緩解交通擁擠的多目標優化模型和算法研究

吳中，何群

(河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098)*

0 引言

隨著我國社會經濟和城市化水平的發展與提高，交通擁擠成為困擾許多大城市的難題，單純的增加交通供給已被證明不能解決擁擠問題，征收“擁擠費”作為交通需求管理的一種形式，成為大城市緩解擁堵的備選方案.交通擁擠收費的理論最初由Pigou于上個世紀20年代提出，之后Waters和 Vickery繼承并發展發展了 Beckman［1］(1965)的理論，提出出行者支付費用使用擁擠道路，可以平衡邊際社會成本與邊際個人成本之間的差值，達到系統最優的目的.征收“擁擠費”在國外已經成功施行多年，新加坡的成果最為顯著［2］.從1975年開始的人工收費系統(ALS)發展到現在的電子收費系統(ERP)，收費使常年日交通量減少15%，上午7:30～9:30高峰小時交通量減少16%，多次進入限制區的交通量減少到34%.國外經驗表明，擁擠收費是緩解交通擁擠行之有效的管理手段.

國內對擁擠收費的研究起步較晚，李志純等［3］(2001)利用雙層規劃模型與步長加速法和罰函數法組合的啟發式算法對彈性需求下的道路收費問題進行了研究，給出了不同路段的收費費率，以求達到網絡交通流的平衡，但其方法復雜、費率變化，難以推廣應用.郭瑞軍、王晚香等［4］(2008)運用定量和定性方法探討了交通擁擠中社會和個體成本的組成，以及兩者之間的關系，但未給出應用于實際的計算模型.張琳琪、宋瑞等［5］(2008)基于UE均衡原則，分析交通收費條件下的用戶和系統的關系，從而確定擁擠收費費率，但其方法主要考慮交通平衡，未計社會總成本的損失.本文在綜合考慮流量與成本的關系基礎上，構建了合理阻抗函數，以個體成本總量和社會總成本最小化為目標建立多目標模型，并給出相應的算法，分析不同擁擠費對交通配流的影響，以達到多路徑選擇下個體與社會總成本最優的目的.

1 建立模型

1.1 目標函數的確定

出行者路徑選擇不當會造成自身出行費用的增加，這種自身承擔的損失成本叫做內部成本.不當路徑選擇還會造成其他道路使用者、交通資源與社會環境乃至生活中無直接聯系的第三方的損失，由于自身車輛的加入而使道路更加擁擠，導致其他各方增加的成本叫做外部成本.

個體成本是指個體出行者在出行過程中的行駛時間、車輛折舊、油耗費、擁擠等內部成本.社會總成本包括所有個人成本，交通設施設備的消耗成本，還包括大氣污染、道路公司流量損失等外部成本.

個體成本小說明出行者選擇了利于自己的出行路徑;社會總成本小說明交通管理組織有效.僅憑個人成本總量最優或是社會總成本最優還不能很好地確定擁擠費取值，以個人成本總量和社會總成本最小為目標構建規劃方程，通過協調控制兩者的大小，可以兼顧各方利益，合理地確定交通擁擠費率.

1.2 阻抗函數的構建

單個出行者往往只考慮內部成本，選擇路線阻抗函數較小的路線，忽視給他方帶來的不便與損失，致使某些道路資源在特定時段出現使用緊張或過度閑置的現象，造成社會外部成本增加.道路阻抗函數和行駛時間、距離、通過費用等內部成本有關.其中影響阻抗大小的主要因素是行程時間和通過費用，由于交通能源消耗、舒適性、安全性等因素都與行程時間和通過費用有關，本文只考慮行程時間、通過費用這兩個主要因素，形成包括行程時間費用和通過費用的廣義費用，即

式中，C為廣義費用;CT為行程時間費用;μ為道路通過費用，交通“擁擠費”也應計入在內.

在式(1)中，CTi是車流量為xi時車輛通過路段i所需的時間費用.顯然，隨著車流量的增加，時間費用不斷增加，當車流密度達到臨界時，車流量不增反降，但時間費用仍然呈現增加趨勢.具體如圖1所示.μ的取值范圍要考慮當地的經濟、文化和時間價值以及出行者接受水平.

圖1 交通量與行程時間費用的關系圖

設路段i的交通容量為pi，零流量情況下車輛通過的行程時間費用為Ai，參考美國BPR公式，利用時間價值系數γ同質化行程時間函數轉換成費用有:

式中，xi為路段i的當量標準車流量;pi為路段i的基本通過能力.行程時間費用CTi右端第一項為正常行駛行程時間費用，第二項ε是由于行程時間易受天氣、交通事故影響而考慮的隨機應變量，服從正態分布.

1.3 多目標非線性規劃模型

出行者選擇主觀上的最優路徑，不支付因為自身給系統帶來的額外延誤，受益大于支出，為了緩解管理方與出行者之間的這一矛盾，充分發揮道路網絡的多路連通效用，使交通網絡上的交通流達到基本均衡狀態［6］，有必要將部分交通外部成本內部化.引入交通“擁擠費”、增大通過費用μ，可以直接緩解外部成本相對過高的問題.依據出行者與管理方利益共贏的理念，使個體成本總量與社會總成本在交通“擁擠費”費率約束下達到相對差值最小，建立規劃模型(3)如下.

式中，xi為路段i的交通量;ximin為路段i的最小服務交通量;ximax為路段i的最大服務交通量;ui為路段i的擁擠費;uimin為路段i道路管理者所能接受的最小擁擠費;uimax為路段i道路使用者所能接受的最大擁擠費;Ci(xi，ui)為是路段i關于交通量和擁擠費的費用函數，可用交通阻抗函數表示;f1(X，U)為建立在道路使用者主觀路線選擇行為基礎上的個體成本總量;f2(X，U)為建立在管理者系統最優基礎上的社會總成本;qrs為OD對(r，s)之間總交通量;為OD對(r，s)之問路徑k上的總交通量;為如果路段 i在連接OD對 (r，s)之間路徑上，其值為1，否則為0;gj(X)為變量 x1，x2，…，xn之間的聯系

2 非線性規劃模型算法

由模型(3)可以看出，兩個目標函數相互影響、相互制約，出行者的內部成本總量變化趨勢并不總與社會出行總成本相一致.為不造成資源浪費、同時保證通過效率，交通網絡及其它的交通量分布信息也被列入約束條件之中，模型(3)實際上成為交通網絡結構及其交通流量流向分布條件下的、考慮系統與用戶利益均衡的交通“擁擠費”決策優化模型.式(2)中的費用轉化隨機量ε，可由實際情況與環境調查數據的方差決定，亦可按收斂與否、人為試算、合理性判別確定.ε的不同選值，效果上影響到交通“擁擠費”征收的高低，可作為“擁擠費”的調節參數使用.模型可采用增量系數法［7］計算出最佳交通量分配下的個人成本總量和社會總成本.

算法具體步驟如下:

Step 1 確定精確精度ε=0.1，初始化目標函數個數m=1，路段i=0，迭代次數s=1.轉step1;

Step 2 對于雙目標優化函數優化問題(1)，計算第m個目標函數fm(X)的最優解和最優值.令(X)為第m個目標函數在約束集合R內的最優值，=(xm，1，xm，2，…，xm，n)是第 m 個目標函數的最優解.令m=m+1，得到下一個目標函數的最優解和最優值，分別表示為=(xm+1，1，xm+2，1，…，xm+1，n)和(X).轉step 3;

3 案例

路網結構如圖2所示，由2個節點，一個 OD對，2條路段組成.路線為單向，其中路徑1道路等級高，行程距離長，路段2道路等級低，行程距離短.其中已知總交通流量為20 pcu/h，路徑1最大服務交通量18 pcu/h，路徑2最大服務交通量15 pcu/h.不考慮隨機因子，取ε=0(不影響問題說明).正常情況下，行程時間C1(x1，u1)=4x1+u1，C2(x2，u2)=(2x2+u2)2.試采用在路徑2 征收擁堵費u重新分配交通量.

圖2 OD網絡圖

路徑1和路徑2的阻抗都是隨著交通量的增大而增大，但OD對間的交通量相對比較穩定.顯然隨著路徑2交通量的增加，路徑1的交通量會減少，路徑2的阻抗小于路徑1.協調控制既不能讓路徑1的通過能力過度空置，也不能因為2的行程距離短造成擁堵.本例給出的阻抗函數是單調遞增的，不考慮擁堵時流量減小的情況，為緩解路徑2的交通擁堵并發揮路段2最大交通效益，欲為路徑2設一收費站，具體規劃模型如下.

建立模型:

利用增量系數法求解多目標優化問題，得到如表1所示的計算結果.不難看出，不收擁堵費時外部成本較高，社會總成本遠大于個人成本總量.擁堵費征收增加，個人成本總量也隨之上升，但相對于個人成本總量，社會總成本增長緩慢.這表明在一般情況下，社會總成本的變化率總是小于個人成本總量的變化率，社會總成本與個人成本總量完全可以通過不太高的交通收費達到平衡.圖3表達了不同擁擠收費率情況下的個人成本總量與社會總成本間的變化關系.當擁堵費征收較少時(小于圖中A點坐標)，社會總成本高于個人成本總量，出行者欠付交通平衡費，當擁擠費較高時，個人成本總量高于社會總成本，出行者超額支付，個人成本總量與社會總成本增長曲線的交點A即為收費平衡點.擁堵費的征收緩解了外部成本的過大偏置，當社會總成本與個人成本總量相等時，外部成本為零.

表1 相同流量不同路徑對于征收不同擁堵費的敏感度分析

圖3 不同擁擠費下目標函數值的變化圖

考查本文模型的優化水平，與其他優化方式進行比較.選擇方案一為用戶均衡UE優化的交通配流模型;方案二為用戶和系統共同優化，不考慮收費措施的配流模型;方案三為本文用戶系統共同優化的收費模型，其比較結果見表2.對應三種方案，計算外部成本分別為 1 533.33，610.94和0.9，方案三最小.表明與對照的兩個方案比較，本文模型較好地平衡了個人內部成本總量與外部總成本，基本達到了合理征收交通“擁擠費”的目標.在合理收費條件下，交通流量的分配也依據道路的實際狀況更加趨于合理.

表2 各方案優化效果對比圖

4 結論

擁擠收費是一項十分有效的交通需求管理措施，本文所提出的模型考慮到用戶與系統的需求，收費率的確定同時依賴于交通網絡的狀況和交通需求的狀況，個人與社會成本的計算也對模型結果有影響.交通擁擠收費除了可以抑制交通的不必要需求外，驗證算例還表明，合理的交通擁擠收費可以較好地分配交通資源，促使交通網絡達到更好的平衡.由于社會的巨大容量，社會成本的變化大大低于個人成本變化的速率，這使得征收較少量額的交通擁擠費就可以達到外部成本為零的目標成為可能.模型計算對比結果還表明，一項好的交通政策不僅僅只須滿足Wordrop第一原理或第二原理，還需要兼顧管理者(社會)與用戶(個人)雙方的利益.正確地描述和表達各方權益才能取得良好的效果，交通擁擠費率的確定也是如此.

［1］MARTIN J，BECKMANN C B，MCGUIRE，et al.Studies in the Economics of Transportation［M］.City of New Haven:Yale university press，1956.

［2］李斌，黃海軍.新加坡道路收費系統的實踐和經驗［J］.公路交通科技，2000，6(3):59-62.

［3］李志純，谷強，史峰.彈性需求下擁擠道路收費的模型與算法研究［J］.交通運輸工程，2001，1(3):81-85.

［4］郭瑞軍，王晚香.城市交通擁擠的社會成本分析初探［J］.城市公共交通，2008(4):26-29.

［5］張琳琪，宋瑞，許旺土.擁擠收費對用戶均衡交通配流的影響分析［C］.2008第四屆中國智能交通年會論文集，2008:559-562.

［6］楊兆升.交通運輸系統規劃［M］.北京:人民交通出版社，1998.

［7］余俊，廖道訓.最優化及其應用［M］.武漢:華中工學院出版社，1983.