基于Unitary ESPRIT的雙基地MIMO雷達目標定位算法

閆金山，彭秀艷，王咸鵬

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001)

近年來，多輸入多輸出(multiple-input multipleoutput，MIMO)雷達是學術界提出的一種新體制雷達，目前已經成為雷達的研究熱點.MIMO雷達發射端的各個陣元發射相互正交的信號，在接收端通過匹配濾波分離出各個發射陣元的信號.根據MIMO雷達發射陣列和接收陣列的陣元配置方式，可以將 MIMO雷達分為統計 MIMO雷達［1-2］和共址MIMO雷達［3-4］.統計MIMO雷達的陣元距較大，滿足空間分集條件，通過合并不同方向的回波信號來抑制目標的閃爍特性，獲得較大的空間分集增益，提高目標的探測性能［1-2］.共址MIMO雷達陣元距離很小，通常為半個波長，不具備空間分集特點，在接收端通過匹配濾波形成很大的虛擬陣列孔徑，提高了MIMO雷達系統的自由度和目標估計精度［3-4］.

目前MIMO雷達主要研究包括MIMO雷達波束合成［5］、波形設計［6］以及目標定位［7］等方面，其中多目標定位為最重要方向之一.由于MIMO雷達的回波信號同時包含了目標相對于發射陣列和接收陣列的方位角信息，因此可以通過估計這些方位角實現目標的交叉定位.文獻［7］將Capon算法應用到MIMO雷達中，實現了多個目標的波離方向(direction of departure，DOD)和波達方向(direction of arrival)聯合估計，但由于涉及二維空間譜搜索，運算量大.文獻［8］將ESPRIT算法同時運用在MIMO雷達的發射端和接收端，利用信號子空間的旋轉不變特性實現了多個目標的DOD和DOA估計，但需要額外的配對運算.文獻［9-10］是對文獻［8］的改進，實現了DOD和DOA的自動配對，且運算復雜度得到降低.文獻［11］表明，ESPRIT具有良好的穩健性，但估計精度偏低.

為了克服ESPRIT算法的缺點，本文提出一種基于Unitary ESPRIT的MIMO雷達多目標定位方法.該算法通過利用MIMO雷達的發射陣列和接收陣列的相位延遲特性對接收數據進行重構，有效的增加了接收數據信息，且使協方差矩陣為Centro-Hermitian矩陣，然后通過酉變換將重構接收數據的協方差矩陣從復數域變換到實數域，使所有的運算均在實數域進行，最后利用Unitary ESPRIT算法實現了對于目標DOA和DOA估計，且估計參數自動配對.與文獻［8-9］中的方法相比，本文算法利用MIMO雷達的發射陣列和接收陣列的相位延遲因子特性，獲得更多接收數據的有效信息，提高了目標估計性能，同時所有的特征值分解和矩陣運算均在實數域進行，大大降低了運算復雜度.

1 MIMO雷達信號模型

如圖1所示為雙基地MIMO雷達結構，發射陣列和接收陣列均為均勻等距線性陣列，所有的天線均為全向天線，有M個發射陣元和N個接收陣元，dt和dr分別為發射和接收陣元距.各個發射陣元同時發射同頻正交的周期相位編碼信號，其中發射信號滿足以下條件:

式中:si和sj分別為第i個和第j個發射陣元的信號，L為每個重復周期的相位編碼的個數.假設:多普勒頻移對于信號的正交性沒有影響;目標和發射陣元、接收陣元的距離遠遠大于發射陣列孔徑和接收陣列孔徑，且目標之間互不相關.

圖1 雙基地M IMO雷達結構Fig.1 Bistatic M IMO radar scenario

若在相同分辨距離單元上存在p個目標，第i個目標相對發射陣元的方位角為φi(i=1，2，…，p)，相對接收陣元的方位角為 θi(i=1，2，…，p)，其中(φi，θi)為第i個目標的位置.接收陣列接收到得信號可表示為

式中:y(t)=［y1(t)y2(t) … yN(t)］T為接收陣列輸出矢量;A(θ)=［a(θ1)，a(θ2)，…，a(θp)］，其 中 a (θi)= ［1 e－j(2π/λ)drsinθi…

e－j(2π/λ)(N－1)drsinθi］T為 N ×1 維的接收陣列導向矢量，λ為載波的波長;diag(α)表示由矢量 α=［α1α2…

αp］構成的 p×p對角矩陣，其中 αi(i=1，2，…，p)為第 i個目標的散射系數;B=(φ)=［b(φ1)b(φ2)… b(φp)］， 其 b(φ1)= ［1e－j(2π/λ)dr sinφi… e－j(2π/λ)(N－1)dr sinφi］T為 M × 1 維的發射導向矢量;s(t)=［ej2πf1dej2πf2d… ej2πfpd］T為散射信號，fi(i=1，2，…，p)為第 i個目標的多普勒頻率.v(t)為陣列接收的零均值平穩白噪聲，假設它與信號相互獨立.那么接收陣列在接收w個重復周期內的輸出信號與發射信號相關(設相關長度為L)，那么相關接收機組輸出［8］可表示為

式中:Yr=［y1，y2，…，yw］是維數為 MN × w 的數據矩陣，其中yp為接收陣列在第 p(p=1，2，…，w)個重復周期內回波信號通過相關接收機組后得到的MN ×1的數據矢量.Kr(φ，θ)=Ar⊙At=［kr(φ1，θ1)kr(φ2，θ2) … kr(φp，θp)］為維數 MN × p的導向矩陣，其中 kr(φi，θi)=a(φi)?a(θi)，(i=1，2，…，p)，其中⊙和?分別表示 Khatri-Rao乘積和Kronecker乘積.vr=［vr1vr2… vrw］為匹配濾波后的噪聲矢量，其中vri(i=1，2，…，w)為NM ×1的矢量，且 vri=Nc).由式(3)可知接收陣列等效于一個陣元數為MN的虛擬陣列，其輸出數據的采樣拍數為w.

2 基于Unitary ESPRIT的多目標定位方法

2.1 MIMO雷達的相位延遲關系

將MIMO雷達的發射陣列和接收陣列分為2個子陣，其中發射子陣1和發射子陣2分別由發射陣列前M－1和后M－1個陣元組成.接收子陣1和接收子陣2由接收陣列的前N－1和后N－1個陣元組成.若由發射子陣1和接收子陣1為MIMO雷達的一部分，且導向矢量記為Kr1(φ，θ).發射子陣2和接收子陣2為MIMO雷達的另一部分，且導向矢量記為Kr2(φ，θ).則有

式中:Kr1(φ，θ)由 Kr(φ，θ)的第(i－1)M+j(i=1，2，…，N －1;j=1，2，…，M －1)行組成的(M －1)(N －1)×p矩陣;Kr2(φ，θ)由 Kr(φ，θ)的第(i－1)M+j+1(i=2，3，…，N;j=1，2，…，M －1)行組成的(M－1)(N－1)×p矩陣.Φ為一個p×p的對角矩陣，它代表了MIMO雷達發射陣列和接收陣列中存在的相位延遲關系.根據均勻線陣MIMO雷達導向矢量的特性，對角矩陣Φ的第k個對角元素為

從式中可知，對角矩陣Φ只與MIMO雷達的發射陣列和接收陣列的陣元距、信號的波長以及目標的DOD和DOA有關系，和信號的形式無關，且該相位延遲因子為酉矩陣，即Φ－1=ΦH=Φ*.

定義一個MN×MN反對角矩陣J.

由MIMO雷達的導向矩陣Kr(φ，θ)的結構特性和反對角置換矩陣J，得到MIMO雷達的導向矩陣與相位延遲關系對角矩陣的一種性質.若M=N，則

若M≠N，則有

2.2 多目標定位方法

根據式(7)、(8)的性質，對接收數據進行重構，若 M=N，則

若M≠N，則

從式(10)、(11)可知，重構后的噪聲矢量v(t)仍為高斯白噪聲，且利用了MIMO雷達相位延遲的性質對接收數據進行重構，重構的數據包含了接收數據的前后向均值.若采樣拍數為w，接收數據的維數MN×w，重構的接收數據維數為MN×2w，因此有效的增加了接收數據信息，使得估計精度增加一倍，獲得更高的估計性能.

重構的接收數據Z(t)的協方差矩陣為

由式(12)和反對角置換矩陣J可得

若MN為奇數，則

在式(14)中，I和J分別是維數為(MN/2)×(MN/2)的單位矩陣和反對角置換矩陣.

在式(15)中，I和J分別是維數為((MN－1)/2)×((MN－1)/2)的單位矩陣和反對角矩陣為維數1×((MN－1)/2)的全零行向量.且觀察酉變換矩陣

利用酉變換矩陣U對協方差矩陣RZ進行處理:

由式(16)可知，通過酉變換后的實值導向矩陣和復值導向矩陣之間的關系為

對實數域的協方差矩陣進行奇異值分解:

式中:Es為非零特征值對應的左特征向量組成的MN×p信號子空間，En為零特征值對應的左特征向量組成的MN×(MN－p)噪聲子空間;Σ為非零特征值構成的p×p對角矩陣，V為所有特征值對應的右特征向量組成的MN×MN矩陣.

令 K1=［IN(M－1)0］，K2=［0 IN(M－1)］，且 K1和K2均為N(M－1)×MN維的矩陣.根據MIMO雷達的導向矩陣結構可知，復值導向矩陣存在以下旋轉不變特性

式中 Φr=diag［e－j(2π/λ)drsinθ1，…，e－j(2π/λ)drsinθp］.

根據式(17)是實值導向矩陣和復值導向矩陣之間的關系和式(19)可知，實值導向矩陣中存在以下旋轉不變特性［12］:

其中:

因此，對于實值信號子空間，則存在以下關系:

對實值信號子空間Es進行以下變換:

令 K3=［IM(N－1)0］，K4=［0 IM(N－1)］，且K3和K4均為M(N－1)×MN維的矩陣.相似的，對于實值信號子空間，將存在一個對角矩陣滿足:

2.3 運算復雜度分析

本文算法通過酉變換將協方差矩陣從復數域變換到實數域，在后續的運算均在實數域進行計算.在實數域進行特征值分解和矩陣運算的運算量約為在復數域進行運算的1/4.文獻［8-9］的特征值分解和矩陣運算均在復數域進行，而本文算法在實數域里進行特征值分解和矩陣運算，因此本文算法的運算量約為文獻［8-9］的1/4.

3 仿真結果與分析

下面通過Monte-Carlo實驗驗證本文算法有效性和估計性能.雙基地MIMO雷達系統結構如圖一所示，發射陣元距和接收陣元距均為半個波長;發射陣元和接收陣元分別為M=6和N=8;發射陣元發射相互正交的Gold碼波形;假設空間存在p=3個非相關目標，分別位于(φ1，θ1)=(－ 20°，10°)，

圖2為本文算法對目標二維方位角進行定位所得的星座圖.仿真采用100次Monte-Carlo實驗，3個目標的信噪比為10 dB，采樣拍數為200.從圖中可知，本文算法準確的估計出多個目標的二維角度，且所估計角度成功配對，即本文算法可以同時有效地對多個目標進行定位.

圖3為收發角度的均方根誤差與信噪比的變化關系圖，仿真采用1 000次Monte-Carlo實驗，采樣拍數為200.從圖中可知，無論是對于 DOD還是DOA，本文算法的估計性能均比文獻［8-9］中的ESPRIT更加優越，這是由于本文算法利用了MIMO雷達收發陣列的相位延遲特性有效的對接收數據進行重構，增加了接收數據信息，獲得更高的估計性能.同時，本文算法所有的特征值分解以及矩陣計算均在實數域進行，從而大大減少了計算復雜度.

圖2 本文方法目標定位星座圖Fig.2 The estimation results of three targets

圖3 DOD和DOA均方根誤差與信噪比的變化關系Fig.3 The RMSE of DOD and DOA versus SNR

圖4 DOD和DOA均方根誤差與采樣拍數的變化關系Fig.4 The RMSE of DOD and DOA versus snapshots

圖4為收發角度的均方根誤差與的變化關系圖.仿真采用1 000次Monte-Carlo實驗，3個目標的信噪比均為0 dB.從圖中可知，本文算法在低采樣拍數的情況保持良好的估計性能，且在整個采樣拍數增大過程中，DOD和DOA的估計性能均比文獻［8-9］的ESPRIT優越.

4 結束語

本文提出一種基于Unitary ESPRIT的雙基地MIMO雷達多目標定位方法.該算法利用MIMO雷達發射陣列和接收陣列的相位延遲特性對接收進行重構，有效的增加了接收數據信息，提高了目標的估計性能;通過酉變換將重構數據的復值協方差矩變換到實數域，使所有特征值分解和矩陣計算均在實數域進行，大大降低了計算復雜度.最后采用Unitary ESPRIT算法對DOD和DOA進行估計，且估計的二維角度自動配對.仿真結果證明了該算法的有效性.

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