平面框架彈塑性分析的增量內(nèi)力塑性系數(shù)法

文穎，曾慶元

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075)

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)彈塑性極限強度分析一般采用經(jīng)典的塑性鉸理論，但該方法只能計算極限荷載，無法考慮結(jié)構(gòu)構(gòu)件彈塑性發(fā)展的全過程[1]，特別是用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的彈塑性分析時，需事先知道塑性鉸出現(xiàn)的先后次序及位置，分析過程繁瑣。隨著矩陣結(jié)構(gòu)分析理論應(yīng)用的深入和高速電子計算機的快速發(fā)展，有限元方法已廣泛用于求解一般結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)分析問題[2]。目前，國內(nèi)外研究者采用的彈塑性有限元分析模型主要分為2類：塑性鉸法和塑性區(qū)域法。塑性鉸法假定塑性變形集中在構(gòu)件端部而構(gòu)件中間部分保持彈性工作，該法分析過程簡單，但是，考慮構(gòu)件塑性發(fā)展過程非常粗糙和近似。為了保證塑性鉸法分析模型與構(gòu)件實際彈塑性分布盡量接近，提高分析精度，Kim等[3]提出三鉸梁模型，在構(gòu)件中點增設(shè)1個塑性鉸考慮塑性沿構(gòu)件長度方向的發(fā)展，采用纖維單元模型考慮塑性沿構(gòu)件截面擴展；Attalla等[4]提出偽塑性鉸法，通過引入基于內(nèi)力的初始屈服面和繼生屈服面等概念以及構(gòu)件整體受力平衡條件考慮塑性在構(gòu)件內(nèi)部發(fā)展全過程；Ren等[5]提出剛體-彈簧模型，建立平面框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力塑性屈服面方程以取代基于應(yīng)力的塑性分析模型，提高分析效率；Krishnan[6]提出改進的塑性鉸法，認為構(gòu)件塑化部分不再局限于節(jié)點，而是集中分布在靠近節(jié)點的有限區(qū)域，采用靜力凝聚消除構(gòu)件內(nèi)部自由度；顏全勝[7]提出內(nèi)力塑性系數(shù)法，假定構(gòu)件塑性系數(shù)沿長度方向線性分布；Liew等[8]提出精細化塑性鉸法，引入截面塑性發(fā)展系數(shù)考慮塑性沿截面的發(fā)展，假定該系數(shù)沿桿長拋物線變化近似考慮塑性沿長度方向的分布。塑性區(qū)域法[9-10]將構(gòu)件內(nèi)部分成完全彈性區(qū)、塑性區(qū)和彈塑性區(qū)，考慮塑性沿整個構(gòu)件的逐步開展，由于沒有引入簡化近似假定，一般被視為結(jié)構(gòu)彈塑性分析的精確方法。其缺陷是由于將構(gòu)件沿截面以及長度方向劃分為若干有限段，增加數(shù)據(jù)處理量和計算機時而使得分析過程繁瑣。在此，本文作者根據(jù)有限元分析的基本概念，提出桿系結(jié)構(gòu)彈塑性分析的單元節(jié)點截面增量內(nèi)力塑性系數(shù)法，通過引入單元平衡條件，簡便地保證了單元的整體平衡，也自動考慮塑性沿單元長度方向的發(fā)展。該法顯式推導(dǎo)了單元彈塑性增量割線剛度矩陣，避免了數(shù)值積分，提高了分析效率。基于該方法，提出求解結(jié)構(gòu)非線性增量平衡方程的基于增量割線剛度的直接迭代算法。該算法在平衡迭代中不需計算結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，也不需計算結(jié)構(gòu)整體不平衡力，簡化了迭代過程。

1 框架結(jié)構(gòu)彈塑性分析的增量內(nèi)力塑性系數(shù)法

1.1 彈塑性增量平衡方程

假定任意離散化結(jié)構(gòu)在節(jié)點荷載P作用下節(jié)點變位為u，結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力為σ，應(yīng)變?yōu)棣拧＜俣ńY(jié)構(gòu)產(chǎn)生虛位移 δu和虛應(yīng)變 δε，根據(jù)虛功原理，結(jié)構(gòu)的虛應(yīng)變能等于外力虛功，可以得到：

式中：ΔP為施加的荷載增量；Δu為節(jié)點位移增量；Δσ和Δε分別為結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變增量。由虛功原理，忽略幾何位形改變對結(jié)構(gòu)平衡的影響，在荷載 P+ΔP作用下，結(jié)構(gòu)平衡方程如下：

將(2)式減(1)式，可得：

式(3)實際上就是小變形條件下增量形式的虛功原理，反映了結(jié)構(gòu)增量平衡條件。不考慮材料非線性的影響，由式(3)可以直接得出線彈性結(jié)構(gòu)平衡方程：

考慮彈塑性分析,由式(3)可得到結(jié)構(gòu)彈塑性增量平衡方程：

式中：Kep為結(jié)構(gòu)彈塑性增量割線剛度矩陣。

1.2 梁單元彈塑性剛度列式的增量內(nèi)力塑性系數(shù)法

從有限元法的物理概念來說，式(5)表示結(jié)構(gòu)節(jié)點截面的抗力增量和外荷載增量的平衡。隨著外荷載的增加，結(jié)構(gòu)材料彈塑性行為集中反映在節(jié)點截面抗力增量降低，這是相對于單元為完全彈性時的抗力增量而言的。為此，可以定義節(jié)點截面彈塑性抗力增量和彈性抗力增量的比值(稱為單元增量內(nèi)力塑性系數(shù))來反映構(gòu)件彈塑性發(fā)展情況，并利用該系數(shù)來確定單元彈塑性剛度矩陣，最后采用“對號入座”法則[11]得到結(jié)構(gòu)彈塑性剛度矩陣。

首先，考慮單元為完全彈性時的情況，單元的平衡條件可寫為：

式中，等號右端各項表示節(jié)點截面彈性抗力增量，下標“e”表示單元處于彈性狀態(tài)，上標“e”表示任意結(jié)構(gòu)單元。若考慮單元已經(jīng)屈服，則單元的平衡條件可改寫為：

式中，等號右端各項表示節(jié)點截面彈塑性抗力增量，下標“ep”表示單元處于彈塑性狀態(tài)。需要說明的是：與式(6)類似，式(7)的表現(xiàn)形式可由經(jīng)典有限單元法得到。

式(6)直接給出了彈性節(jié)點內(nèi)力的計算表達式。一般假定單元的彈塑性狀態(tài)只由正應(yīng)力決定，彎曲剪應(yīng)力不影響屈服，對于平面結(jié)構(gòu)，多個實例已證實該假定合理性[2,9]。為了考慮塑性區(qū)沿單元截面高度的擴展，這里采用纖維單元法[2,9,12-14]即將單元截面細分成很多小塊 (如圖1所示)，用小塊中點的應(yīng)變、應(yīng)力代表小塊的應(yīng)變、應(yīng)力水平。累加所有小塊對于截面內(nèi)力的貢獻，則有：

其中：下標i為節(jié)點截面編號；r為截面上小塊編號；ΔAr為第r小塊的面積；xr和yr為第r小塊幾何中心的截面形心坐標；Δσir為i節(jié)點截面上第r小塊彈塑性正應(yīng)力增量，該應(yīng)力增量一般根據(jù)材料單向應(yīng)力狀態(tài)下本構(gòu)關(guān)系模型和應(yīng)變增量得到。

圖1 梁截面分塊示意圖Fig.1 Discretized cross-section of beam

需要說明的是：目前比較流行的考慮塑性沿截面開展的途徑是通過截面數(shù)值積分[10]，盡管數(shù)值積分與纖維單元法相比減少了數(shù)據(jù)存儲量和計算工作量，但應(yīng)用范圍較窄。例如，對于組合材料(鋼筋混凝土)截面的塑性分析就不適用，因此，本文考慮到分析方法的通用性，選擇纖維單元法。基于上述分析結(jié)果，定義下列單元增量塑性系數(shù)：

式中：αi和 βi分別為i節(jié)點截面的軸力和彎矩增量塑性系數(shù)；αj和 βj與 j節(jié)點截面相關(guān)。這里“增量”一詞的用意是強調(diào)計算這些塑性系數(shù)是基于內(nèi)力增量而不是全量。

與正應(yīng)力的計算不同，彈塑性彎曲剪應(yīng)力無法通過材料本構(gòu)關(guān)系得到。為了簡化，一些研究者通過計算彈性彎曲剪力增量作為替代[2]，這顯然破壞了單元整體平衡條件，導(dǎo)致出現(xiàn)計算誤差。為了克服這種不足，可以利用處于彈塑性狀態(tài)的單元平衡條件計算節(jié)點截面剪力增量，考慮式(7)等號右端的彈塑性抗力增量在單元內(nèi)部自相平衡，有：

式中：各節(jié)點內(nèi)力的正方向和傳統(tǒng)有限元的規(guī)定一致；Le為單元的長度。將式(10)代入式(7)有：

由式(6),(9)和(11)，可得彈塑性剛度矩陣和線彈性剛度矩陣有如下關(guān)系：

式中：α為單元增量內(nèi)力塑性系數(shù)矩陣，它只與軸力和彎矩的增量塑性系數(shù)有關(guān)。

1.3 非線性增量平衡方程求解步驟

用增量內(nèi)力塑性系數(shù)法分析結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)的具體步驟如下。

(1) 假定結(jié)構(gòu)彈性極限節(jié)點荷載為P0，節(jié)點位移、內(nèi)部應(yīng)變和應(yīng)力分別為u0，ε0和σ0。在結(jié)構(gòu)開始屈服時就采取增量加載模式，施加荷載增量ΔPi，i表示荷載增量步。選取初始剛度

(5) 繼續(xù)加載，i=i+1，求解流程回到步驟(1)，直至結(jié)構(gòu)達到承載極限狀態(tài)為止。結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)由本步剛度參數(shù)法[13]確定。

增量-迭代求解過程的圖解形式如圖2所示。

圖2 基于增量割線剛度的增量-迭代過程Fig.2 Incremental secant stiffness based on incremental-iterative procedure

2 數(shù)值算例

算例1 文獻[1]計算了簡支梁在跨中集中荷載作用下的彈塑性響應(yīng)，為了與文獻[1]中的數(shù)值結(jié)果進行比較，本算例采用相同的幾何和材料參數(shù)(見文獻[1])。文獻[1]將梁橫截面等分成8層，沿梁軸方向劃分為20個梁段，而這里也將截面分成上下8層，沿梁跨方向劃分為 2個梁段，公共節(jié)點位于跨中。簡支梁荷載-撓度曲線如圖3所示。文獻[1]采用分段分塊變剛度法計算所得到的結(jié)構(gòu)極限荷載P≈2.8×106N，由增量內(nèi)力塑性系數(shù)法得P≈2.689 3×106N，而結(jié)構(gòu)彈塑性極限強度的理論值為P≈2.688×106N。文獻[1]中的極限荷載值偏大的原因可能是計算剪切恢復(fù)力時用采用彈性剪力而不是彈塑性剪力，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)平衡條件只在節(jié)點處滿足，結(jié)構(gòu)單元內(nèi)部平衡條件不滿足。

算例2 如圖4所示，一單層兩榀平面框架承受面內(nèi)若干集中荷載作用。至于其彈塑性響應(yīng)，F(xiàn)ranchi等[15]采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法計算彈塑性極限荷載，Wong等[16]采用分段線性化內(nèi)力屈服面法分析結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)全過程。該框架幾何與材料見在文獻[15]。這里將所有柱子離散為1個梁單元，橫梁用2個單元模擬。所有桿件節(jié)點截面沿其厚度方向統(tǒng)一劃分成10個條帶。圖5所示為荷載-框架頂部側(cè)移曲線，并與現(xiàn)有其他文獻結(jié)果進行對比。

圖3 簡支梁的荷載-位移曲線Fig.3 Load deflection curves of simple supported beam

圖4 平面框架Fig.4 One storey portal frame of simple supported beam

圖5 平面框架的荷載-側(cè)移曲線Fig.5 Load-top horizontal displacement curve of portal frame

按本文方法算得懸臂梁的極限荷載因子λ=0.768 7，而文獻[15]和文獻[16]給出的極限荷載因子分別為0.768 5和0.768 9，它們都非常接近。值得注意的是：當荷載因子λ=0.745時，3和4號節(jié)點處塑性鉸出現(xiàn)彈性卸載。這也是結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形后內(nèi)力重新調(diào)整的結(jié)果，這一現(xiàn)象在文獻[15]和[16]中得到證明。

3 結(jié)論

(1) 提出了平面框架彈塑性分析的增量內(nèi)力塑性系數(shù)法。通過引入單元平衡條件，自動地考慮塑性沿單元長度方向的發(fā)展，得到的單元彈塑性增量割線剛度矩陣可以顯式給出，無需數(shù)值積分，提高了計算效率。

(2) 增量內(nèi)力塑性系數(shù)法的計算步驟與經(jīng)典彈塑性有限元分析法的相比無需計算結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，也不需在每次迭代中計算不平衡力，簡化了迭代計算過程。

(3) 增量內(nèi)力塑性系數(shù)法不僅物理概念明確，而且計算結(jié)果正確、可靠。在分析一般框架結(jié)構(gòu)時，每個構(gòu)件用至多2個梁單元離散便可以獲得滿意結(jié)果。

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