齒輪雙球樣板的設計方法

陳洪芳，張健

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京100124)

齒輪測量儀是測量齒輪的專門儀器，在工業上有廣泛的應用.很多學者在儀器精度評價方面進行了深入的研究，并提出了多種校準儀器的齒輪樣板，例如漸開線樣板、螺旋線樣板、齒距樣板等[1-4].評定齒廓的漸開線樣板由于存在漸開線加工困難，不具有溯源性等問題，多年來，人們一直在研究如何用簡單形體的組合代替漸開線樣板[5-7].相對于漸開線，球體的形狀簡單，制造精度高，圓弧形狀接近漸開線，因此近幾年提出了雙球樣板[5]，其結構簡單、成本低、精度高、可溯源，已被國際標準 ISO/TR 10064-5:2005 所采納[8].

本文基于雙球樣板的理論基礎，提出了雙球樣板的設計方法，包括雙球樣板的尺寸設計，樣板材料的選擇，樣板的組裝方法，以及樣板的制造精度對校準齒輪測量儀的影響.

1 雙球樣板的理論基礎

雙球樣板的結構如圖1所示，包括定心球、檢測球和基座.定心球和檢測球之間的球心距能溯源到長度的國際標準.2個球置于同一個基座上.

圖1 雙球樣板Fig.1 Double ball artifact

在理想情況下雙球樣板的原理誤差如圖2所示，O1為齒輪測量儀的測頭與檢驗球接觸時的球心;O2為測頭與理想漸開線接觸時的球心;O為定心球球心，也是基圓中心;M為檢驗球的中心;rc為檢測球的半徑;C表示檢測球球心與定心球球心之間的距離;rb為基圓半徑;A為基圓與檢驗球之間的交點;rp為測頭半徑;l表示漸開線;X軸為齒輪測量儀的軸;T表示測頭球心與X軸之間的距離;ε為樣板的旋轉角;δp為雙球樣板的原理誤差.

圖2 理想雙球樣板的原理誤差Fig.2 Principle error of the ideal double ball artifact

在ΔMAO中，有

顯然有β=ε-τ，

由此，可以得到雙球樣板的原理誤差為

令齒輪基圓半徑為rb=43.75 mm，檢驗球半徑為 rc=12.75 mm，測頭半徑為 rp=1.46 mm，根據式(3)可以得到利用雙球樣板校準齒輪測量儀的測量曲線如圖3所示.該曲線為駝峰，顯示駝峰2個峰值高度幾乎相同，稱為理論駝峰曲線.

當齒輪測量儀為理想儀器時，駝峰曲線在旋轉角度接近零度時的峰值點A主要受測頭直徑、雙球樣板的安裝精度、基圓直徑的設置精度的影響，很靈敏，而波谷和另一個峰值點B處檢驗球球心和測頭球心的連線與基圓相切，這2個點的位置是穩定的.

圖3 利用雙球樣板校準齒輪測量儀的測量曲線Fig.3 The measurement curve of evaluation gear measuring instrument using the double ball artifact

根據式(3)被補償差值的圓弧可以作為虛擬的漸開線，測頭的測量值與理論值的差值曲線就反映了齒輪測量儀的測量性能.

2 雙球樣板的設計方法

2.1 雙球樣板的尺寸設計

齒輪測量儀器都有一定的測量范圍，為了校準齒輪測量儀器的綜合測量精度，可以選擇儀器測量范圍內具有代表性的齒輪參數制作齒輪樣板來評定儀器精度.因此，在雙球樣板的設計中，首先要確定雙球樣板的尺寸，只有合理地設計樣板的尺寸，才能對齒輪測量儀器進行最優的校準.

雙球樣板的設計參數包括:檢測球的半徑rc，檢測球球心與定心球球心之間的距離C，定心球半徑rd，基座半徑R，樣板上表面邊緣的寬度 w，如圖4所示.

圖4 雙球樣板的設計參數Fig.4 Design parameters of the double ball artifact

2.1.1 球心距離C

球心距是雙球樣板設計中的一個重要參數，合理地設計其數值，才能使校準時的測量曲線呈現出雙峰形狀，達到最佳校準效果.

圖2所示△OMO1中，由余弦定理得到如下關系:

根據最優圓弧的基本性質[9]及與最優圓弧相匹配的漸開線展開角范圍，利用最小二乘擬合方法可以得到C值的計算公式如下:

式中:rb為被測齒輪的基圓半徑;rc為檢測球半徑;rp為測量時測頭的半徑，與ISO10064-5給出的公式相同.

2.1.2 檢測球半徑rc

檢測球半徑的大小關系著在有效測量范圍內測量曲線的形狀.如圖5為雙球樣板的有效測量范圍，即測頭與齒頂E接觸時的情況.圖中l表示漸開線齒形，M為檢測球的球心，re為齒頂圓半徑，rf為分度圓半徑.

圖5 雙球樣板的有效測量范圍Fig.5 Effective measurement range of the double ball artifact

當測頭運動到齒頂E點時，根據漸開線的性質有

設壓力角為20°，可知在不同有效范圍內產生雙峰測量曲線時rc與rb的比值，以此比值為縱坐標，以有效測量范圍ε為橫坐標進行最小二乘擬合，可以得到

根據式(7)可以得到雙球樣板中檢測球半徑rc的設計指標.

2.1.3 定心球半徑rd

定心球的精度也必須很高，因為它的作用是調整雙球樣板在齒輪測量儀上的安裝位置.只要不干擾到檢測球測量，理論上定心球的半徑為任何值都可以.因此最簡單的選擇就是選取和檢測球一樣的球體，即 rd=rc.

2.1.4 樣板基座半徑R和基座邊緣寬度w

基座半徑R的大小與基座上表面邊緣w的大小有關，邊緣用于調整雙球樣板在齒輪測量中心上的姿態，因此w的大小要滿足測頭與樣板接觸的要求.基座半徑R的設計公式如下:

2.2 雙球樣板材料的選擇

2.2.1 球體材料

選擇球體的材料時，首先要考慮是否能得到高精度的球體，其次要考慮球體材料的熱漲系數.在相同精度等級的條件下，應優先選取具有較低熱漲系數的材料.軸承鋼球應用廣泛，3級軸承鋼球的球形誤差為0.08 μm，10級軸承鋼球的球形誤差也能在0.25 μm以內，符合制作樣板的要求，因此高精度等級的軸承鋼球的應用價值很大.而同精度等級的一些陶瓷球其熱漲系數更小，也適合作為雙球樣板的球體.

2.2.2 基座材料

基座材料的選擇首先也要考慮材料的熱漲系數，因為基座的熱膨脹會改變球心距C的大小，進而影響雙球樣板評價儀器的精度.仍然設定rb=43.75 mm，rc=12.75 mm，rp=1.46 mm，根據式(5)，此時標準球心距離為C=44.027 5 mm.當基座材料選用花崗巖時，花崗巖的熱膨脹系數4.61×10-6/℃，此時溫度每變化 1℃，球心距 C變化203 nm;當基座材料選用軸承鋼時，軸承鋼的熱膨脹系數1×10-5/℃，此時溫度每變化1℃，球心距C變化440 nm.由于在工廠中很難控制溫度變化在1℃以內，因此溫度的影響是不能忽略的.

2.3 雙球樣板的組裝方法

雙球樣板安裝完成后有2個基本要求:1)球必須穩定地安裝在基座上，球與基座間不會產生相對轉動;2)保證2個球的球心在一個水平面上.

為了滿足上述2個要求，提出雙球樣板的安裝結構如圖6所示.通過螺紋將螺桿和球連接在一起，螺桿置于基座的孔中;螺桿的下部安裝有壓縮彈簧，使用螺母和墊圈把彈簧安裝在壓縮狀態，從而產生對球向下的拉力.這種結構可以保證球與基座穩定接觸，環境溫度的變化不會改變球的位置.

圖6 樣板的安裝結構Fig.6 The structure of the artifact

2.4 雙球樣板的加工精度對校準齒輪測量儀的影響

雙球樣板的加工精度的高低直接影響校準時的測量曲線形狀.

2.4.1 對球心距C的影響

設球心距C設計值為44.027 5 mm，則不同的球心距下的測量曲線如圖7所示.

圖7 不同球心距下的測量曲線Fig.7 The measurement curves of different distances of centre of spheres

從圖7可以看到，若球心距C與設計值不同，會導致測量曲線的2個峰值點不等高，因此，雙球樣板安裝完成后球心距C要有很高的精度.

2.4.2 樣板安裝誤差與基座平面度的影響

基座上表面的作用是保證2個球心在同一個水平面上.若樣板安裝時基座上表面與檢測球和定心球中心所在平面之間不平行存在傾斜誤差，會使得雙球樣板的檢測球到定心球的實際球心距離比設計值小.設球心距C設計值為44.027 5 mm，當傾斜誤差為10 μm時，檢測球到定心球的實際距離變化量僅為1 nm，因此基座安裝傾斜對雙球樣板校準儀器的影響很小.而基座表面平面度的影響幾乎可以忽略不計，目前000級平板的平面度是1.5 μm ，完全可以滿足制備雙球樣板基座的要求.

3 雙球樣板的研制

根據本文提出的雙球樣板的設計方法，制造了模數為2.268 1 mm、齒數 40、壓力角 20°的雙球樣板，如圖8所示.

圖8 研制的雙球樣板Fig.8 The double ball artifact

本文研制的雙球樣板球體材料選用的氧化鋯(ZrO2)，氧化鋯陶瓷具有高韌性、高抗彎強度和高耐磨性，優異的隔熱性能，熱膨脹系數接近于鋼等優點，基座選用花崗石制作.利用泰勒霍普森 Talyrond365圓度/圓柱度測量儀測量檢測球和定心球的圓度，檢測球的圓度測試結果為0.19 μm，定心球的圓度 測 試 結 果 為 0.21 μm.采 用 海 克 斯 康Brown＆Sharpe三坐標測量儀(CMM)測試雙球樣板的檢測球和定心球之間的球心距離，測試方法為用CMM分別在檢測球和定心球上測量120個數據點，利用采集的數據點擬合出檢測球和定心球的球心坐標，最后利用2個球心坐標計算出球心距離，測試球心距為42.943 mm，標稱值 42.89 mm，制造的雙球樣板可以滿足校準儀器的要求.

同時，本文以Visual C++6.0為平臺編制了齒輪測量儀器性能評定軟件，該軟件是利用雙球樣板校準齒輪測量儀的專用軟件，是獨立的數據處理軟件.可以根據設置的齒輪參數和雙球樣板參數計算和繪制出雙球樣板的理論測量曲線，并給出偏差曲線和結果、校準結果及其不確定度.

4 結束語

本文基于雙球樣板的理論基礎，提出了雙球樣板的設計方法，給出了2個重要的設計公式:球心距設計公式和檢測球半徑設計公式;指出制作雙球樣板的材料選擇要點;分析了雙球樣板的制造精度對校準齒輪測量儀的影響.同時提出了雙球樣板的安裝方式，保證了雙球樣板的校準精度.以該設計方法為指導，研制出了雙球樣板，并進行了相關測試實驗.本文的研究為我國漸開線量值體系的建立提供了廣闊的應用前景.

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