基于小波域的圖像椒鹽噪聲密度估計

李天翼 王明輝 林 濤 余文森

（四川大學 計算機學院，成都 610065）

基于小波域的圖像椒鹽噪聲密度估計

李天翼 王明輝 林 濤 余文森

（四川大學 計算機學院，成都 610065）

提出一種基于小波域的椒鹽噪聲密度估計方法.利用圖像信號在小波域的系數具有穩定近似的分布，以及噪聲對小波系數影響的特點，定量地分析了含噪圖像的系數幅值直方圖與原始圖像的系數幅值直方圖之間的偏離程度隨噪聲密度的變化規律，揭示這種變化關系對圖像具有強的魯棒性，從而利用這種關系對噪聲進行估計.仿真結果表明，相對于目前方法，提出算法性能更佳，能夠獲得更準確的估計值和更小的估計偏差.

小波系數;相關系數;直方圖;椒鹽噪聲;密度估計

由于成像過程中的短暫停留而造成的椒鹽噪聲是影響圖像質量的一種典型噪聲源.該噪聲不僅嚴重干擾人類的視覺感知，并且經常在邊緣提取等處理中引起誤操作，因此在圖像處理之前通常要進行椒鹽噪聲的濾除.目前已開發出多種有效的濾噪算法，如標準中值濾波、自適應中值濾波、自適應模糊轉換濾波、開關中值濾波、遞進開關中值濾波、極值中值濾波、加權中值濾波、大范圍相關濾波、基于相關性權值濾波等［1－10］.而在噪聲濾除中一個基礎性的工作是對噪聲的估計，這是因為很多算法都依賴于噪聲的參數信息進行處理，并且噪聲參數也有助于決策濾波的強度.對于椒鹽噪聲，唯一的參數就是反映噪聲大小的噪聲密度.

目前國內外對于噪聲估計的報道已很多，但其中多是針對高斯噪聲的研究，而對椒鹽噪聲的估計卻鮮見報道.在這方面，國內的張旗和曹占輝等作了有益的探索，并取得不錯的結果［11－12］.張旗等在文獻［11］中提出的方法是根據小波高頻子帶系數的方差與椒鹽噪聲密度有關這一特性，利用多項式擬合求取.而曹占輝等在文獻［12］中的方法則是利用圖像幅度譜與噪聲大小之間的變化規律進行估計.兩種方法都在一定程度上解決了噪聲密度的估計問題，但還不能達到令人滿意的結果.文獻［11］方法在噪聲密度較低時估計值較好，噪聲密度偏高時較差，而文獻［12］方法的結果則正好相反.導致估計不準的原因，主要還是來自于兩者所采用的依賴關系并不穩健，因而造成較大的偏差.

為此，本文提出一種新的基于小波域的估計算法.該方法首先指出對自然圖像而言，其小波高頻子帶系數具有近似的分布，并將含噪圖像的小波系數分布與原始圖像的小波系數分布之間的偏離程度進行量化，揭示出這種偏離與噪聲密度之間的變化規律，從而利用這種變化關系對噪聲進行估計.這種依賴關系相對于文獻［11－12］中采用的關系，更能準確反映噪聲大小.對大量圖像進行計算機仿真，結果表明，本文方法能夠獲得相當準確的估計值，性能明顯優于前面兩種算法.

1 噪聲對小波系數分布的影響

與圖像信號的強度相比，椒鹽干擾通常較大，因此在一幅圖像中，椒鹽噪聲通常數字化為圖像灰度的極值.在8 bit圖像中就是0和255，分別代表胡椒和鹽粒噪聲，一般情況下認為胡椒和鹽粒所占比重相等.這樣，假定一幅數字圖像椒鹽噪聲的密度為d，可以為噪聲建立如下的數學模型:

式中，f（x，y）和g（x，y）分別表示原始圖像和含噪圖像中像素點（x，y）的灰度值;P（x）表示取值為x的概率.如果圖像像素數為N，意味著圖像中有N×d個像素點被污染了.

1.1 自然圖像的小波系數分布

小波是近年迅速發展起來的一門新興技術，廣泛應用于圖像處理的各個領域.通過一步小波變換，1幅圖像被分解成4幅子圖像，即近似子帶（LL）、水平細節子帶（LH）、垂直細節子帶（HL）和對角細節子帶（HH）.其中LL子帶由圖像與式（2）的二維尺度函數作內積生成:

而其它3個細節子帶由圖像與式（3）～式（5）的二維小波函數作內積生成:

變換過程可以迭代執行若干次，每次都是在上一尺度的近似子帶上作分解而實現.圖1示出了對一幅圖像的二步小波分解.

圖1 圖像的小波分解示意圖

對圖像信號而言，其在高頻子帶中的小波系數具有稀疏性的特點，即大部分系數的幅值接近于或等于零，只有少數系數的幅值較大，這從圖1的各個細節子帶可以清楚地看出.Mallat在文獻［13－14］中提出一種廣義高斯模型（GGD，Generalized Gaussian Distribution）來描述這種分布特征:

為直觀地描繪小波系數的這種分布，本文以Cameraman（256×256像素）和 Lena（256×256像素）2幅圖像為例，對它們的對角子帶系數取絕對值，然后作出相應的直方圖.原圖及對應的直方圖如圖2和圖3所示.由于小波系數正值和負值呈近似對稱的分布，所以圖中的直方圖并未丟失負值部分的信息.

由圖2和圖3可以看出，2幅圖像雖然不同，

圖2 Cameraman圖像的小波系數分布

圖3 Lena圖像的小波系數分布

但由它們生成的對角子帶系數幅值的直方圖卻非常近似.對大量其它圖像處理，也生成近似的直方圖.當然圖像大小不同，縱軸的系數個數會不同，但所占總系數個數的百分比卻近似相同.這表明，圖像經過小波變換，其高頻對角子帶中的系數幅值的直方圖對圖像具有較強的魯棒性，隨具體圖像變化較小.于是該直方圖可以作為一種通用的特征用于任何圖像的計算處理中.為得到魯棒性更強的結果，本文采用200幅自然圖像（包括一些標準測試圖），對這些圖像的直方圖進行統計平均，統計結果稱為標準直方圖，其數據列在表1中.在計算每一圖像的系數幅值直方圖時，根據其小波系數可能的幅值范圍（例如對8 bit表示，就是0～255），將其均分為6個區間，各區間數據代表的是該區間系數個數占總個數的比例.

表1 標準直方圖數據

1.2 噪聲對小波系數幅值直方圖的影響

對一幅原始圖像（不含噪聲的自然圖像）施加椒鹽噪聲，該圖像就被污染，成為了含噪圖像.一幅含噪圖像包含若干噪聲點，對于椒鹽噪聲，這些點以灰度極值的形式存在，反映在視覺中就是黑點和白點.引入的噪聲點不是圖像本身的有機組成成分，與其周圍原始圖像本身的像素點通常具有較高的灰度梯度.小波變換的特點是對圖像平緩的區域生成接近于零的系數，而對灰度急劇變化的部分（如邊緣）生成幅值較大的系數.由于噪聲點與鄰域像素間的灰度差較大，因此相對于原始圖像，含噪圖像的小波系數中具有較高幅值的系數比例應該較大，而小幅值（或接近于零）的系數比例應較小，反映在系數幅值直方圖上，也就是原始圖像和含噪圖像的對應直方圖應有一定程度的偏離.隨著噪聲密度的增加，噪聲點越來越多，那么這種偏離度應該越來越大.為驗證這一推斷，本文對大量圖像施加不同密度的椒鹽噪聲，作出相應的系數幅值直方圖，結果表明了這一推斷的正確性.這里以Lena圖像為例，其各含噪圖像及對應的系數幅值直方圖顯示在圖4中.

圖4 Lena含噪圖像及對應的系數幅值直方圖

圖4直觀地顯示出了隨著噪聲密度的增大，含噪圖像的系數幅值直方圖與原始圖像的系數幅值直方圖（或者說與標準直方圖）的偏離度越來越大.這一關系對其它圖像也成立，并且這種偏離對噪聲密度非常敏感.例如5%和10%的噪聲差別并不太大，但兩者的直方圖就出現了較大的偏差.這說明含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的偏離度適合用于對噪聲密度的估計.為此，需要對這種偏離程度進行量化.令標準直方圖的數據為hstd（1∶H），其中H是計算直方圖時所統計的區間數，反映在hstd中就是所得一維向量的長度.同樣令含噪圖像直方圖的數據為hnoise（1∶H），長度與hstd相等，表示在計算直方圖時采用同樣的區間劃分.hstd（i）表示對處于第i區間的系數統計得出的比例，對hnoise（i）含義類似.這樣，可將含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的偏離度定義為它們之間的相關系數:

當hstd與hnoise相等，也就是2個直方圖完全相同時，所得 ρ（hstd，hnoise）值為 1.隨著 hstd與 hnoise差別越來越大，也就是2個直方圖越來越偏離時，ρ（hstd，hnoise）值也越來越小，直至為0.所以式（7）的定義能夠很好地刻畫2個直方圖的偏離程度.

對包括圖2、圖3和圖5在內的6幅原始圖像分別施加不同密度的椒鹽噪聲，作小波分解，然后按式（7）計算得到各含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的相關系數，部分噪聲密度下所得相關系數值列于表2.

圖5 參與相關系數計算的實驗圖像

表2 部分噪聲密度下相關系數值

對大量其它圖像作同樣的實驗，可以得到近似的結果.對這些數據進行分析可以得出以下2條結論:

1）對任何圖像而言，含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的相關系數，隨噪聲密度的增加單調減小.

2）對不同的圖像，如果噪聲密度相同，則所得相關系數值很接近.通常圖像細節較多，所得值偏小，圖像較平緩，則所得值偏大，但這種差別并不大.例如圖5a（細節非常豐富）和圖5c（具有完全平坦的區域），從細節的角度差別巨大，分別代表了2個極端，但在相同噪聲密度上所得相關系數值差別卻并不太大.對大量其它介于其間的圖像，所得值就更加接近.這表明，含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的相關系數，極大程度上是由噪聲密度決定，受具體圖像特征影響較小.

以上分析揭示了含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的相關系數非常適合用于對噪聲密度的估計.為使這種變化關系更具魯棒性，將各個噪聲密度下對大量圖像獲得的相關系數值進行平均，部分噪聲密度下的統計平均結果示于表3，由表3數據繪出相應的曲線見圖6.

表3 相關系數統計數據

圖6 相關系數隨噪聲密度變化的統計曲線

將統計數據按照最小均方誤差準則進行多項式擬合，得出如下擬合公式:

式中，ρ是按式（7）計算所得的相關系數值;d是噪聲密度.如果式（8）所得值為γ，則表示噪聲密度為γ%.該公式形式化地描述了相關系數與噪聲密度之間的變化關系.對于精度要求不高的場合，擬合可以取二次多項式.

2 噪聲的估計

上述分析揭示了含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的相關系數隨噪聲密度的變化規律，并將這種關系以式（8）形式化地表達.通過實驗論證了這種變化關系對圖像具有較強的魯棒性，這說明利用式（8）通過相關系數值去估計噪聲密度能夠獲得穩健的結果.本文正是利用這樣的關系，將表1的標準直方圖和式（8）作為先驗知識用于含噪圖像的估計，獲得了比其它方法更優的結果.

對一幅含噪圖像的椒鹽噪聲密度估計描述如下:

1）對含噪圖像執行小波分解;

2）對分解所得的高頻對角子帶系數進行統計，生成系數幅值直方圖;

3）對標準直方圖與生成的系數幅值直方圖，采用式（7）計算它們之間的相關系數;

4）將計算所得相關系數值代入式（8），計算所得即為含噪圖像中椒鹽噪聲密度的估計值.

這里要注意的是對含噪圖像作小波分解時，所采用的小波基與獲得先驗知識所采用的小波基應相同.在本文中采用的小波基為sym4.另外，在生成含噪圖像的系數幅值直方圖時，所劃分的區間數必須與標準直方圖所統計的區間數相等，并且這個數目的設定不宜過大，但也不能太小.如果過大，則會對系數隨機的微小變化過于敏感，造成估計不穩定.如果太小，則又不能靈敏地檢測出2種系數分布之間的差別.本文通過大量實驗確定采用的數目為6時是最優的.第1節獲得的先驗知識就是在這個數目基礎上計算得出的.

3 仿真實驗

為驗證本算法的有效性，本文在Matlab 7.0中［15］進行仿真實驗.隨機地選取30幅原始圖像，分別施加密度為 5%，10%，15%，20%，25%，30%，35%和40%的椒鹽噪聲，采用本文方法進行估計，估計結果列于表4.為便于比較，文獻［11－12］方法的結果也列于表中.為表明本算法的有效性，這里所選擇的30幅實驗圖像與前面獲得先驗知識所采用的圖像是完全不同的2組圖像.部分實驗圖像示于圖7.

通過表4的分析可以看出，本文算法相比其它2種方法有明顯的改進.除真值為5%時比文獻［11］方法略為遜色外，在其它所有密度上的估計都比2種方法更接近真值.文獻［11］方法隨著噪聲密度增大性能越來越差，而文獻［12］方法則在噪聲較小時誤差較大.本文算法并沒有這樣的特點，在不同的密度上，估計均值總是在真值上下波動，其偏差程度不隨噪聲大小而變化，這表明本文所依賴的變化關系適用于更寬廣的噪聲范圍.就估計標準差而言，本文算法明顯比其它2種方法要小很多.這意味著在本文方法中，對不同圖像所得估計值波動較小，這實際上證明了本文算法所采用的變化關系對圖像具有強的魯棒性，幾乎不隨具體圖像的不同而變化，而這個特性對估計結果的可靠性是至關重要的.

表4 噪聲密度估計結果

圖7 部分實驗圖像

4 結論

本文從研究圖像信號在小波域的系數分布著手，指出對所有自然圖像而言都有近似的系數幅值直方圖，進而揭示含噪圖像的系數幅值直方圖與自然圖像的系數幅值直方圖之間的偏離程度隨噪聲密度變化的規律，通過相關系數的引入定量地研究了這種變化關系，并在大量統計數據的基礎上通過擬合公式予以形式化的描述.利用這種關系對椒鹽噪聲密度進行估計，獲得了令人滿意的結果.

相比現有算法，本文方法所采用的變化關系具有明顯的優勢:

1）對圖像具有更強的魯棒性.這決定了本文算法的估計值更準確.

2）適用于更寬廣的噪聲范圍.這決定了本文算法的應用面更廣.

不過，在噪聲密度特別大（＞70%）的情況下，本文方法性能有所降低.這可以解釋為噪聲密度很大時，噪聲點與噪聲點聚集在一起，這時噪聲點的鄰域中也包含很多噪聲點，并且這些噪聲點有一半的概率與中心噪聲點像素值相等，這樣中心噪聲點與周圍像素的灰度差別不僅不大，反而非常接近，所得小波系數的幅值自然不會偏大.這時含噪圖像的系數幅值直方圖與標準直方圖之間的偏離度不再隨噪聲密度單調變化，由此來估計噪聲自然不會得到準確的結果.針對高椒鹽噪聲估計不準的問題也同樣存在于包括文獻［11－12］的其它算法中.如何提高算法在高椒鹽噪聲下的估計性能，是下一步的研究方向.

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Estimation of salt-pepper noise in images in wavelet domain

Li TianyiWang Minghui Lin Tao Yu Wensen
（College of Computer Science，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

A novel approach was proposed for estimating the density of salt-pepper noise in images using wavelet transform.On the basis of the fact that the wavelet coefficients of all natural images conform to stable and close distribution，as well as such distribution of the noisy image may be influenced by the noise，the proposed algorithm exhibits how the wavelet coefficients magnitude histogram of the noisy image deviates from that of original image along with the density of the salt-pepper noise in quantitative form，and indicates that the degree of such deviation is nearly determined by the noise density，i.e.，the change relation is robust to image traits.The proposed algorithm thus takes advantage of this relation to make estimation.Compared with those of existing methods，simulation results show that the proposed approach has more exact estimation value and less deviation.

wavelet coefficient;correlation coefficient;histogram;salt-pepper noise;density estimation

TP 391

A

1001-5965（2012）02-0239-05

2010-11-08;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:47;

CNKI:11-2625/V.20120221.1147.026

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1147.026.html

李天翼（1970－），男，四川合江人，博士生，scu_lty@eyou.com.

（編 輯:文麗芳）