水泥土攪拌樁復合地基樁土應力比的解析算法

趙春風，李永剛，錢濤

(1. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海，200092；2. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海，200092)

樁土應力比是樁頂應力和樁間土平均應力之比，是復合地基穩定性驗算和地基承載力計算的重要指標。樁土應力比研究主要有現場試驗研究及理論研究等方面。現場試驗研究方面，馬時冬[1]對水泥土樁復合地基樁土應力比進行了現場測試研究，發現樁土應力比隨荷載的增大而增大，在荷載不變的情況下基本不變。馮瑞玲等[2]實測了懸浮式和支承式粉噴樁復合地基的樁土應力比，發現在相同荷載條件下，支承式復合地基樁體和土體承擔的壓力均大于懸浮式復合地基中的相應值，而且2種形式復合地基的樁土應力比基本上都集中在 3～8。李國維等[3]對柔性基礎下復合地基樁土應力比進行了現場試驗研究，發現粉噴樁復合地基樁土應力比實測值為 1.1～1.75。在理論研究方面，秦然等[4-5]選取常用的雙曲線函數來表征地基土的荷載-沉降曲線，推導出樁土應力比的解析式；但漢成等[6]從單元變形模式出發，綜合考慮樁土負摩擦阻力、樁體上刺變形，將土層按等沉面位置分為上、下2層，采用簡化和收斂的方法，推導出帶墊層的CFG樁復合地基樁土應力比計算公式。以上幾種方法均是以復合地基為研究對象，忽視了路堤填土對復合地基的影響，這與實際情況不符。宋修廣等[7]通過實測的水泥土攪拌樁復合地基樁土應力比，分析了影響樁土應力比的主要因素，并且提出了樁土應力比改進計算公式。李海芳等[8]通過假定樁間土豎向位移模式，推導出樁土應力比計算公式。該方法同樣以復合地基為研究對象，未考慮路堤填土的影響，而且假定樁土界面處變形協調，不符合于實際情況。劉吉福[9]考慮了路堤填土對樁土應力比的影響，根據填土豎向受力平衡條件，獲得了樁土應力比表達式，但該方法尚未考慮同一水平路堤填土的豎向位移具有非同步性，與實際情況不符。呂文志等[10]將柔性基礎、墊層、復合地基、下臥層土體四者作為一個共同作用的系統，考慮系統4部分界面上的應力與變形協調，推導出柔性基礎下樁土應力比的計算公式。該方法只適用于剛性樁復合地基，并不適用于柔性樁復合地基。趙明華等[11]利用最小勢能原理，推導出路堤荷載下復合地基樁、土應力比計算解析表達式。在此，本文作者根據路堤荷載的特性，將填土-復合地基作為一個共同作用的系統，通過假設路堤填土的豎向位移模式、土工格柵的變形方程以及地基土滿足 Winkler地基模型，分別推導出樁頂應力以及樁間土應力，并進一步求得樁、土應力比的計算公式。

1 路堤荷載下樁土應力比分析

1.1 計算模型

由于路堤寬度一般比較大，為簡化模型，取由路中心單樁與其等效處理面積范圍內土體形成的同心圓柱體作為單元體進行分析。單樁等效處理直徑2b=1.05s(對三角形布樁，s為樁間距)，或2b=1.13s (對正方形布樁)，如圖1所示(以三角形布樁為例)。

簡化以后的路堤填土-復合地基模型如圖 2所示(其中，h為路堤填土高度)。將樁體上方填土簡化為直徑為2a的圓柱體(內土柱)，將樁間土上方填土簡化為外直徑為2b的圓筒體(外土柱)，由對稱性原理可知，單元體外邊界剪應力為0 Pa。

圖1 典型單元體示意圖Fig.1 Sketch of a typical element

圖2 路堤填土-復合地基簡化模型圖Fig.2 Simplified model of embankment-composite foundation

在路堤荷載作用下，由于樁體模量遠大于樁間土模量，樁間土沉降大于樁頂的沉降量，造成路堤填土外土柱相對于內土柱有向下滑動的趨勢，從而使得外土柱對內土柱有向下的拖曳力。隨著距離樁頂增加。這種向下滑動的趨勢逐漸減弱，拖曳力逐漸變小，隨著距離樁頂高度增大到he時，這種下滑趨勢最終消失，內土柱和外土柱的沉降相等，該平面就是路堤填土中的均勻沉降面，即“等沉面”。

1.2 基本假設

(1) 路堤填土、樁體和土體為各向同性線彈性體。

(2) 內、外土柱只產生豎向位移，忽略徑向位移。

(3) 假定內、外土柱之間摩阻力與其相對位移成線彈性關系，且摩阻力滿足 Berrum摩擦力公式τesa=β1fekeσep。其中：β1為摩擦力發揮水平系數，本文取β1=1；fe=tanφe，為內、外土柱之間的摩擦因數；φe為路堤填土的內摩擦角；ke=1-sinφe，為側向土壓力系數；σep為路堤填土內土柱中的豎向應力。

(4) 假定路堤填土豎向位移模式為：

其中：wep和wes分別為路堤填土內、外土柱的豎向位移；α為內土柱半徑；β為待定參數；r為計算點到內土柱中心線的距離；g(z)和f(z)為待定函數。

(5) 地基土滿足Winkler地基模型。

1.3 g(z)和 f(z)的求解

1.3.1 g(z)的確定

由于不考慮路堤填土的徑向位移，因此，由式(1)對r求偏導數，可得外土柱土單元的剪應變和剪應力分別為：

式中：G為路堤填土剪切模量；Ees為路堤填土外土柱變形模量；μes為路堤填土泊松比。

對于任意的z，當r=b時，τes=0，由式(3)可得：

根據式(4)求得唯一的β。

當r=a時，由式(3)可以求得內、外土柱之間側摩阻力 τesa為：

根據假設(3)和式(5)可以得出：

1.3.2 f(z)的確定

當r=a時，由式(1)可得出：

由式(7)可知：f(z)等于內、外土柱界面處的相對位移。根據假設(3)可得出 f(z)與摩阻力之間成線彈性關系：

式中：ki為路堤填土抗剪剛度。

1.4 樁土應力比公式推導

取路堤填土內土柱中心線與路堤填土頂面交點為坐標原點，z軸向下為正，從內土柱中取厚度為dz的薄層作為研究對象，其受力情況見圖 3。由內土柱單元豎向受力平衡可得：

式中：γe為路堤填土重度。

圖3 內土柱豎向受力平衡Fig.3 Balance of vertical loading on inside soil column

由式(9)可得：

將 τesa=fekeσep代入(10)得：

式中：he為等沉面高度。根據文獻[12]，等沉面高度為1.4～1.6倍樁凈間距。文獻[13]指出等沉面高度約為1.6倍樁凈間距，本文取等沉面高度為1.6倍樁凈間距。

由式(11)兩端積分可得：

將 σep代入式(6)和(8)可得g(z)和f(z)分別為：

將式(13)和(14)代入式(1)可得：

根據Jones等[14]的研究，土工格柵在上部荷載的作用下，下凹形狀可視為懸鏈線，當變形較小時，可以用二次拋物線來模擬，如圖4所示。假設土工格柵變形曲線方程為：

式中：E為待定系數。

圖4 土工格柵變形曲線Fig.4 Curve of geogrid deformation

由圖4可知：當r=b時，s(r)=smax。將其代入式(16)可得：

由路堤填土與土工格柵接觸面處位移連續條件得：

將式(18)計算所得的 smax代入公式(17)即可得到E。土工格柵下方樁頂受力如圖 5所示，由其豎向受力平衡可得：

式中：σp為加筋層下方樁頂反力；T為格柵對樁頂的拉應力；θ的含義如圖4所示，且有

圖5 樁頂豎向受力平衡Fig.5 Balance of vertical loading on the top of pile

假設土工格柵在正常工作情況下的應變為 ε，通過試驗測得其拉伸模量Eg，則其在樁體邊緣處的拉應力為：

土工格柵的應變ε可由下式求得：

式中：b′為土工格柵在上部荷載作用下被拉伸后的長度。根據土工格柵下凹曲線的方程，利用曲線積分求弧長公式，求得土工格柵被拉伸以后的長度為：

將b′代入式(22)即可得到土工格柵的應變ε，然后代入式(21)，即可得到土工格柵作用于樁頂的拉應力。

將式(12)，(20)和(21)代入式(19)即可求得樁頂應力 σp。

由于地基土符合 Winkler地基模型，因此，土工格柵下方樁間土應力σs為

式中：k為地基基床系數。根據文獻[15]，本文取k=6Es；Es為地基土壓縮模量。

將(16)和(17)代入式(24)可得：

因此，樁頂平面處樁土應力比為：

2 工程實例

工程數據引自文獻[9]。該工程為廣州—佛山高速公路擴建工程試驗段(K7+916.568～K8+160)，主要土層分布為素填土(1.3～2.9 m)、淤泥(3.2～5.9 m)和亞黏土(3.3 m)。采用噴粉樁復合地基，粉噴樁直徑500 mm，正三角形布樁，樁長為7～8 m；在A和B 2個斷面設置50 cm厚的砂性土墊層，在C斷面設置50 cm厚的碎石墊層，同時在墊層中設置兩層土工格柵，在A和C 2個斷面處樁間距為1.2 m,在B斷面處為1.0 m，填土高度為 6.5 m，φe=30°，μes=0.3，Eep=Ees=10 MPa，γe=19.8 kN/m3，ki=6×105kN/m3，Es=2 MPa，Eg=6 MPa。利用本文推導所得公式，計算填土完畢且沉降趨于穩定時的樁、土應力比，見表1。

由表1可以看出：A和 C斷面計算所得的樁土應力比與實測值基本一致，相對誤差分別為 9.5%和4.0%；A和 C斷面計算值均大于實測值。其原因可能是理論計算值是復合地基樁土應力比的最終值，而實測值是復合地基工后某一時刻(未達到最終值)的樁土應力比；B斷面的計算值與實測值相差較大，其原因可能是理論計算中地基土壓縮模量取值偏大。總的來說，通過該工程實例，驗證了本文推導所得的計算公式具有適用性和正確性。

表1 實測、計算樁土應力比nTable 1 Pile-soil stress ratio of measured data and calculation

3 結論

(1) 由于復合地基中樁與樁間土壓縮模量相差較大，在路堤荷載作用下，樁與樁間土發生差異沉降，從而引起路堤填土中應力分布發生變化，傳遞到樁與樁間土上的荷載也發生了變化。

(2) 分析了路堤荷載作用下水泥土樁復合地基的工作機理，通過假定路堤填土的豎向位移模式，推導出樁、土應力比的計算公式；通過與實測工程數據比較，證實了該公式的合理性，對路堤下復合地基設計具有一定的參考價值。

(3) 在路堤荷載作用下，不但置換率對樁土應力比有影響，而且路堤填土的高度、填土的內摩擦角、填土的重度、地基土模量、土工格柵的拉伸模量等因素對樁土應力比也有影響。

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