用差分方法求解一類二階兩點邊值問題

鄒序焱

（宜賓學院 數學學院，四川 宜賓 644000）

近年來，許多學者對非線性微分方程邊值問題正解的存在性進行了研究[1-5]，如文獻[5]利用不動點定理研究了邊值問題得到了在一定條件下存在解的結論。

大多數文獻都只證明了解的存在性，并未給出解的求法以及解的表達式，這是因為求邊值問題的解析解比較困難。本文將采用差分方法討論邊值問題（1）的數值解法。

式中：p(x)∈ C1[a,b]，p(x)≥ 0 ；

r(x)，f(x)∈C[a,b]；

1 用差分方法求解邊值問題

用有限差分方法解兩點邊值問題，一般分兩步進行：

第二步 用差商代替微商把原方程變成等價的離散方程。

對函數y(x)∈C1[a,b]，以xm(m=0,1,…,N)為網格結點，當步長h足夠小時，根據導數定義可簡單地用差商近似導數，故有以下公式 ：

類似地有

式中：

將式（2）和（3）代入式（1）得

為方便，簡記為

因此式（1）可化為

其邊值條件可化為：

略去h2的高階無窮小項oh2，則邊值問題（1）的離散差分形式為：

這是一個關于ym的方程組，其誤差階為oh2[6]，即方程組為：

令y=y0, y1, …, yN；

b= , f1, …, fN-1,；

因此，方程組（4）可表示為

Ay=b。

由于系數矩陣A為三對角矩陣，故可用追趕法求解[6-8]，且追趕法具有速度快，易編程的優點.

2 實例分析

例1 用差分法求解兩點值問題

解 按前面所述的方法得到的系數矩陣是三對角矩陣，用追趕法得到其數值解，并將數值解與精確解y(x)=ex進行比較，見表1。表中給出了3 個結點處取不同步長時的數值解和精確解。

表1 數值解與精確解Table 1Numerical solutions and exact solutions

由表1中的數值結果可知，對此類二階兩點邊值問題，本文所給的差分算法是可行的，也驗證了理論分析的正確性。從計算結果看，當步長h取值較大時，計算結果的精度不高；h取值較小時，計算結果的精度較高，但計算量較大。

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