全柔性鉸鏈平面并聯(lián)微動機器人的靜剛度性能分析

鐘春華，楊春輝

（華東交通大學信息工程學院，江西南昌330013）

機器人指的是能自動執(zhí)行工作的機器裝置，一般由執(zhí)行機構(gòu)、驅(qū)動裝置、監(jiān)測裝置和控制系統(tǒng)及復雜機械等組成。而全柔性鉸鏈平面并聯(lián)微動機構(gòu)是靠材料的彈性變形來實現(xiàn)微位移的一種全新機構(gòu)，此種機構(gòu)在MEMS、微定位裝置、微機電產(chǎn)品的加工和裝配以及微外科手術(shù)等領(lǐng)域中具有廣闊的應用前景[1-2]。微動機器人具有無摩擦、無間隙、響應快、結(jié)構(gòu)緊湊、剛性好、誤差積累小等特點，以柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)鉸鏈后并聯(lián)機器人就正好具備以上特點適合用作微動機器人。全柔性并聯(lián)微動機器人的終端執(zhí)行器的定位精度具有很高的標準，而其靜剛度在很大程度上決定著這一指標。早在20世紀90年代初，C.Gosselin對并聯(lián)操作手剛度控制的基本操作參量進行了研究[3]；I.Kao等給出了并聯(lián)機構(gòu)的守恒轉(zhuǎn)換剛度矩陣[4]；汪滿新等應用雅可比矩陣法建立Tricept型4自由度混聯(lián)機器人的靜剛度半解析模型[5]，楊啟志等利用D-H矩陣變換的方法，推導出一般支鏈靜剛度矩陣求解的理論過程，通過演算得到支鏈端部的靜剛度矩陣[6]，這幾種方法計算過程復雜。我們根據(jù)Lagrange（拉格朗日）方程能量守恒定律推理出此機構(gòu)線性靜剛度方程，此方法不但簡單，而且計算量較小，全柔性鉸鏈平面并聯(lián)微動機器人可看成靜態(tài)工作，所推導的線性靜剛度模型是行之有效的。最后應用ANSYS10.0軟件進行有限元分析驗證，發(fā)現(xiàn)剛度值比理論值大25%左右。因為解析運動學模型是偽剛性模型，而實際全柔性鉸鏈微動機器人的運動學模型是非線性的。

1 解析建立運動學模型

圖1為全柔性鉸鏈平面并聯(lián)微動機構(gòu)模型，此機構(gòu)的運動副為圓弧型柔性鉸鏈，3個驅(qū)動器是壓電陶瓷（PZT）。圖2為該機構(gòu)的偽剛性模型，其中Ai、Bi、Ci（i=1，2，3）為柔性關(guān)節(jié)，其結(jié)構(gòu)具有對稱性，動平臺是一個等邊三角形ΔC1C2C3，ΔL1、ΔL2、ΔL3分別是三驅(qū)動器產(chǎn)生的位移，作為機構(gòu)的輸入位移。在靜平臺上建立參考坐標系xoy，x軸方向通過機構(gòu)初始位置的C1點，坐標原點o與動平臺初始位置時的幾何中心重合，動平臺的參數(shù)變量為平臺位置和方位角X=(ΔxΔyΔγ)T。這里Δx和Δy分別表示輸出動平臺沿x，y軸的位移變動量，Δγ為輸出平臺沿z軸的旋轉(zhuǎn)角度變動量。

設(shè)θAi，θBi，θCi（i=1，2，3）是以x軸為起始邊的對應鉸鏈的初始角度，ΔθAi，ΔθBi，ΔθCi則表示各鉸鏈的角度變化增量，其中ΔθAi為輸入角度增量，如圖2所示。

圖1 3-RRR平面并聯(lián)微動機構(gòu)Fig.1 3-RRR planar parallel manipulators

圖2 偽剛性模型Fig.2 Pseudo rigid body model

根據(jù)文獻[8]閉環(huán)矢量原理解析全柔性鉸鏈并聯(lián)微動機器人運動學方法，已知三驅(qū)動器產(chǎn)生ΔL1，ΔL2，ΔL3的位移時，可以通過閉環(huán)矢量6個方程式，并利用Matlab軟件編程計算，就可得其6個未知數(shù)的解（即和與三驅(qū)動器輸入位移的關(guān)系）：

當已知 ΔL1，ΔL2，ΔL3，通過式（1），（2）及機構(gòu)的支鏈就可求出動平臺的參數(shù)X=(ΔxΔyΔγ)T：

3 理論靜剛度

由于3-RRR是平面運動機構(gòu)，可忽略構(gòu)件重力的影響。由于微動機器人是在低速低頻率下工作，速度和加速度非常小，所以3-RRR并聯(lián)微動機器人可看成靜態(tài)工作[4]。且全柔性鉸鏈并聯(lián)微動機器人的靜剛度模型為

式中：F為3×1力矢量矩陣；K為是與驅(qū)動器位移ΔL關(guān)聯(lián)的3×3剛度矩陣。

機構(gòu)的彈性能量方程為

式中：Kr為單個柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度。

單個圓型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度公式為[7]

式中：E為材料的楊氏模量，GPa；b為柔性鉸鏈的寬度，mm；r為柔性鉸鏈的圓弧半徑，mm；t為柔性鉸鏈的厚度，mm。MZ為力鉅，N；αZ為柔性鉸鏈在MZ力矩下產(chǎn)生的角變形。

已知柔性鉸鏈的參數(shù)E=130GPa，b=10mm，r=2.5mm，t=1mm，代入式（6）得Kr=50.28N·m·rad-1。將Kr與式（1），（2）代入式（5）得：

利用Lagrange方程解析出此機構(gòu)的動力學模型為

該機構(gòu)可看成靜態(tài)工作，認為T=0。對式（7）分別ΔLi求導得

其中ΔLi單位為um。

將式（3）代入式（8）可得

4 有限元驗證

利用有限元分析軟件ANSYS10.0建立并聯(lián)微動機器人的模型，如圖3所示。我們選擇單元3-D實體SOLID45，對整個模型使用Smartsize進行自由網(wǎng)格劃分，對Mi面進行全約束，面為載荷的施加處。材料參數(shù)為E=130GPa，泊松比v=0.3。后置處理如下：倘若在動平臺的中心方位設(shè)定一節(jié)點為o，定義節(jié)點C1，C2，并用ANSYS軟件顯示出節(jié)點o，C1，C2的x，y方向的位移，以及點的x，y方向的位移。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model of 3-RRR planar parallel manipulators

通過分析驗證可以得出有限元線性剛度矩陣值如下：

由式（8）計算分析理論和有限元值比較，發(fā)現(xiàn)有限元分析的剛度值比理論值大25%左右。

5 結(jié)束語

以上對全柔性鉸鏈平面并聯(lián)微動機構(gòu)（3-RRR）微動機器人建立解析運動學線性模型，并根據(jù)Lagrange能量守恒原理推出機構(gòu)線性靜剛度方程，通過ANSYS10.0軟件對機構(gòu)進行有限元驗證，發(fā)現(xiàn)有限元剛度比理論值大25%左右。這是由于理論模型是偽剛性線性平面模型，而有限元為三維模型，并且實際微動機器人的運動模型并不完全是線性，而是非線性的，實際柔性鉸鏈不僅會產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，還會產(chǎn)生伸長等運動，因而還需要進行實驗修正。由于該機構(gòu)是在低速低頻率下工作，速度和加速度非常小，3-RRR并聯(lián)微動機器人可看成靜態(tài)工作，所以線性靜剛度模型是行之有效的。

[1]于靖軍，畢樹生，宗光華，等.基于偽剛體模型法的全柔性機構(gòu)位置分析[J].機械工程學報，2002，38（2）：75-78.

[2]李永剛，宋軼民，馮志文.并聯(lián)機器人機構(gòu)靜剛度研究現(xiàn)狀與展望[J].機械設(shè)計，2010，27（3）：1-4.

[3]GOSSELIN C.Stiffness mapping for parallel manipulators[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation，1990，6（3）：377-382..

[4]CHEN S F，KAO I.The conservative congruence trans-formation for joint and Cartesian stiffness matrices of robotic hands and fingers[J].The International Journal of Robotics Research，2000，19（9）：835-847.

[5]汪滿新，王攀峰，宋軼民，等.4自由度混聯(lián)機器人靜剛度分析[J].機械工程學報，2011，47（15）：9-15.

[6]楊啟志，馬履中.全柔性并聯(lián)機器人支鏈靜剛度矩陣的建立[J].中國機械工程，2008，19（10）：1156-1159.

[7]左行勇，劉曉明.三種形狀柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度的計算與分析[J].儀器儀表學報，2006，27（12）：1725-1728.

[8]楊春輝，劉平安.應用閉環(huán)矢量原理建立三自由度平面并聯(lián)微動機器人運動學模型[J].機械科學與技術(shù)，2007，26（9）：1233-1235.