基于響應面方法的轉向梯形優化設計

唐應時，朱彪，朱位宇，姜友清

(1. 湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410082；2. 株洲易力達機電有限公司，湖南 株洲，412002)

汽車的轉向系統在車輛行駛過程中，對整車的操控性、穩定性以及輪胎的磨損都有很大的影響。同時，車輛在實際的轉向過程中，也受懸架系統的結構及其與轉向系統之間的相互作用有關[1]。因此，研究與分析轉向和懸架之間的關系，對轉向機構的設計有著非常重要的作用。當懸架跳動時，轉向梯形對前輪定位參數中的前束角的變化影響最為明顯[2]。因此在優化轉向梯形時，必須考慮前束角的變化。文獻[3]在優化斷開式轉向梯形時將轉向系統投影在平面上，使用作圖法來解決。文獻[3-5]建立了斷開式轉向機構的平面數學模型。文獻[6]建立了斷開式轉向機構的空間數學模型，利用 MATLAB優化工具箱單純對轉向系統進行優化。本文作者利用ADAMS/CAR建立了完整的雙橫臂扭桿懸架轉向的虛擬樣機模型，進行了對阿克曼誤差和前束角的 2次仿真實驗。并通過在ADAMS/Insight中進行了DOE實驗分析，選用響應面方法(RSM)，擬合出變量與阿克曼誤差、變量與前束角之間的回歸函數，進一步研究了變量與轉向梯形以及前束角的關系，同時避免了復雜的公式推導與計算。最后利用 MATLAB優化工具箱，優化轉向梯形，優化了阿克曼誤差，并減少了前束角的變化范圍，達到較好的效果。

1 轉向梯形的設計要求

汽車在轉向時，要保證四輪做純滾動，各車輪必須圍繞同一個瞬心轉動，即必須滿足阿克曼轉向原理。如圖1所示，阿克曼幾何學原理要求將整車投影到一個平面上，當前輪在轉向時，內外輪必須符合如下關角，iδ為內側轉向輪轉角，L為車輪輪距；tkp為主銷軸線與地面交點間的距離。

由于在實際轉動過程中，車輛的轉向梯形很難在整個轉動范圍內均滿足該條件，通常只是近似地滿足[7]。獨立懸架車輛的轉向梯形斷開點位置選擇不合適時，易導致轉向桿系與懸架導向機構運動不協調，汽車在行駛過程中就會出現前輪擺振、跑偏等現象，破壞操縱穩定性，加劇輪胎磨損[8-9]。因此在設計轉向梯形的時候，就必須使車輪在轉動過程中，盡量滿足阿克曼原理，從而減少輪胎的磨損，提高轉向的性能。

圖1 理想阿克曼轉向原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of ideal ackerman steering

汽車直線行駛時，若車輪跳動時，會引起前束角的變化。前束角的變化范圍過大會帶來滾動阻力增大，輪胎磨損增加和直線行駛能力變差等不良后果。轉向梯形的內外球頭的位置對前束角的變化有著較大的影響。因此在設計和優化轉向的過程中，必須同時考慮前束角的變化范圍[10]。

2 虛擬樣機模型建立與仿真

2.1 雙橫臂扭桿懸架轉向模型的建立

本文是以某款小型皮卡車為研究背景，該車前懸架為雙橫臂扭桿的獨立懸架，扭桿的剛度為線性剛度，轉向系統采用的是無助力的機械式齒輪齒條轉向。軸荷分配為前軸50%。如表1所示，整車參數以及前輪定位參數。

表1 整車主要參數Table 1 Main vehicle parameters

圖2所示為轉向和前懸架模型。在ADAMS/CAR中建立了虛擬樣機模型。

2.2 虛擬樣機仿真

2.2.1 車輪轉向仿真分析

圖2 轉向和前懸架模型Fig.2 Model of steer and front suspension system

該皮卡的齒輪齒條的最長行程為68 mm，根據此參數對該模型做轉向分析。可以避免由于齒輪齒條的傳動比設置不準確而帶來的誤差。輸入齒條行程，使車輪向右轉動，測試在此車輪轉動工況中的阿克曼誤差。阿克曼誤差定義為外輪的實際轉角與阿克曼理想轉角之差。圖3所示為左輪阿克曼誤差與左輪轉角的關系。阿克曼誤差為正時，表示外輪實際轉角大于阿克曼理論值；反之，則表示小于理論值。由于汽車在正常行駛過程中，常常在0°～25°的轉角范圍內轉向，所以保證這一范圍內具有較小阿克曼誤差具有更重要的實際意義[11]。

圖3 左輪阿克曼誤差與左輪轉角的關系Fig.3 Gragh of Ackerman error vs left steer wheel angle

2.2.2 平行輪跳仿真分析

根據該車實際運行工況，選擇激振臺對前懸架模型進行上下輪跳動的幅度為80 mm的平行輪跳實驗，用于測試在此工況下前束角的變化情況。通過ADAMS/CAR的仿真分析，如圖4所示，得到左輪的前束角的變化曲線。由于曲線關于原點對稱，所以在該圖中只表示了車輪上跳的曲線。

圖4 前束角變化曲線Fig.4 Change of toe angle

3 DOE實驗設計及設計變量的選取

DOE(Design of Experiments)實驗設計方法，是一種通過實驗設計和安排，利用數理統計工具來規劃實驗、分析模型與數據的一種方法。DOE能夠以較小的實驗規模，較短的實驗周期和較低的實驗成本，獲得較為理想的實驗結果，得出科學的結論[12-13]。

通過ADAMS/Insight的DOE分析，能夠更好地了解轉向梯形的硬點與阿克曼誤差，以及與前束角之間的關系。將2次實驗導入至ADAMS/Insight 軟件，進行進一步的分析[14]。

3.1 轉向阿克曼誤差的影響因子分析

將轉向仿真分析導入ADAMS/Insight，選取轉向梯形的內外球頭的3個方向上的硬點坐標為變量，以阿克曼誤差的均方根為目標，進行 DOE實驗分析。其中汽車前進的反方向為X正方向，汽車前進的右方向為Y正方向，豎直向上的方向為Z的正方向。如表2所示，得到該6個變量對阿克曼誤差的相對影響因子。相對影響因子為影響值與初始目標值之比，初始目標值是在所有變量均為初值時計算得出的目標值。其中正的相對影響因子表示正相關，負的相對影響因子表示負相關，相對影響因子的絕對值越大，表示改變引起的變化范圍也越大，超過 100%的相對影響因子的變量表示該變量的引起的目標值的變化范圍較大，且影響值大于初始目標值。從而可以從相對影響因子看出變量的變化對目標值變化的影響度以及重要程度[15-16]。

表2 硬點坐標值對阿克曼誤差的影響Table 2 Influence of points coordinates on Ackerman error

3.2 前束角變化的影響因子分析

將前束角的仿真分析導入ADAMS/Insight，選取轉向梯形的內外球頭的 3個方向上的硬點坐標為變量，以前束角在向上輪跳時的最大值為目標，進行DOE實驗分析。表3所示為硬點坐標值對前束角變化的影響。

表3 硬點坐標值對前束角變化的影響Table 3 Influence of points coordinates on toe angle

3.3 設計變量的選取

從表2和3可以看出：這6個變量對轉向以及前束角變化的影響。其中Inner.y對于轉向的影響非常小，對前束的變化的影響也較小，考慮其受轉向器零件尺寸的影響，很難隨意改變，其余5個變量對于阿克曼誤差以及前束的影響各有不同，故選取除此變量外的其余5個變量為設計變量，來優化轉向梯形。將外球頭硬點X，Y和Z方向坐標，內球頭硬點X方向坐標、Z方向坐標分別設置為變量x1，x2，x3，x4和x5。

4 基于響應面方法的優化

響應面方法(RSM)是數學方法和統計方法結合的產物，通過一系列的多項式擬合來近似代表一個目標響應面。響應面法能夠擬合出一個近似的包含所需變量的函數來描述響應值。由于響應面法僅輸出描述關于變量和目標函數關系的函數，依靠目標函數本身的性質確定最優解，擬合出較高精度的響應關系，所以響應面法廣泛地應用于設計和優化過程中。

對于具有輸入和輸出的線性系統，響應R和輸入f1，f2，f3，…，fn之間存在著函數關系式：

或者對于更復雜的模型，采用線性模型不能準確地描述響應曲面，可以采用二次函數來近似地描述：

響應面方法是以擬合面的方式進行的，如果擬合面跟目標函數充分近似，則擬合面的分析近似等于實際系統的分析。如果用適當試驗設計來收集資料，模型參數就可有效地被估計。

4.1 轉向模型擬合

本次轉向模型擬合選取5個變量，目標為轉向工況下阿克曼誤差均方根值，采用二次函數來擬合目標函數，研究策略采用的是DOE Response Surface，DOE設計類型為全變量設計，共進行243次仿真。得到以下擬合函數：

4.2 前束角模型擬合

本次前束角模型擬合選取5個變量，目標函數為輪胎上跳工況下最大前束角，采用一次函數來擬合目標函數，研究策略采用的是DOE Response Surface，DOE設計類型為全變量設計，共進行32次仿真。得到以下擬合函數：

4.3 分析模型的擬合準確性

轉向模型擬合后，經檢驗多重相關系數的平方R2為 0.996 481，多重樣本相關修正系數164，表明該函數(1)能夠很好地擬合響應曲面。

4.4 優化

根據擬合函數，以阿克曼誤差均方根的最小值為目標，以前束角的最大值，和變量的邊界約束條件為約束，使用 MATLAB優化工具，用阿克曼誤差的均方根值作為目標函數，前束角作為約束，得到優化結果。優化前后變量如表4所示，優化結果如圖5和6所示。阿克曼誤差在車輪轉角為0°～25°時顯著減小，阿克曼誤差的均方根減少了51.27%；前輪跳動時的最大前束角減小為4.5°，減少10%。

表4 優化前后變量對比Table 4 Change of factors

圖5 阿克曼誤差變化優化前后對比曲線Fig.5 Changes of Ackerman error before and after optimized

圖6 前束角變化曲線Fig.6 Changes of toe angle vs wheel’s jumping before and after optimizing

5 結論

(1) 優化梯形機構的轉向運動學，改善了前束角的變化特征。在前束變化范圍減少10%的約束前提下，常用角度阿克曼誤差減少51.27%。

(2) 此方法在考慮整車參數、懸架參數以及前輪定位參數的前提下，得到了轉向梯形硬點與阿克曼誤差、前束角變化的擬合函數關系，保證了準確性與實用性，并避免了繁瑣的數學推導計算。

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