基于Arnold變換的高效率分塊圖像置亂算法的研究

王圓妹，李 濤

(長江大學電子信息學院，湖北 荊州 434023)

互聯網技術的飛速發展，為信息在網上的快速傳播開辟了新道路。利用互聯網可以使信息迅速地在網上發布和傳輸，但同時也給不法分子利用網絡非法獲取未授權數據提供了渠道，因此信息安全已成當前學術研究的熱點。當前對圖像信息的保護主要有數字水印和圖像加密兩種方法。圖像置亂［1］是一種重要的圖像加密方法，也是信息隱藏［2］的基礎，可進一步作為數字圖像隱藏、數字水印植入、數字計算恢復方法和數字圖像分存的預處理和后續處理過程。數字圖像置亂加密是一種重要的數據加密技術，并可作為有效的安全增強手段。

常見的圖像置亂算法主要有基于Arnold變換、Fibonacci變換、Hilbert變換、幻方變換等，主要通過改變像素點位置和改變像素點灰度值這兩種方法達到置亂的效果。改變像素點位置的方法一般用于矩陣變換，通過消除像素點間的相似性和相關性來改變像素點的位置。由于Arnold變換具有一定的混沌性，把它用到圖像加密處理可以獲得較好的置亂效果。但由于Arnold變換的周期性和參數較少的原因，在數據加密時容易受到外部的攻擊和破壞。Kwok H S等人［3］從位置變化的角度進行分析，若計算圖像置亂前后的位置移動的距離，位置移動的距離越大，置亂效果越好。本文在Arnold變換基礎上提出一種高效率的基于分塊的圖像置亂算法，并通過大量的實驗驗證了此方法的有效性。該方法置亂速度快，迭代次數少，執行效率高，置亂效果好，提高了保密信息的安全性。

1 二維Arnold變換

一幅大小為N×N的圖像經過數字化處理后的得到的是一個二維離散的數字矩陣，矩陣中每個元素代表圖像信息，(x，y)為原始的像素坐標，(x'，y')表示變換之后的像素位置，并且 (x，y)∈ (0，1，…，N － 1);mod 表示求余運算，目的是保證圖像的數據陣進行變換后仍然落在在原先的圖像區域內，因此二維的Arnold變換［4－5］可表示為當a=1，b=1時則為標準的Arnold變換，公式為

一幅圖像經過Arnold變換后，圖像像素點的位置在空域進行重新排列，通過改變像素點坐標而改變圖像灰度值的分布，這樣圖像像素點的分布變的雜亂無序，實現了對圖像進行置亂加密。圖像通過Arnold變換雖然可以使圖像變得混亂，但是這種混亂程度是有限度的，并不是隨著迭代次數增多，置亂圖像就越來越“亂”，往往存在最佳的迭代次數，置亂程度最好，置亂效果最佳。置亂次數與置亂程度的關系如圖1 所示［6－9］。

圖1 置亂次數和置亂程度的關系

由于 Arnold 變換具有周期性［10－11］，即當迭代次數達到一定值后，所有像素點又都回到初始位置，存在等式(xn，yn)=(x0，y0)，置亂圖像和原始圖像一模一樣。可以利用這一特性將置亂圖像還原為原始圖像，具體實現方法為:發送方將變換周期L和傳輸圖像的置亂次數n作為密鑰包含的內容，接收方利用Arnold變換具有周期性的特點，對傳輸圖像再作L－n次置亂，即可得到原始圖像。恢復的具體過程如圖2所示。

圖2 利用周期性還原圖像

2 高效率的分塊圖像置亂算法

上述基于Arnold變換的置亂算法雖然計算簡單，很容易實現，也有較好的置亂效果，但是當圖片較大時，Arnold變換的周期很大，如果利用周期性恢復原圖像，往往需要很長時間，這樣恢復的效率將迅速降低。文中提出的基于Arnold變換的分塊圖像置亂算法，縮短了置亂變換的周期，提高了算法的執行效率。

假設一幅圖像的大小為N×N(N＞32時)，置亂周期都比較大。這時可以將N×N大小的圖像劃分成若干個大小為a×a的圖像塊，共有

圖像塊;然后對每個圖像塊中的像素點進行置亂，相應得到混亂狀態的圖像塊，再對這些圖像塊進行置亂，不斷打亂圖像塊的排列順序，最后完成了整幅圖像的置亂，其過程如圖3所示。

對高效率的分塊置亂算法仍然可以借用基于Arnold變換置亂算法的周期性恢復方法進行對圖像的恢復。若L1表示圖像塊進行Arnold變換的置亂周期，L2表示圖像塊內像素點進行Arnold變換的置亂周期。假設圖像塊的進行Arnold變換次數為p，圖像塊內像素點的進行Arnold變換迭數為q，則只需要再對圖像塊作L1－p次Arnold變換，對圖像塊內像素點作L2－q次Arnold變換，就可以恢復出整幅圖像了。

圖3 高效率分塊置亂算法流程圖

3 仿真實驗結果與分析

3.1 算法的實現及恢復

對一幅256×256的圖像，采用不同的分塊方法得到的置亂效果如圖4所示。

圖4 不同分塊方法的置亂結果

利用本文算法的周期性，只需改變2次Arnold變換的迭代次數就可以使置亂圖像還原，其結果如圖5所示。

圖5 置亂圖像的恢復

從置亂結果可以看出，圖像塊越小，置亂圖像的灰度值分布越均勻。由于圖像塊具有“聚合”的特點，它會使像素點集中在一起，影響置亂的均勻度。利用此算法時還有一個關鍵問題是要選取合適的圖像塊數，即如何對圖像進行分塊。在上述實驗中對一幅大小為256×256的圖像，其置亂周期為192，完成這一周期，每個像素點都要移動192次，共需要移動256×256×192次。若采用本文提出的置亂算法，把256×256圖片分為32×32塊，每塊有8×8個像素點，完成這一周期，每個塊要移動30次，因此，利用本文置亂算法完成對圖像置亂，所有像素點的總移動次數是256×256×30次，僅是原來置亂算法的15/96，計算效率提高將近85%。

3.2 抗攻擊性能分析

圖像置亂的目的是為了圖像得到安全加密，不僅要阻止攻擊者恢復原圖像，竊取圖像信息，還要阻止攻擊者對圖像破環，文中主要從抗剪切及噪聲等方面對置亂算法的抗攻擊性進行分析。

1)抗剪切攻擊能力

利用本文提出高效的分塊圖像置亂方法對圖像進行剪切再恢復，其結果如圖6所示。

圖6 分塊圖像置亂算法的抗剪切能力

從上述圖像可以看出，恢復圖像的清晰度與剪切的大小有關，與剪切的位置無關。當攻擊者剪切部分面積越大，圖像越不清晰，甚至會導致圖像信息完全被破壞，接收方得不到完整的圖像信息。由于圖像塊的“聚合”特性，利用本文的算法對遭到剪切攻擊后的置亂圖像進行恢復圖像，恢復出的圖像還存在著一些噪聲，為此抗剪切的能力還有待進一步提高。

2)抗噪聲攻擊能力

圖片在實際傳輸過程中，往往會有各種噪聲干擾，信道的傳輸環境不可能完全呈現理想狀態。實驗中對置亂后圖像加不同類型的噪聲，然后用逆變換方法還原加噪的置亂圖像，得到相應的結果如圖7所示。

圖7 對置亂圖像加不同噪聲及恢復

從圖7可以，看出置亂圖像加噪聲后恢復出的圖像都比較清晰。還可以采用一種評價圖像的客觀標準峰值信噪比(PSNR)來衡量圖像質量，分別計算恢復圖像和原始圖像的PSNR，具體如表1所示。

表1 恢復圖像與原始圖像的PSNR

從圖4～圖7的視覺效果及表1的數據可看出，計算出的PSNR值都比較大，這表明文中基于分塊的置亂算法具有很好的抗噪性能力。

4 結論

本文提出了一種高效率的分塊的圖像置亂方法。與常用的基于Arnold變換的置亂算法相比，該算法具有計算量小、運行速度快、效率高等優點。由于圖像塊具有聚合的特點，本文的算法在對抗剪切能力分析時，還原的圖像還具有一定的噪聲。因此，在提高效率的同時如何增強本算法的穩健性是下一步重點研究內容之一。

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