航空鋁合金應變空間彈塑性本構模型

張舒原，吳運新，龔海

(中南大學 機電工程學院，湖南 長沙，410083)

航空鋁合金預拉伸厚板是航空航天與武器裝備戰略產業用高性能輕合金大型復雜結構件制造的基礎材料，在大型軍/民用飛機、戰略航空武器裝備中大量使用的整體結構件都會用到這類材料。目前制約我國高強鋁合金厚板應用的主要問題是厚板淬火強化后將產生較大的殘余應力，在后續加工中極易導致構建變形而報廢。消除厚板淬火殘余應力的最有效手段是厚板淬火后進行預拉伸。預拉伸工藝通過對厚板施加均勻塑性變形達到使厚板內部殘余應力釋放的目的。而建立厚板彈塑性增量本構模型是分析預拉伸消除殘余應力機理的基礎。目前用于鋁合金材料的彈塑性本構模型都基于應力空間構建。當已知變量為應力時，可方便地求出板材內部應變。然而厚板可在線測試得到的物理量是應變和應變率，將其用于鋁合金等強化材料的應力空間彈塑性模型時無法直接求解。由于航空鋁合金預拉伸工藝的控制參數是板材軋制和橫向的變形，其屈服函數不能簡化為橢圓方程的形式，因而不能在應力空間的彈塑性模型中求得解析解。這一領域有關研究均是通過有限元數值仿真分析預拉伸應力，并結合實驗數據來優化預拉伸工藝。采用應變空間表述的彈塑性本構模型可以直接由已知的變形條件求解出板內應力狀態，為分析殘余應力消減的宏觀機理奠定基礎。基于應變空間的彈塑性模型最初由Drucker[1]提出，但是這一領域最早的工作應該歸功于 Naghdi等[2]的研究，他們將塑性應變和累積塑性應變作為塑性變形研究的狀態變量。大部分研究者對這種變量更加熟悉。Yoder等[3]用塑性應力作為內變量建立了應變空間的屈服條件。Lu等[4]分析了應力空間模型和應變空間的等效性。他們的研究表明兩種模型是等效的。應變空間彈塑性模型由于具有諸多優點，因此在混凝土、巖石、土壤等非金屬材料的分析中得到廣泛的應用[5-9]。然而到目前為止，應用于高強鋁合金等線性等向強化金屬材料的彈塑性本構模型研究未見報道。本文作者由巖土力學中使用的應變空間彈塑性應力應變一般關系出發，根據航空鋁合金材料力學特征推導出適合等向強化金屬材料的應變空間彈塑性增量本構模型，從而為超高強航空鋁合金厚板預拉伸工藝機理分析奠定基礎。

1 應變空間彈塑性本構模型

由于應變空間中屈服函數的實驗研究較少，故應變空間中的屈服函數通常由應力空間屈服函數轉化得到。應變空間里的屈服函數一般可表示為：

其中： εipj為塑形變形分量；H為加載歷史的內變量，可以取為累積塑性應變或者塑性功，一般情況下使用前者更加方便。累積塑性應變[10]的定義是為偏應變張量增量的塑性部分。對于金屬材料來說，無塑性體積變化，故所以有：

用應變空間的屈服函數可以給出如下的加載準則：

類似于應力空間中的流動法則，在應變空間也有與之對應的形式：

式中：ijklC 為材料的彈性剛度張量。且有

其中：E為材料的彈性模量；v為泊松比；ijδ為Kronecker符號。由式(4)和(5)可以得到：

類似于應力空間中的定義，λd與應變增量之間有如下關系：

其中：A為比例系數。由于屈服函數F必須滿足一致性條件，故由式(1)有

將式(6)和(7)帶入式(8)則得到：

由d0λ≠，則可求出系數A的表達式：

將式(10)帶入式(7)即可得到比例系數λd的表達式。由于材料的應變增量可以表達為彈性應變增量和塑性應變增量之和，故有

式(11)兩邊乘以 Cijkl，考慮到 Cijkldεe=dσ 及式(4)和(7)，經整理后可得應變空間彈塑性增量本構關系：

2 鋁合金應變空間彈塑性本構模型

前面得到的本構關系式(12)是應變空間彈塑性增量本構關系一般表達式。要建立航空鋁合金材料的彈塑性增量本構模型，還需要確定屈服條件、流動法則、塑性模量和強化函數。

2.1 屈服函數

航空鋁合金材料屬于強化材料，毋玲等[11-12]研究表明超高強航空鋁合金材料具有明顯的各向同性線性強化特征。因此本文選取各向同性線性強化作為材料的硬化模型。在應力空間中，以累積塑性應變為內變量的各向同性Mises強化材料的屈服函數可取為：

式中：J2為偏應力張量的第二不變量。由于J2和偏應變第二不變量 J2′之間的關系為，故式(13)可轉化為應變空間中的屈服函數：

其中：G為剪變模量。式(14)可做進一步簡化，但相應的強化函數等參量也要改變。為了方便與應力空間的塑性模型對照，保留式(13)中的形式作為應變空間中的屈服函數。由式(14)可以得到屈服函數對于應變分量的偏導數：

由于金屬是穩定材料，故取屈服函數作為塑性勢函數，即Q=F，以下均用F代替Q。

2.2 塑性模量和硬化函數

式(16)后半部分即為強化材料在應變空間里的硬化函數。由式(15)可得到以下關系：

將式(17)和式(18)帶入式(16)可得系數 A的表達式：

2.3 增量本構模型

由式(15)可推得：

將式(17)～(20)帶入式(12)得到高強鋁合金材料的彈塑性增量本構關系：

3 模型驗證及分析

預拉伸工藝屬于平面應力狀態下的彈塑性變形[13-14]，厚板內部不同深度處可視為沿著軋制方向和橫向呈一定固定比例的變形。文獻[15]例題8.14中的變形條件與預拉伸工藝類似，故本文采用該題設定條件，將其計算結果作為已知應變條件輸入本文模型反求應力，以驗證本模型的正確性。現假定一鋁合金金屬薄板軋制方向(x向)和橫向(y向)受均勻外力作用發生變形，產生的內應力變化路徑如圖1所示(簡明起見量綱為1)。

圖1 薄板應力加載關系曲線Fig.1 Stress curve of loading on plate

薄板由初始點O開始比例加載至B點，2個正方向的應力成比例增大。設A點是初始屈服點，B點應力為已知材料強化特性是各向同性線性強化，應力空間的屈服函數為：原題將柏松比取為0.5，為避免彈性剛度張量在矩陣計算時分母取值為0，這里將泊松比的值取為0.499 9。由設定條件可知應力主方向和應變主方向重合，不存在剪應力和剪應變。

由平面應力狀態下的Mises屈服條件，在A點有：

式中：上標A表示該變量是變形狀態A點處的量，以下相同。由式(22)可求出屈服點A處的應力狀態是：

根據應力空間的加載準則容易判斷在 AB段薄板均處于加載狀態。考慮應力空間關聯正交流動法則和增量線性理論，用應力增量表達應變增量如下：

將A點應變和AB段應變增加量相加即可得到最終應變：

現用計算出的應變作為已知條件輸入前述建立的應變空間彈塑性增量本構模型。由應力分量間的比例關系，容易由虎克定理計算出x和y方向的應變分量在彈性階段(OA段)的比值是常數：

由式(24)～(27)可知：在彈塑性變形階段(AB段)，x和y方向的應變之比也是常數：

上述應變關系如圖2所示。

圖2 薄板應變加載曲線Fig.2 Strain curve of loading on plate

根據彈性變形條件下的虎克定理， σij=Cijklεkl，容易求出初始屈服點A處的應力狀態：

應變空間中的屈服條件由已知應力空間中的屈服條件轉化得到：

對式(33)應變分量求偏導數的結果與式(15)相同。因此，本例中強化函數、比例系數等參量的表達式與式(16)～(20)中的形式相同。將材料常數及屈服條件代入式(21)，得到彈塑性變形階段的增量本構關系如下：

AB段的應變分量可由下式表達

由式(31)，可以得到AB段應變增量間的關系：

將式(35)和(36)代入式(34)中的 eij和 J2′，則式(34)也可如式(24)一樣簡化為只含有表達式。將該式在塑性變形區間AB上對y方向應變路徑積分即可得到塑性變形階段的應力增量。對于x方向的應力增量，積分式的顯式展開為：

同理，可得到

將A點應力與AB段應力增加量相加即得到B點應力：

應變空間模型所得結果與題設基本一致。由上述計算可知本文建立的應變空間塑性增量本構模型與應力空間中的塑性增量本構模型等效。

4 討論

式(39)的結果與精確值相比還有一定的差異，誤差主要有2個方面的因素：一方面誤差來自計算時的舍入誤差；另一方面，計算中泊松比的取值接近0.5，造成彈塑性剛度矩陣 Cep接近奇異，從而導致模型對于輸入誤差的敏感度增強，放大了舍入誤差帶來的影響。若采用材料實際泊松比值(如對高強鋁合金ν = 0.33)，則擾動會明顯降低。

在實際應用中，板材厚度方向的應變難以實時準確的檢測到，而應變誤差的擾動對于應力計算的結果影響很大。因此，厚度方向的應變需要由軋制和橫向方向的應變通過一定的關系模型求解，這樣就可以進一步簡化應變空間彈塑性模型的計算，并獲得更為精確的結果。

通過前面的例題可以看出，利用應變空間塑性增量本構關系可以很容易地由已知應變求出應力，大大簡化了工程實際應用時的計算。在高強鋁合金淬火厚板預拉伸等工藝的應力測試和分析中，已知變量及實驗可直接測試的物理量均為位移，因此應變空間中的彈塑性模型特別適合這些研究方面的應用。事實上，式(21)模型適用于所有各向同性線性強化金屬材料的分析。通過對屈服條件、強化函數、塑性模量等條件的修改，該模型也可應用于Tresca強化材料。

5 結論

(1) 建立的應變空間塑性增量本構模型適合于高強鋁合金等各向同性線性強化材料，該模型與應力空間的塑性增量本構模型等效。

(2) 基于應變空間的彈塑性本構模型可以由已知應變條件直接求得應力，在研究金屬變形應力時使計算過程大為簡化。尤其是對于強化材料來說，應變空間本構模型在使用上特別方便。

(3) 對于以累積塑性應變為內變量的線性強化材料，應變空間中的硬化函數等于應力空間的塑性模量，在計算中可以直接使用塑性模量的值作為應變空間模型計算時的硬化函數。

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