基于人字齒輪嚙合特性的滑動摩擦功率損失

王成，高常青，賈海濤

(1. 濟南大學 機械工程學院，山東 濟南，250022；2. 中國船舶重工集團公司第703研究所，黑龍江 哈爾濱，150036)

人字齒輪傳動不但具有斜齒輪傳動的優點，而且能克服斜齒輪傳動時因產生軸向力而不能采用過大螺旋角的缺點[1]，在礦山、艦船等大功率機械傳動中被普遍使用。齒輪的傳動效率關系到其傳動質量，造成齒輪傳動功率損失的因素包括[2]輪齒間嚙合功率損失(主要因素)、軸系零件的摩擦和攪油損失以及風損。其中輪齒間嚙合功率損失是由齒面滾動摩擦和滑動摩擦引起，而滑動摩擦又是造成齒輪嚙合功率損失的主要原因[3]。查齒輪傳動效率表、試驗測試和公式計算是3種確定齒輪效率的途徑。其中，查表法易產生較大的誤差；試驗法最準確，但結果不通用，且易受各種因素的干擾，但相比較而言，采用計算的方法更為可行。周哲波[3]通過分析彈流潤滑狀態下齒面相對滑動速度和齒面載荷，推導出直齒圓柱齒輪和斜齒圓柱齒輪功率損失的計算公式。姚建初等[4]從計算嚙合點的嚙合效率入手，通過積分的方法，得到一對輪齒從進入嚙合到退出嚙合的傳動效率。但上述方法均未涉及齒輪制造、安裝誤差和輪齒修形。此外，文獻[3]中對所受載荷進行簡化處理，即假定同時參加嚙合的輪齒所受載荷相同，因此，以上方法均無法進行傳動效率的精確計算。國外對于齒輪傳動功率損失的研究主要是利用試驗的方法[5-6]。Diab等[2]針對功率損失原因建立相應的分析模型，但未研究如何求解。通過輪齒接觸分析(TCA)和承載接觸分析(LTCA)可精確得到齒輪嚙合分析數據[7]，為齒輪傳動效率的計算提供一種新的思路。基于以上思想，谷建功等[8]提出弧齒錐齒輪嚙合的滑動摩擦功損的計算方法，但其在對齒面相對滑動速度的處理上是按空載情況下計算的。王成等[9]提出斜齒輪滑動摩擦功率損失的計算方法，但在計算時采用簡化的方法，所得的數值存在誤差。為此，本文作者以空間多重(多嚙對)共軛嚙合理論為基礎，借助人字齒輪副嚙合接觸分析的結果進行人字齒輪滑動摩擦功率損失的計算。

1 人字齒輪副輪齒接觸分析

圖1所示為考慮修形和制造安裝誤差下的人字齒輪副輪齒接觸分析模型， 其中Ⅰ和Ⅱ分別為人字齒輪副左右端的斜輪齒副。Ⅰ1S和Ⅱ1S分別為左端主、從動輪輪體上的固定坐標系，Ⅰ2S和Ⅱ2S分別為右端主、從動輪輪體上的固定坐標系，與主、從動輪一起運動；φ1Ⅰ和 φ1Ⅱ分別為左端主、從動輪的瞬時轉角，φ2Ⅰ和φ2Ⅱ分別為右端主、從動輪的瞬時轉角；Sh1和Sh2，Sk1和Sk2是固定坐標系，Sh1和Sh2分別表示主動輪理論初始安裝位置，Sk1和 Sk2分別表示從動輪理論初始安裝位置，互相平行，且相距為E；SfⅠ和SfⅡ為設在箱體上的固定坐標系，分別與左右端主動輪的理論初始位置重合(即分別與Sh1和Sh2重合)。1hS′和1kS′分別為制造安裝誤差造成人字齒輪軸向移動后的坐標系。

人字齒輪嚙合時，在固定(公共)坐標系下，其兩齒面瞬時嚙合點處的位置矢量和法線矢量相等，即人字齒輪左右端齒面接觸方程分別為(i=Ⅰ，Ⅱ)：

人字齒輪邊緣接觸方程為：

φ1Ⅰ和 φ1Ⅱ的關系為：

其中：uji(j =1，2；i=Ⅰ，Ⅱ)是刀具齒面參數；θji是齒條刀的坐標系變換到齒輪坐標系所轉過的角度；Δφ是左右端齒面加工誤差造成的轉角差；∑e是左右端齒面的加工誤差；rb是主動輪的基圓半徑；βb是主動輪的基圓螺旋角。

分別取 φ1Ⅰ和 φ1Ⅱ為輸入量，通過求解式(1)和(2)，可得到人字齒輪齒面接觸路徑和印痕。斜齒輪和人字齒輪的TCA見文獻[10-11]。

圖1 人字齒輪副輪齒接觸分析模型Fig.1 Coordinate system for double helical gears meshing

2 人字齒輪齒面瞬時接觸點的法向載荷與相對滑動速度的計算

2.1 人字齒輪副承載接觸模型與分析

圖2所示為人字齒輪LTCA模型。圖中為過齒面瞬時接觸橢圓長軸(受載時，瞬時接觸點變為橢圓，由于橢圓長軸遠大于短軸，因此，只考慮橢圓長軸)的法截面，這里，瞬時接觸橢圓長軸被離散成n個點。

圖2 人字齒輪副加載接觸分析模型Fig.2 Loaded contact analysis model of double helical gears

承載接觸分析方法及人字齒輪副的承載接觸分析的原理是根據變形位移協調方程和左右端軸向力平衡條件，借助有限元法和非線性數學規劃法進行求解，得到齒輪在修形和誤差下的齒面載荷分布和承載傳動誤差，見文獻[12-13]。通過人字齒輪副承載接觸分析，得到嚙合周期內所有齒面瞬時接觸橢圓長軸上離散點的法向載荷和齒面瞬時接觸點的傳動誤差。

2.2 人字齒輪齒面瞬時接觸點與嚙合位置的對應關系

人字齒輪在嚙合過程中，存在多對齒同時嚙合的情況。這里，假定每對齒的幾何與力學性能都是一致的。因此，在計算人字齒輪副輪齒接觸分析和承載接觸分析時將它們按左右端分別放在一對齒上計算。這樣，僅需1個周期LTCA的求解，即能獲得1對人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出的全部承載嚙合過程。在輪齒接觸分析時，左端主動輪的轉角φ1Ⅰ滿足：

其中：K為人字齒輪TCA和LTCA的求解周期內給定的嚙合位置數；Z1為主動輪的齒數。φ1Ⅱ與φ1Ⅰ的關系見式(3)。

圖3所示為K=5時某人字齒輪副經輪齒接觸分析計算得到的1對輪齒從進入嚙合到退出嚙合的齒面接觸路徑和印痕。假定在某嚙合位置左端齒對在第8點接觸，那么，在該嚙合時刻，左端共有3對齒同時接觸，即前一對齒在第3點接觸，后一對齒在第13點接觸。而此時右端同時也有3對齒嚙合，它們分別在第18，23和28點接觸。根據上述分析，得出1個嚙合周期內，齒面瞬時接觸點所對應的嚙合位置，如表 1所示。

圖3 齒面接觸路徑和印痕Fig.3 Path of contact on tooth surface

表1 齒面瞬時接觸點與嚙合位置的對應關系Table 1 Meshing position corresponding to contact ellipse

2.3 人字齒輪齒面瞬時接觸點所受法向載荷的計算

在人字齒輪副輪齒接觸分析時，瞬時接觸橢圓長軸被離散成n個點(見圖2)。利用人字齒輪副承載接觸分析，得到這些離散點的法向載荷，第j個瞬時接觸點的法向載荷為：

其中：n為人字齒輪齒面瞬時接觸點j(橢圓長軸)被離散的點數；Fi(i=1，2，…，n)為瞬時接觸點 j上相應離散點i所受到的法向載荷。

前面假定每對輪齒的幾何與力學性能一致，同樣，通過1個嚙合周期LTCA的求解，可得到1對人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出的全部載荷。例如，當K取5時，對位置 3的進行求解，得到位置 3，8，13，18，23和28上離散點的法向載荷。依此類推，對齒面瞬時接觸位置1、2、4和5進行求解，得到相應瞬時接觸點(見表1)上離散點的法向載荷。利用1個嚙合周期(這里，K=5次)LTCA的計算，獲得人字齒輪齒面全部瞬時接觸點上離散點所受的法向載荷。然后，根據式(6)，得到齒面瞬時接觸點所受的法向載荷。

2.4 人字齒輪齒面瞬時接觸點相對滑動速度的計算

類似上節中齒面瞬時接觸點法向載荷的求解，利用1個嚙合周期LTCA的求解，獲得1對人字齒輪輪齒嚙入到嚙出齒面全部瞬時接觸點的傳動誤差。

傳動誤差用來表征從動輪轉角的實際值與理論值之差，是兩齒面瞬時接觸點相對滑動速度產生的原因。據此，人字齒輪副齒面瞬時接觸點相對滑動速度為：

其中：t為人字齒輪主動輪轉過相鄰瞬時接觸點所需的時間；w1和z1分別為人字齒輪主動輪的角速度和齒數；N為1對人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出齒面瞬時接觸位置(點)的個數；δφ和w12分別為人字齒輪動輪(包括主動輪和從動輪)齒面瞬時接觸點的傳動誤差和相對滑動角速度，j=1，2，…，N；rj(j=1，2，…，N)為人字齒輪齒面瞬時接觸點到主動輪回轉中心的距離；v12為人字齒輪齒面瞬時接觸點的相對滑動速度。

3 人字齒輪滑動摩擦功率損失的計算

在人字齒輪副輪齒接觸分析時，齒面瞬時接觸點的個數與嚙合周期內位置取值有關，理論上齒面瞬時接觸點可得到無窮多個。而在實際計算中，不可能取無窮個嚙合位置。這里借助 MATLAB軟件，首先利用式(8)計算得到瞬時接觸點的滑動摩擦功損，繼而得到小輪轉角ij1φ(j=Ⅰ，Ⅱ，i=1，2，…，N，N為1對輪齒從嚙入到嚙出齒面瞬時接觸點的個數)對應的滑動摩擦功損。其次，用MATLAB將這些瞬時接觸點)擬合成曲線方程(見式(9))。

最后，通過對方程求導分別得到左右端輪齒從嚙入到嚙出的滑動摩擦功率損失(見式(10))，將兩者相加，即得到人字齒輪的滑動摩擦功率損失。

4 算例

利用上述方法計算1對人字齒輪的滑動摩擦功率損失(小輪主動，這里未考慮制造和安裝誤差)，該對人字齒輪的參數見表 2(為與文獻[9]中斜齒輪的滑動摩擦功損進行比較，人字齒輪受載情況和左右兩端齒輪副的幾何性質與文獻[9]中取為相同)。《齒輪手冊》建議混合彈流潤滑條件下齒輪的平均摩擦因數μ=0.03～0.07，這里取 μ=0.05。

圖3所示為人字齒輪副輪齒接觸分析后的小輪齒面接觸路徑與印痕。圖4和圖5所示分別為通過人字齒輪副承載接觸分析后小輪齒面瞬時接觸點(橢圓長軸)上離散點的載荷分布和傳動誤差(人字齒輪TCA和LTCA的結果見表3)。根據式(6)和(7)，把離散點載荷和傳動誤差分別轉換成齒面瞬時接觸點的法向載荷和相對滑動速度。借助 MATLAB對接觸點功損進行擬合并積分，最終得到1對人字齒輪輪齒從嚙入到嚙出的滑動摩擦功率損失P= 17.14 W(圖6為齒面瞬時接觸點滑動功損擬合曲線)。因此，人字齒輪嚙合效率為：

表2 人字齒輪的參數Table 2 Parameters of double helical gears

圖4 人字齒輪齒面載荷分布Fig.4 Tooth surface load distribution

圖5 人字齒輪承載傳動誤差Fig.5 Loaded transmission errors

表3 人字齒輪TCA和LTCA的計算結果Table 3 Corresponding calculation results of TCA and LTCA

根據《齒輪手冊》，7級及以上精度、潤滑良好的單級圓柱齒輪傳動效率在0.98以上，而利用本文提出的方法計算得到的人字齒輪嚙合效率滿足上述范圍(不低于下限值，這符合文中除涉及滑動摩擦功損之外而未涉及其他功率損失這一情況)；通過與文獻[9]中斜齒輪的滑動摩擦功損相比，人字齒輪的滑動摩擦功損要小(斜齒輪嚙合效率為 0.99)，這符合人字齒輪重合度大從而傳動平穩的特點。

圖6 齒面瞬時接觸點滑動功率損失擬合曲線Fig.6 Fitted curve of raw data on power losses

5 結論

(1) 利用人字齒輪副輪齒接觸特性與承載接觸特性，獲得人字齒輪齒面瞬時接觸點的法向載荷和相對滑動速度，利用 MATLAB擬合出人字齒輪副從進入嚙合到退出嚙合齒面瞬時接觸點的滑動摩擦功率損失與小輪轉角之間的函數關系式，然后利用積分求出混合彈流潤滑狀態下人字齒輪的滑動摩擦功率損失。

(2) 本算法的計算結果滿足常見圓柱齒輪傳動效率的范圍。通過與相同情況下的斜齒輪比較，人字齒輪的滑動摩擦功率損失要比斜齒輪的小，符合人字齒輪傳動平穩的特點。

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