基于Unitary ESPRIT的雙基地MIMO雷達目標定位算法

閆金山，彭秀艷，王咸鵬

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001)

近年來，多輸入多輸出(multiple-input multipleoutput，MIMO)雷達是學術(shù)界提出的一種新體制雷達，目前已經(jīng)成為雷達的研究熱點.MIMO雷達發(fā)射端的各個陣元發(fā)射相互正交的信號，在接收端通過匹配濾波分離出各個發(fā)射陣元的信號.根據(jù)MIMO雷達發(fā)射陣列和接收陣列的陣元配置方式，可以將 MIMO雷達分為統(tǒng)計 MIMO雷達［1-2］和共址MIMO雷達［3-4］.統(tǒng)計MIMO雷達的陣元距較大，滿足空間分集條件，通過合并不同方向的回波信號來抑制目標的閃爍特性，獲得較大的空間分集增益，提高目標的探測性能［1-2］.共址MIMO雷達陣元距離很小，通常為半個波長，不具備空間分集特點，在接收端通過匹配濾波形成很大的虛擬陣列孔徑，提高了MIMO雷達系統(tǒng)的自由度和目標估計精度［3-4］.

目前MIMO雷達主要研究包括MIMO雷達波束合成［5］、波形設(shè)計［6］以及目標定位［7］等方面，其中多目標定位為最重要方向之一.由于MIMO雷達的回波信號同時包含了目標相對于發(fā)射陣列和接收陣列的方位角信息，因此可以通過估計這些方位角實現(xiàn)目標的交叉定位.文獻［7］將Capon算法應用到MIMO雷達中，實現(xiàn)了多個目標的波離方向(direction of departure，DOD)和波達方向(direction of arrival)聯(lián)合估計，但由于涉及二維空間譜搜索，運算量大.文獻［8］將ESPRIT算法同時運用在MIMO雷達的發(fā)射端和接收端，利用信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變特性實現(xiàn)了多個目標的DOD和DOA估計，但需要額外的配對運算.文獻［9-10］是對文獻［8］的改進，實現(xiàn)了DOD和DOA的自動配對，且運算復雜度得到降低.文獻［11］表明，ESPRIT具有良好的穩(wěn)健性，但估計精度偏低.

為了克服ESPRIT算法的缺點，本文提出一種基于Unitary ESPRIT的MIMO雷達多目標定位方法.該算法通過利用MIMO雷達的發(fā)射陣列和接收陣列的相位延遲特性對接收數(shù)據(jù)進行重構(gòu)，有效的增加了接收數(shù)據(jù)信息，且使協(xié)方差矩陣為Centro-Hermitian矩陣，然后通過酉變換將重構(gòu)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣從復數(shù)域變換到實數(shù)域，使所有的運算均在實數(shù)域進行，最后利用Unitary ESPRIT算法實現(xiàn)了對于目標DOA和DOA估計，且估計參數(shù)自動配對.與文獻［8-9］中的方法相比，本文算法利用MIMO雷達的發(fā)射陣列和接收陣列的相位延遲因子特性，獲得更多接收數(shù)據(jù)的有效信息，提高了目標估計性能，同時所有的特征值分解和矩陣運算均在實數(shù)域進行，大大降低了運算復雜度.

1 MIMO雷達信號模型

如圖1所示為雙基地MIMO雷達結(jié)構(gòu)，發(fā)射陣列和接收陣列均為均勻等距線性陣列，所有的天線均為全向天線，有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元，dt和dr分別為發(fā)射和接收陣元距.各個發(fā)射陣元同時發(fā)射同頻正交的周期相位編碼信號，其中發(fā)射信號滿足以下條件:

式中:si和sj分別為第i個和第j個發(fā)射陣元的信號，L為每個重復周期的相位編碼的個數(shù).假設(shè):多普勒頻移對于信號的正交性沒有影響;目標和發(fā)射陣元、接收陣元的距離遠遠大于發(fā)射陣列孔徑和接收陣列孔徑，且目標之間互不相關(guān).

圖1 雙基地M IMO雷達結(jié)構(gòu)Fig.1 Bistatic M IMO radar scenario

若在相同分辨距離單元上存在p個目標，第i個目標相對發(fā)射陣元的方位角為φi(i=1，2，…，p)，相對接收陣元的方位角為 θi(i=1，2，…，p)，其中(φi，θi)為第i個目標的位置.接收陣列接收到得信號可表示為

式中:y(t)=［y1(t)y2(t) … yN(t)］T為接收陣列輸出矢量;A(θ)=［a(θ1)，a(θ2)，…，a(θp)］，其 中 a (θi)= ［1 e－j(2π/λ)drsinθi…

e－j(2π/λ)(N－1)drsinθi］T為 N ×1 維的接收陣列導向矢量，λ為載波的波長;diag(α)表示由矢量 α=［α1α2…

αp］構(gòu)成的 p×p對角矩陣，其中 αi(i=1，2，…，p)為第 i個目標的散射系數(shù);B=(φ)=［b(φ1)b(φ2)… b(φp)］， 其 b(φ1)= ［1e－j(2π/λ)dr sinφi… e－j(2π/λ)(N－1)dr sinφi］T為 M × 1 維的發(fā)射導向矢量;s(t)=［ej2πf1dej2πf2d… ej2πfpd］T為散射信號，fi(i=1，2，…，p)為第 i個目標的多普勒頻率.v(t)為陣列接收的零均值平穩(wěn)白噪聲，假設(shè)它與信號相互獨立.那么接收陣列在接收w個重復周期內(nèi)的輸出信號與發(fā)射信號相關(guān)(設(shè)相關(guān)長度為L)，那么相關(guān)接收機組輸出［8］可表示為

式中:Yr=［y1，y2，…，yw］是維數(shù)為 MN × w 的數(shù)據(jù)矩陣，其中yp為接收陣列在第 p(p=1，2，…，w)個重復周期內(nèi)回波信號通過相關(guān)接收機組后得到的MN ×1的數(shù)據(jù)矢量.Kr(φ，θ)=Ar⊙At=［kr(φ1，θ1)kr(φ2，θ2) … kr(φp，θp)］為維數(shù) MN × p的導向矩陣，其中 kr(φi，θi)=a(φi)?a(θi)，(i=1，2，…，p)，其中⊙和?分別表示 Khatri-Rao乘積和Kronecker乘積.vr=［vr1vr2… vrw］為匹配濾波后的噪聲矢量，其中vri(i=1，2，…，w)為NM ×1的矢量，且 vri=Nc).由式(3)可知接收陣列等效于一個陣元數(shù)為MN的虛擬陣列，其輸出數(shù)據(jù)的采樣拍數(shù)為w.

2 基于Unitary ESPRIT的多目標定位方法

2.1 MIMO雷達的相位延遲關(guān)系

將MIMO雷達的發(fā)射陣列和接收陣列分為2個子陣，其中發(fā)射子陣1和發(fā)射子陣2分別由發(fā)射陣列前M－1和后M－1個陣元組成.接收子陣1和接收子陣2由接收陣列的前N－1和后N－1個陣元組成.若由發(fā)射子陣1和接收子陣1為MIMO雷達的一部分，且導向矢量記為Kr1(φ，θ).發(fā)射子陣2和接收子陣2為MIMO雷達的另一部分，且導向矢量記為Kr2(φ，θ).則有

式中:Kr1(φ，θ)由 Kr(φ，θ)的第(i－1)M+j(i=1，2，…，N －1;j=1，2，…，M －1)行組成的(M －1)(N －1)×p矩陣;Kr2(φ，θ)由 Kr(φ，θ)的第(i－1)M+j+1(i=2，3，…，N;j=1，2，…，M －1)行組成的(M－1)(N－1)×p矩陣.Φ為一個p×p的對角矩陣，它代表了MIMO雷達發(fā)射陣列和接收陣列中存在的相位延遲關(guān)系.根據(jù)均勻線陣MIMO雷達導向矢量的特性，對角矩陣Φ的第k個對角元素為

從式中可知，對角矩陣Φ只與MIMO雷達的發(fā)射陣列和接收陣列的陣元距、信號的波長以及目標的DOD和DOA有關(guān)系，和信號的形式無關(guān)，且該相位延遲因子為酉矩陣，即Φ－1=ΦH=Φ*.

定義一個MN×MN反對角矩陣J.

由MIMO雷達的導向矩陣Kr(φ，θ)的結(jié)構(gòu)特性和反對角置換矩陣J，得到MIMO雷達的導向矩陣與相位延遲關(guān)系對角矩陣的一種性質(zhì).若M=N，則

若M≠N，則有

2.2 多目標定位方法

根據(jù)式(7)、(8)的性質(zhì)，對接收數(shù)據(jù)進行重構(gòu)，若 M=N，則

若M≠N，則

從式(10)、(11)可知，重構(gòu)后的噪聲矢量v(t)仍為高斯白噪聲，且利用了MIMO雷達相位延遲的性質(zhì)對接收數(shù)據(jù)進行重構(gòu)，重構(gòu)的數(shù)據(jù)包含了接收數(shù)據(jù)的前后向均值.若采樣拍數(shù)為w，接收數(shù)據(jù)的維數(shù)MN×w，重構(gòu)的接收數(shù)據(jù)維數(shù)為MN×2w，因此有效的增加了接收數(shù)據(jù)信息，使得估計精度增加一倍，獲得更高的估計性能.

重構(gòu)的接收數(shù)據(jù)Z(t)的協(xié)方差矩陣為

由式(12)和反對角置換矩陣J可得

若MN為奇數(shù)，則

在式(14)中，I和J分別是維數(shù)為(MN/2)×(MN/2)的單位矩陣和反對角置換矩陣.

在式(15)中，I和J分別是維數(shù)為((MN－1)/2)×((MN－1)/2)的單位矩陣和反對角矩陣為維數(shù)1×((MN－1)/2)的全零行向量.且觀察酉變換矩陣

利用酉變換矩陣U對協(xié)方差矩陣RZ進行處理:

由式(16)可知，通過酉變換后的實值導向矩陣和復值導向矩陣之間的關(guān)系為

對實數(shù)域的協(xié)方差矩陣進行奇異值分解:

式中:Es為非零特征值對應的左特征向量組成的MN×p信號子空間，En為零特征值對應的左特征向量組成的MN×(MN－p)噪聲子空間;Σ為非零特征值構(gòu)成的p×p對角矩陣，V為所有特征值對應的右特征向量組成的MN×MN矩陣.

令 K1=［IN(M－1)0］，K2=［0 IN(M－1)］，且 K1和K2均為N(M－1)×MN維的矩陣.根據(jù)MIMO雷達的導向矩陣結(jié)構(gòu)可知，復值導向矩陣存在以下旋轉(zhuǎn)不變特性

式中 Φr=diag［e－j(2π/λ)drsinθ1，…，e－j(2π/λ)drsinθp］.

根據(jù)式(17)是實值導向矩陣和復值導向矩陣之間的關(guān)系和式(19)可知，實值導向矩陣中存在以下旋轉(zhuǎn)不變特性［12］:

其中:

因此，對于實值信號子空間，則存在以下關(guān)系:

對實值信號子空間Es進行以下變換:

令 K3=［IM(N－1)0］，K4=［0 IM(N－1)］，且K3和K4均為M(N－1)×MN維的矩陣.相似的，對于實值信號子空間，將存在一個對角矩陣滿足:

2.3 運算復雜度分析

本文算法通過酉變換將協(xié)方差矩陣從復數(shù)域變換到實數(shù)域，在后續(xù)的運算均在實數(shù)域進行計算.在實數(shù)域進行特征值分解和矩陣運算的運算量約為在復數(shù)域進行運算的1/4.文獻［8-9］的特征值分解和矩陣運算均在復數(shù)域進行，而本文算法在實數(shù)域里進行特征值分解和矩陣運算，因此本文算法的運算量約為文獻［8-9］的1/4.

3 仿真結(jié)果與分析

下面通過Monte-Carlo實驗驗證本文算法有效性和估計性能.雙基地MIMO雷達系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖一所示，發(fā)射陣元距和接收陣元距均為半個波長;發(fā)射陣元和接收陣元分別為M=6和N=8;發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的Gold碼波形;假設(shè)空間存在p=3個非相關(guān)目標，分別位于(φ1，θ1)=(－ 20°，10°)，

圖2為本文算法對目標二維方位角進行定位所得的星座圖.仿真采用100次Monte-Carlo實驗，3個目標的信噪比為10 dB，采樣拍數(shù)為200.從圖中可知，本文算法準確的估計出多個目標的二維角度，且所估計角度成功配對，即本文算法可以同時有效地對多個目標進行定位.

圖3為收發(fā)角度的均方根誤差與信噪比的變化關(guān)系圖，仿真采用1 000次Monte-Carlo實驗，采樣拍數(shù)為200.從圖中可知，無論是對于 DOD還是DOA，本文算法的估計性能均比文獻［8-9］中的ESPRIT更加優(yōu)越，這是由于本文算法利用了MIMO雷達收發(fā)陣列的相位延遲特性有效的對接收數(shù)據(jù)進行重構(gòu)，增加了接收數(shù)據(jù)信息，獲得更高的估計性能.同時，本文算法所有的特征值分解以及矩陣計算均在實數(shù)域進行，從而大大減少了計算復雜度.

圖2 本文方法目標定位星座圖Fig.2 The estimation results of three targets

圖3 DOD和DOA均方根誤差與信噪比的變化關(guān)系Fig.3 The RMSE of DOD and DOA versus SNR

圖4 DOD和DOA均方根誤差與采樣拍數(shù)的變化關(guān)系Fig.4 The RMSE of DOD and DOA versus snapshots

圖4為收發(fā)角度的均方根誤差與的變化關(guān)系圖.仿真采用1 000次Monte-Carlo實驗，3個目標的信噪比均為0 dB.從圖中可知，本文算法在低采樣拍數(shù)的情況保持良好的估計性能，且在整個采樣拍數(shù)增大過程中，DOD和DOA的估計性能均比文獻［8-9］的ESPRIT優(yōu)越.

4 結(jié)束語

本文提出一種基于Unitary ESPRIT的雙基地MIMO雷達多目標定位方法.該算法利用MIMO雷達發(fā)射陣列和接收陣列的相位延遲特性對接收進行重構(gòu)，有效的增加了接收數(shù)據(jù)信息，提高了目標的估計性能;通過酉變換將重構(gòu)數(shù)據(jù)的復值協(xié)方差矩變換到實數(shù)域，使所有特征值分解和矩陣計算均在實數(shù)域進行，大大降低了計算復雜度.最后采用Unitary ESPRIT算法對DOD和DOA進行估計，且估計的二維角度自動配對.仿真結(jié)果證明了該算法的有效性.

［1］FISHER E，HAIMOVICH A，BLUM R S，etal.Spatial diversity in radars-models and detection performance［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(3):823-838.

［2］HAIMOVICH A M，BLUM R S，LEONARD J，et al.MIMO radar with widely separated antennas［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2008，25(1):116-129.

［3］BEKKERMAN I，TABRIKIAN J.Target detection and localization using MIMO radars and sonars［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(10):3873-3883.

［4］JIAN L，STOICA P.MIMO radar with colocated antennas［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2007，24(5):206-114.

［5］CONG X，DA Z F，HUI L.Robust adaptive beamforming for MIMO radar［J］.Signal Processing，2010，90:3185-3196.

［6］劉韻佛，劉崢，劉俊.基于高分辨距離像的MIMO雷達波形設(shè)計［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33(4):755-758.LIU Yunfo，LIU Zheng，LIU Jun.MIMO radar waveform design based on high-resolution range profile［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33(4):755-758.

［7］YAN H，LIJ，LIAOG.Multitarget identification and localization using bistatic MIMO radar systems［J］.EURASIP Journal on Advances in Signal Processing，2008，8(2):1-8.

［8］CHEN Duofang，CHEN Baixiao，QIN Guodong.Angle estimation using ESPRIT in MIMO radar［J］.Electronics Letters，2008，44(24):770-771.

［9］CHEN Jinli，GUHong，SUWeimin.Angle estimation using ESPRIT without pairing in MIMO radar［J］.Electronics Letters，2008(44)，1422-1423.

［10］陳金立，顧紅，蘇衛(wèi)明.一種雙基地MIMO雷達快速多目標定位方法［J］.電子與信息學報，2009，31(7):1664-1668.CHEN Jinli，GU Hong，SU Weiming.A method for fast multi-target localization in bistatic MIMO radar system［J］.Journal of Electronics＆ Information Technology，2009，31(7):1664-1668.

［11］STOICA P，NEHORAI.Performance comparison of subspace rotation and MUSIC methods for direction estimation ［J］.IEEE Trans Signal Processing，1991，39(2):446-453.

［12］HAARDTM，NOSSEK JA.Unitary ESPRIT:how to obtain increased estimation accuracy with a reduced computational burden［J］.IEEE Trans Signal Processing，1995，43(5):1232-1242.