法來定義流體的速度、壓力、密度等宏觀物理量，并對這些物理量在空間的分布規律和隨時間的變化規律進行理論研究和數值計算.

各向同性多孔介質中，液體滲流運動方程［5］為

式中，u為滲流速度;μ為流體的動力粘性系數;ρ為密度;p為流體壓力;ε為多孔介質的孔隙率;fg為離心加速度;κ為滲透系數;CF為無量綱常數.

方程式（1）中等號右邊依次為離心力項、壓力降項、粘性力項、滲透阻力項.滲透阻力可由Darch定律或者加上非線性修正的Darch-Forchheimer定律［6－7］得到，其第 1 部分是與速度成正比的線性部分，第2部分是當速度較大時作修正而附加的非線性部分.

滲透阻力可以根據厄貢（Ergun）方程［8］進行描述，即

式中，Δp為流體通過厚度為ΔL的多孔介質層的壓力降;φs為多孔介質中固體顆粒的形狀系數;dp為多孔介質顆粒的當量直徑.

1.3 滲流方程的無量綱化

液體滲流運動受液體各運動參數以及多孔介質性質影響，直接求解極其困難，本文對其進行定性分析.為使分析更具一般性，將滲流運動方程進行無量綱化.首先引進無量綱物理量（帶*表示）:

式中，T為特征時間;L為特征長度;U為特征速度;P為特征壓力.

引進無量綱參數:

將式（4）代入滲流運動方程式（1）中，可得無量綱運動方程:

1.4 無量綱方程簡化

式（5）中的滲透阻力項，其非線性項系數為

由于 dp/L很小，而 φsε/（1－ε）和 Re不是非常大，所以滲透阻力中非線性項遠小于線性項，可將非線性項忽略.

式（5）中粘性力項與滲透阻力項的比可寫為

由于dp遠遠小于L，所以粘性力遠小于滲透阻力，可以將其忽略.因此，可將式（5）寫為

1.5 液氮運動分析

1）離心力分析.離心力只受彈頭自旋角速度影響，與滲流性質無關，相對于液體運動來說，可以認為其為恒定值.將離心慣性力分解為沿腔方向的力F1與垂直于腔方向的力F2，如圖1所示.

圖1 離心力分解圖

腔的厚度很小，所以在垂直于腔的方向，可以忽略液體運動.沿腔的方向，因為錐角很小，所以離心力分量F1也很小，離心力對該方向的液體運動的影響也可以忽略.

2）壓力與滲透阻力分析.壓力降變化值與歐拉數Eu有關，Eu數越大，其影響越大.由于沿速度方向壓力變小，所以壓力梯度為負值，即方程式（6）中壓力降項為負.

由方程式（6）可得，滲透阻力不僅受多孔介質材料特性Dc影響，還與流體流動特性Re有關.一般情況下，Dc很小，而工程上常見的滲流Re也不是非常大，所以二者乘積仍然很小，故而導致滲透阻力很大，且其始終與速度方向相反.

由以上分析可知，壓力降與滲透阻力導致的加速度均為負，即液體運動要克服較大的阻力，始終為減速運動.初始時液體運動速度不大，因此，在整個飛行過程中，液體均不會有太大的運動，即液氮分布變化不大.

3）液氮運動情況.綜上所述，多孔介質層內液體分布在各項力的作用下不會發生太大變化，即均相介質的運動很小，可忽略其速度變化，但均相模型的參數，如密度，會隨著液氮蒸發而改變.

由以上理論分析，可以合理假設冷罩多孔介質內一直充滿均勻介質，該介質不發生對流等相對于彈頭的運動，但密度會隨液氮消耗而變化，導致彈頭轉動慣量變化，進而導致姿態改變.

2 彈頭姿態動力學模型

2.1 坐標系定義

固連坐標系S1:原點O與不考慮液氮情況下彈頭質心重合，x軸指向彈頭前方，Oy垂直于彈頭縱軸指向上，Oz與Ox，Oy成右手系.

本體坐標系S2:原點C位于彈頭真實質心（考慮液氮），各軸與S1系各軸方向平行.

S1系與S2系如圖1所示.

2.2 慣性矩陣計算

關于S2系3個坐標軸的轉動慣量可寫為

式中，mg為彈頭剛性部分（包括多孔材料）的質量;mc為 t時刻均相介質質量;I'x，I'y，I'z以及 Igx，Igy，Igz分別為均相介質、彈頭剛性部分（包括多孔材料）對S1系3個坐標軸的轉動慣量;d為彈頭質心C與S1系原點O點之間的距離.

2.3 均相介質密度變化

設液氮受熱后均勻蒸發，消耗速率恒定，為Δm，g/s，初始時腔內充有質量為m1的液氮，則腔內液氮質量變化可寫為

進而可得密度變化為

式中，ε為孔隙率;V為多孔介質層的體積.

由于多孔介質層體積、孔隙率均一定，液氮質量呈線性變化，所以均相介質密度也呈線性變化.

2.4 姿態方程

對冷罩質心應用動量矩定理，可得自旋彈頭的姿態方程為

式中，IC為關于質心的慣性矩陣;為作用于剛體上的所有外力對質心的主矩;為所有反推力對質心的主矩.

3 姿態運動分析及仿真

3.1 理論分析

將其寫為分量形式，有

由式（12a）可得

式中，Cx為常數，可通過初始轉動慣量和角速度求得.將式（12b）變形為

兩邊求導后，將求導結果與式（14）代入（12c）可得有關ωy的二階微分方程，同樣的方法可得到ωz的表達式.由于二者形式相同，可將其寫為

其中

由式（13）、式（15）可知，非自旋方向姿態角速度變化為有阻尼振蕩，頻率與阻尼分別為

若無冷罩影響，則角速度為等幅無阻尼振蕩，頻率為

可見，冷罩的加入，不但使系統產生阻尼，而且也使頻率隨液氮消耗不斷變化.

3.2 數值仿真

假設彈頭質量為2000kg，高2.0m，彈頭與冷罩的半錐角（圖1中α）均為15°，多孔介質層厚度為1 cm.初始轉動慣量為Ix=400，Iy=Iz=1000，初始姿態角速度為 ωx=2π rad/s，ωy=0.01 rad/s，ωz=0.02 rad/s.初始時刻多孔介質層內充滿液氮，飛行過程中液氮以15 g/s的消耗量減少，則液氮、彈頭的轉動慣量變化如圖2、圖3所示.

圖2 液氮的轉動慣量變化

圖3 彈頭的轉動慣量變化

由圖2、圖3可以看出，對3個坐標軸的轉動慣量基本都是線性變化.其原因在于，多孔介質層內液氮消耗速度均勻，則腔內均相介質密度線性變化，導致其對各軸的轉動慣量也線性變化.式（7）雖然不是線性表達式，但彈頭質心距原點O的距離d太小，其影響可以忽略，則計算所得的轉動慣量基本呈線性.

不考慮冷罩時，角速度變化頻率為

冷罩內液氮分布對彈頭的姿態角速度變化頻率、阻尼及角速度大小影響如圖4所示.

圖4 頻率、阻尼變化圖

由圖4可知，非自旋方向姿態角速度的運動頻率隨著液氮消耗不斷增大，由約3.76 Hz增大到約3.96 Hz，接近線性增長，但影響作用不是很大，每百秒增大約0.1 Hz.角速度運動阻尼非常小（量級為10－6），對姿態角速度的影響可以忽略，角速度仍近似為等幅振蕩，如圖5所示.

圖5 姿態角速度

自旋方向的角速度隨液氮消耗而不斷增大，究其原因，是因為該方向轉動慣量隨液氮消耗而減小，根據式（13）可知，轉動慣量減小時角速度增大.

4 結論

由本文中液氮均相模型以及彈頭姿態動力學模型可得以下結論:

1）均相模型在多孔介質層內的速度變化不明顯，故認為腔內介質不發生運動，充滿整個多孔介質層，僅隨著液氮消耗而發生密度改變，進而導致腔內質量分布變化，影響彈頭姿態運動.

2）液氮的消耗使得自旋方向轉動慣量不斷減小，導致自旋角速度不斷增大.

3）非自旋角速度不為零時，液氮消耗使得角速度運動頻率有所改變，但改變緩慢且幅度不大，同時，會使角速度運動方程中出現阻尼項，但阻尼值很小，可以忽略其對非自旋方向角速度的影響，角速度仍近似做等幅振蕩.

綜上所述，帶冷罩的自旋彈頭在自由飛行過程中，液氮消耗僅會影響到自旋方向運動，對非自旋方向運動影響很小，工程應用中可以忽略.

致謝 感謝駱振華師弟在研究過程中所做的相關配合工作.

（References）

［1］Sessler A M，Cornwall J M，Dietz B，et al.A nuclear warhead with a cooled shroud［J］.Countermeasures，2004，4:105－113

［2］楊昌寶.液氮冷屏蔽罩換熱機理研究［D］.南京:南京理工大學動力工程學院，2007

Yang Changbao.Mechanism investigation on heat transfer of Liquid-nitrogen cooled shroud［D］.Nanjing:School of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Science ＆ Technology，2007（in Chinese）

［3］范燕萍.冷罩的結構設計與應力分析［D］.南京:南京理工大學機械工程學院，2007

Fan Yanping.Structure design and stress analysis of cooled shroud［D］.Nanjing:School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science ＆ Technology，2007（in Chinese）

［4］柴玉強.飛行器冷罩的結構設計與特性分析［D］.南京:南京理工大學機械工程學院，2008

Chai Yuqiang.Structure design and characteristic analysis of cooled shroud［D］.Nanjing:School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science＆ Technology，2008（in Chinese）

［5］陳金娥.關于滲流中流線不封閉的特性［J］.力學季刊，2003，24（3）:346－350

Chen Jine.Characteristics and conditions of unclosed flow streamline in porous media ［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2003，24（3）:346－350（in Chinese）

［6］Pascal J P，Pascal H.Pressure diffusion in unsteady non-Darcian flows through porous media［J］.Eur J Mech，B/Fluids，1995，14（1）:75－90

［7］Pascal J P，Pascal H.Non-linear effects on some unsteady non-Darcian flows through porous media［J］.Int J Non-Linear Mechanics，1997，32（2）:361－376

［8］霍華德F拉塞.化學反應器設計（I）:原理與方法［M］.北京:化學工業出版社，1982

Rase H F.Chemical reactor design for process plants:principles and techniques［M］.Beijing:Chemical Industry Press，1982（in Chinese）

Attitude model of spinning warhead with cooled shroud when liquid nitrogen is consuming

Yu Zhengning Zhao Yushan
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

An attitude dynamics model of spinning warhead flying at free stage with a cooled shroud was established while liquid nitrogen filled in porous medium layer was consuming.The effect of liquid nitrogen movement to spinning warhead is difficult to calculate and simulate directly in engineering，according to this，an infiltration movement model of mixture in porous medium was gained by using homogeneous assumption，then was analyzed by applying dimensionless method，and an applied attitude model was obtained.Simulation shows that angular velocity is increasing in spinning direction，but in other directions，frequencies of angular velocities are increasing while these velocities are not zero，meanwhile，damp effects are appeared in the angular movement.Because of little impaction to attitude angular，both frequencies increase and damp effects could be ignored in practical project.

cooled shroud;infiltration;porous medium;attitude dynamics model

V 412.4

A

1001-5965（2012）02-0208-05

2010-11-03;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:47;

CNKI:11-2625/V.20120221.1147.022

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1147.022.html

余正寧（1984－），男（回族），寧夏海原人，博士生，null_yzn@139.com.

（編 輯:張 嶸）