求解修正的H elm holtz方程關于非光滑區域問題

楊正輝,王連堂

(西北大學數學系,陜西西安 710127)

求解修正的H elm holtz方程關于非光滑區域問題

楊正輝,王連堂

(西北大學數學系,陜西西安 710127)

研究了修正的(純虛波數)Helmholtz方程在阻尼邊界條件下,求解含單個角點的閉區域問題.通過采用單雙層混合位勢來表示其解,進而對其角型區域進行求解.最后,通過數值例子來說明此方法的可行性與可靠性.

修正的Helmholtz方程;阻尼邊界條件;角形域;位勢論

1 引言

對于正波數的Helmholtz方程Δu+k2u=0,k＞0的數值解已有許多研究成果[12],并且其研究方法和數值解亦給了充分的說明,但對于純虛數的Helmholtz方程Δu-k2u=0,k＞0的數值解的研究卻一直很少有文獻提及并對其進行深入的研究,可能一方面是由于隨著純虛波數的Helmholtz方程的變化其基本解發生變化,另一方面是由于目前還很少有專門的文獻論及純虛波數的Helmholtz方程.近期,文獻[3]對其進行了研究,并對一部分問題進行了處理,比如對閉區域上的Dirichlet邊值問題,Neumann邊值問題和Im pedence邊界的問題,分別采用了單層位勢和雙層位勢給予了證明及數值算例,但對于運用單雙層混合位勢來求解含單個角點的閉區域在Im pedence邊界條件下的問題未給予求解及數值計算,本文通過采用單雙層混合位勢來表示其解,求解修正的Helmholtz方程在Im pedence邊界條件下,關于單個角點的閉區域形問題.最后,給出這方面的數值例子來說明這種方法的可行性.

2 邊界積分方程的建立

首先,波數為純虛數形式的Helmholtz方程Δu-k2u=0,k＞0,二維情形下的基本解由下式給出:

3 積分方程的參數化

下面對參數化方程(2.8)進行整理,這樣做是為了便于后面進行核的奇性[6]處理和計算,通過上面對各類算子的給出,得出

對于上面所涉及到的核H(t,τ),L(t,τ),M(t,τ)已有詳細的推導[3],這里不再進行贅述.

由于核函數K(t,τ)具有對數奇性,利用K ress法進行奇性的處理,將其核裂解為如下形式:

為了更好的處理尖角處的奇性,考慮用分級網格來代替等距網格[1],具體來說,就是用一個變量替換,令t=ω(s),τ=ω(σ)則重寫為:

由上面通過對積分方程的建立,參數化和角點處理之后,那么修正的Helmholtz方程在阻尼邊界條件下,其解形式用單雙層混合形式來表示,最后轉化為線性方程組,就可以很容易的求出其解.

當線性方程組的解求出來以后,直接帶入(2.5)式就可以求出邊值問題在任意點處的函數值u(x),邊值問題在任意點處的函數值可通過梯形公式進行給出,具體的有

4 數值算例

以下算例的程序代碼和求解結果是在一臺操作系統為W indows 7,中央處理器為(i3-390),內存為2.0GB的laptop電腦上用Fortran語言實現的.對于算例的給出,考慮如下參數方程表示的有角區域邊界.

此區域在t=0處有一個角點(如圖1所示).

對于邊界數據取常邊值f=1,取分級參數p=8,下面表一給出了在阻尼邊界條件下不同點處的一些逼近值,可以看到隨著節點數n的增加,表格中的數據呈收斂趨勢.

圖1 尖角區域邊界

表1 尖角問題的數值算例

5 本文總結

本文通過研究修正的Helmholtz方程,利用單雙層混合位勢表示其解,求解阻尼邊界條件下含角點的閉區域問題.通過建立積分方程,對其進行求解,給出不同離散點數n的數值結果.最后給出數值例子充分的說明了計算方法和數值結果的可行性.該算法隨著點數n不斷增加時,呈收斂態勢,并得出收斂效果更好,這對于研究修正的Helmholtz方程多個角點問題,提供了可靠的理論依據.

[1]Colton D,K ress R.Inverse Acoustic and Electrom agnetic Scattering Theory[M].Berlin:Springer,1992.

[2]麥宏晏,王連堂,孟文輝.阻尼邊界條件的聲波散射問題的三種數值求解方法[J].工程數學學報,2005,22(5):827-832.

[3]楊樹偉,王連堂.純虛數Helmholtz方程數值解[D].西安:西北大學數學系,2011.

[4]K ress R.Integralequation m ethods in inverse obstacle scattering[J].Math.Methods App l.Sci.,1995,18:267-293.

[5]K ress R.Integral equation m ethods for scattering from an im pedance crack[J].Com put.App l.Math., 2003,16(3):161-177.

[6]Yam an F.A combination of shape and conductivity function reconstruction m ethods for an inverse boundary value problem[J].Wave Motion,2009,10(4):1-11.

Solving a modified of Helmholtz equation about the nonsmooth regional issues

Yang Zhenghui,Wang Liantang
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

We studied them odified pure im aginary wave number of Helm holtz equation in im pedence boundary condition,which contains a single corner to solve the closed regional prob lem s.Single layer and double layer potentialswere used to rep resent its solution and solve its domains.Finally,the numerical exam p le illustrated the feasibility and reliability of thism ethod.

m odificatory Helm holtz equation,im pedence boundary conditions,angle dom ain, potential theory

O241.8

A

1008-5513(2012)03-0378-06

2011-01-09.

陜西省自然科學基金(FC10112).

楊正輝(1986-),碩士生,研究方向：聲波散射反問題.

2010 MSC:35A 40