利用人工勢函數法的衛星電磁編隊控制

蘇建敏 董云峰

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

利用人工勢函數法的衛星電磁編隊控制

蘇建敏 董云峰

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

衛星電磁編隊是指利用衛星之間相互作用的電磁力進行衛星相對運動控制，對控制律的要求主要是計算量小和能避免碰撞.以目標星對參考星的相對運動矢量作為控制對象，分析了使用電磁力控制衛星編隊的可行性，結果是如果編隊衛星磁矩能夠任意控制，那么衛星相對運動也能完全控制.設計了人工勢函數，以相對位置和相對速度矢量作為變量，人工勢函數在達到控制目標時為最小值，在碰撞的位置具有局部最大值.設計的控制律能夠實時調整控制參數，能夠保證電磁線圈控制電流不至于飽和，以及人工勢函數導數在控制過程中小于零.仿真表明，所設計的控制律能生成編隊構型并避免碰撞，而且具有一定的抗干擾性.

人工勢函數;電磁編隊;避免碰撞;飽和;抗干擾

衛星編隊是指多顆小衛星在圍繞地球運動的同時，彼此之間形成特定的編隊構型，共同完成空間任務.電磁編隊則是利用安裝在衛星上的通電線圈之間的電磁力進行衛星相對運動控制的編隊.衛星編隊飛行控制主要關心的是衛星的相對運動，對絕對軌道的控制是次要的，因此利用衛星之間相互作用力來進行相對運動控制是對衛星推進系統的一種必然的改進.電磁力推進系統相比較普通推力器的優點在于，不消耗工質，不會有工質耗盡導致編隊壽命終結的問題;沒有推力器噴氣尾流對衛星有效載荷的污染，和對其他衛星的動力學干擾.缺點在于電磁力的作用距離有限，產生電磁力的同時會產生附加力矩，以及強磁場對星上電子設備的干擾.

編隊飛行控制策略的研究主要分為2類:從傳統的衛星軌道控制出發，以衛星之間軌道根數的差異作為控制目標;以CW方程為主的衛星動力學方程，以衛星相對位置和速度為控制目標，在軌道坐標系下進行控制.文獻［1］采用非奇異的軌道根數差來描述相對構型，利用高斯變分方程計算生成對應的軌道根數差所需要的脈沖大小和方向，將結果與數值優化的結果進行了比較.文獻［2］對軌道根數差進行數學變換，得到一組新的參數來描述相對構型，并推導相對軌道攝動微分方程，導出脈沖與相對軌道要素變化的關系.文獻［3］把衛星相對運動軌跡規劃問題，轉換成帶碰撞約束的燃料最優線性規劃問題，并采用混合整數線性規劃方法（MILP，Mixed Integer Linear Programming）進行求解.文獻［4］提出一種分布式的編隊構型生成與重構的規劃方法，在考慮碰撞可能性的前提下，通過優化發動機正向推力/停止/反向推力的切換時間來完成規劃.文獻［5］把碰撞限制下的編隊重構問題轉化為大量不等式約束的非線性燃料最優問題，并利用平行多重打靶法進行求解.文獻［6］以凸優化的方法規劃出期望重構機動路徑，然后設計基于二階一致性算法的反饋協同控制律，控制實際位置跟蹤期望軌跡，減小了燃料消耗總量，提高了燃料消耗均衡性.

綜上，由于星上燃料的寶貴性，以推力器控制的編隊控制問題一般轉化為燃料最優問題進行求解.

電磁編隊的控制是緊耦合的，對一顆星的控制會影響到其他衛星，隨著衛星個數的增加，問題的復雜性也會增加，如果采用優化的方法尋找最優軌跡，優化問題的規模會隨衛星個數增加擴大而呈幾何級數增長，所幸的是電磁編隊控制消耗的是可再生的電能，最優控制在此變得不那么重要［7］，而由于電磁力作用范圍小，電磁編隊衛星彼此的距離很近，衛星可能的碰撞問題在控制過程中需要重點考慮.人工勢函數法最早用于機器人控制，它的基本思想是構造一個勢函數，該函數在機器人目標位置和目標速度具有全局最小值，在障礙物處具有局部最大值，如果設計控制律使得勢函數的導數小于零，就能保證機器人在有限的時間內到達目標位置和目標速度，并有效的避開障礙物［8］.由于人工勢函數法不需要進行軌跡規劃且能有效防止碰撞，在衛星相對運動控制上也得到了應用，文獻［9］把人工勢函數法用于空間自主交會對接導航.文獻［10］則利用人工勢函數法控制理想情況下的電磁衛星編隊，其設定的運動環境是二維平面，且衛星不受外力，控制使得衛星的相對位置發生變化，相對速度為零.

由于Ahsun考慮的理想情況與實際的衛星編隊運動情況有所差異，本文在其基礎上進行了改進，得到的控制律適合三維空間地球重力場中的電磁編隊的運動控制，所做的改進主要是通過實時調整控制參數，保證控制的穩定性和控制力可實現.此外本文還對電磁編隊的可控性進行了分析.

1 電磁編隊可控性分析

由于電磁力的作用是相對的，電磁編隊無法對單顆衛星單獨施加控制，對一顆衛星施加控制必然影響到另一顆衛星，而對這兩顆星的控制又會影響到與其他衛星的相對運動狀態，因此首先需要分析電磁編隊的可控性，即當電磁編隊中衛星上的磁矩能任意取值時，各個衛星之間的相對運動狀態是可控的.這一命題可以分為兩部分:①如果編隊中各個衛星的磁矩可以任意取值，那么各個衛星受到的電磁力也能任意取值;②如果編隊各個衛星所受的電磁力能任意取值，那么衛星之間的相對運動狀態可控.

假設衛星上正交安裝3個電磁線圈以獲得任意大小和方向磁矩，其中單個電磁線圈磁矩的大小可表示為

式中，n為線圈匝數;i為線圈電流;a為線圈半徑;磁矩μ的方向與線圈電流方向符合右手法則.

設兩個衛星的磁矩分別為 μ1和 μ2，衛星2相對于衛星1的位置p，衛星2受到衛星1的作用力 f21為

式中，μ0是真空磁導率，等于4π×10－7N/A2.

設有n顆衛星，編號從1到n，質量分別為m1，…，mn，在近地空間編隊飛行，每顆衛星所受的電磁力分別為fei，其他外力分別為fai.以衛星1作為參考星，衛星2到n相對于衛星1的位置和速度矢量分別為pi，vi，以每顆衛星的磁矩μi作為未知量，有以下方程組:

由于電磁力合力為0，方程組（3）包括一個冗余的方程，實際有效的方程個數是n－1.把矢量表示為標量的形式后，方程組的未知量個數為3n，而限制方程的個數為3（n－1），如果磁矩能任意取值，總能滿足電磁力的要求.

編隊中衛星之間相對運動狀態可控，等同于矢量 pi，vi，i=2，3，…，n 完全可控，衛星相對運動方程如下:

聯立式（4）的第2個式子和式（5），以 fe1，fe2，…，fen作為未知量，對于任意給定的，可以求出滿足要求的電磁力.即如果編隊各個衛星所受的電磁力能任意取值，那么能任意取值，衛星之間的相對運動狀態可控.

2 用人工勢函數法的電磁衛星控制

沿用上一節的定義，編號從1到n的n顆衛星，以1星作為參考星，其他星相對于參考星的位置和速度分別為 pi和 vi，i=2，3，…，n，目標相對位置和速度記為pi0和vi0，設計勢函數使得編隊中的衛星在目標相對位置和速度具有全局極小值:

為了避免編隊衛星在達到目標相對位置和速度的過程中發生碰撞，在函數中加入一項以防止碰撞發生，該項在碰撞發生時具有局部極大值:

式中，p1為0;λ1，λ2是正常數;Q為正對角矩陣.

聯立式（6）和式（7），得到勢函數V:

對勢函數V求導得:

根據梯度函數ΔOij的性Δ質:

對式（9）進行整理得到

設計控制律:本文Ki是正對角矩陣.

式（12）代入式（11）得勢函數的梯度為

ΔOij是防碰撞勢函數的梯度函數，當衛星之間距離越近，其值越大，而在目標狀態，取值趨近零.vi0為第i顆衛星的目標相對速度，取值隨時間在一定范圍內周期性變化.為了保證式（13）為負值，需要控制Ki的取值.

電磁線圈產生的電磁控制力是有限的，當正交安裝的3個電磁線圈其中一個的電流發生飽和時，如果像文獻［10］那樣簡單進行限幅，那么實際產生的磁矩大小和方向均與預計的不符，最終每顆衛星受到的控制力可能與要求的控制力相差很多，所以在控制律的設計中必須盡量保證電磁線圈不至于發生電流飽和.為了實現這一目的，對控制量進行限制，由于電磁力大小與磁矩乘積成正比，與距離四次方成反比，因此給設定一個閥值，dmax為衛星之間最大距離，通過調整Ni的大小來保證小于給定的閥值.確定控制量的算法是:i從2到n.

關于控制磁矩的方程組（3），直接利用數值方法迭代求解，具體可采用“Matlab”的“fsolve”函數.電磁線圈在產生控制力的同時也會產生附加力矩，包括電磁線圈之間的電磁力矩和地球磁場對電磁線圈作用的電磁力矩，用動量輪進行吸收以維持衛星姿態的穩定.

3 仿真研究

包括4顆星的電磁編隊進行構型初始化，軌道為圓軌道，目標構型為能自然穩定的空間橢圓，4顆星相對于其中心的目標軌跡如下:

式中，θi為衛星的相位，分別為 0，π/2，π，3π/2;ω是軌道角速度.

初始時刻衛星 1的軌道根數為（7000 km 0 30° 0 0 0），因為構型初始化在短時間內完成，攝動力模型僅考慮地球J2項.電磁線圈所能產生的最大磁矩μ與線圈質量m、線圈半徑a和線圈超導材料的性質Ic/ρc的關系如下:

式中，Ic為單位截面積的超導材料能通過的最大電 流;ρc為 材 料 密 度;Ic/ρc的 取 值 為16250 Am/kg［7］.仿真參數如表 1 所示.

表1 仿真參數表

在文獻［10］中，衛星從靜止到靜止的控制過程中，會碰到“停止點”，原因是勢函數的第1部分（式（6））的導數，與勢函數的防碰撞部分（式（7））的導數相互抵消，導致還沒有達到目標位置的時候，控制力為零.而在運動到運動的控制過程中，即使衛星在某處“停止”了，由于目標位置隨時間變化，勢函數第1部分的導數的方向也會隨時間變化，與勢函數防碰撞部分的導數也會不同，以致重新產生控制力離開“停止”點.假設衛星初始相對位置如下:xi（0）=－0.5xi0（0）;yi（0）=－0.5yi0（0）;zi（0）= －0.5zi0（0）.

構型生成過程中衛星的相對運動軌跡如圖1所示，圖1包括了一個三維視圖和3個側視圖，坐標原點為衛星群幾何中心，能清楚的看出衛星在達到目標軌跡的過程中為避免碰撞所做的機動.圖2是控制過程中4顆衛星之間的距離，可知衛星之間的最小距離大于5 m.

與控制誤差相關的因素是:控制力的誤差、衛星受到攝動力和相對狀態的觀測誤差，表2給出了這些誤差因素在仿真中的設置.

仿真結果中控制誤差曲線如圖3所示.

圖1 相對運動軌跡

圖2 衛星之間相對距離

表2 與誤差相關的因素

圖3 相對狀態的控制誤差

最終位置誤差為10－1m量級，速度誤差為10－3m/s量級，誤差曲線有較明顯的毛刺現象，原因在于仿真中未對測量數據進行平滑處理.

仿真的其他結果如圖4～圖6所示.

圖4 控制系數

圖5 勢函數與勢函數導數

圖6 控制磁矩

圖4給出了控制過程中控制系數的變化，為了簡便起見，用矩陣N，K的第1個元素的值代表這個矩陣.通過實時調整控制系數，達到了兩個目的，從圖5和圖6可以看出，首先是勢函數的導數小于0，保證了能穩定收斂到目標狀態，然后是衛星磁矩都在可實現范圍之內.

4 結論

通過把電磁編隊的相對運動控制分解成對多個相對運動狀態矢量的控制，構造了人工勢函數，并推導控制律，對編隊構型生成進行了仿真研究，得到了有意義的結論.

如果編隊中的衛星磁矩完全可控，那么編隊衛星的相對運動狀態也完全可控.仿真表明，編隊衛星在構型生成的過程中做了種種規避動作以避免可能的碰撞，基于人工勢函數法設計的控制律達到了防止碰撞的目的.在考慮了觀測誤差，執行誤差以及攝動力的情況下，編隊仍然在控制力的作用下完成構型生成，說明人工勢函數控制律具有一定的抗干擾性.對控制系數的實時調整保證了電磁線圈不至于處于電流飽和狀態，不會因為電流飽和而影響控制效果.

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Artificial potential function method for satellite electromagnetic formation control

Su Jianmin Dong Yunfeng
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

The relative motion of electromagnetic satellites is activated by electromagnetic force between satellites.The control law should satisfy two conditions，low calculation burden and ability of avoiding collision.The control objects are relative motion vectors of satellites to reference satellite.The analysis of feasibility of electromagnetic force control to satellite formation shows that relative motion of satellites can be controlled if electromagnetic strengths of satellites can be controlled.An artificial potential function was designed.Relative positions and relative velocities are treated as variables.The value of the function is minimal when control object is got，and it is local maximal when collision happens.By regulating control parameters in real time，which the current of electromagnetic coils won't beyond upper limit is regarded.The derivative of artificial potential function is less than zeros in control process.Simulation shows that electromagnetic satellites configuration would be generated when control law was imposed with interference.

artificial potential function;electromagnetic formation;collision avoidance;saturation;anti-interference

V 412.4

A

1001-5965（2012）02-0213-05

2010-10-11;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.019

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.019.html

蘇建敏（1982－），男，湖北仙桃人，博士生，jackysura@gmail.com.

（編 輯:張 嶸）