基于卡爾曼濾波的DMC算法在CSTR中的應用

羅 霄

(重慶大學 自動化學院，重慶 400044)

連續攪拌反應釜(CSTR)是聚合物生產過程中廣泛使用的生產設備，在染料、試劑、醫藥、食品以及合成材料等工業中占有重要地位。由于CSTR具有嚴重的非線性，常規控制方法難以取得令人滿意的效果。因此，對CSTR采用更為先進的控制技術成為工程應用的研究熱點。

預測控制算法在工業生產中得到普遍認可，其中使用最廣泛的是動態矩陣控制(DMC)算法［1］。該算法采用工程上易于測取的有限長度階躍響應序列作為預測模型，算法簡單，計算量小，動態控制用符合實際工業特點的帶約束二次優化命題來描述，對模型要求低，控制綜合質量好，在線計算方便。該算法能顯著提高非線性系統的控制質量，適合控制CSTR。

但是DMC自身存在一定的局限性。首先，在整個預測時域內，反饋校正是通過假設有1個固定的輸出干擾而得到的［2］。雖然這種方法能夠做到無靜差控制，并且容易實現，但是缺乏對不可測擾動動態特性的提前預估，抗不可測干擾效果較差［3］。文獻［4］指出，DMC的設定值跟蹤效果優于PID控制，但在抑制不可測擾動方面不如PID控制。其次，DMC的多步預測和滾動優化雖有克服建模誤差影響的能力，但對模型失配的魯棒性有一定局限性，仍需要較準確的模型［5］。

本文使用在穩態工作點的線性化CSTR模型設計DMC控制器，在用Kalman濾波器估計出不可測擾動的大小后，采用前饋補償控制方法對其進行控制，有效地抑制了擾動對系統的影響，提高了控制品質。本文方法具有較好的擴展性，可以很輕易地應用到其他控制系統中，并且對抑制由于擾動引起的動、靜態偏差快速有效，具有較強的魯棒性和干擾抑制能力。

1 CSTR過程

CSTR是一類典型的化工反應非線性過程，動態方程為［6］:

其中:CA和Tr分別是反應物的濃度和溫度;Tc是冷卻劑溫度。根據文獻［6］，將式(1)無因式化后得到

其中:x1、x2分別表示無因式化后的反應物濃度和溫度;u表示無因式化后的冷卻劑溫度。過程控制的目標是操作冷卻劑流量來調節反應物溫度x2。

2 不可測擾動抑制方法設計

2.1 不可測擾動的建模與估計

DMC和卡爾曼濾波器采用式(2)表示的線性化離散化模型。取過程參數Da=0.072，φ=20，Bh=8，β=0.3，穩態工作點=y0=1.33=(x10，x20)=(0.2，1.33)=u0=0.421，采樣時間0.6 s。將方程(2)在平衡點線性化、離散化，得:

其中:

容易得到式(3)對應的離散卷積模型

其中，脈沖響應系數h(i)是在k=0時刻系統輸入端加入幅值為1、寬度為0.6 s(采樣周期)的脈沖后，系統輸出的各采樣時刻的值。可通過

得到DMC的階躍響應系數sk。

批次不同的化工物料的密度、濃度和比熱等屬性會存在不同。反應物料的性質變化會導致CSTR的反應過程表現出變化的放熱特性［7］，而這種變化的特性是不可測的。此外，CSTR的線性化過程也導致式(2)和式(3)之間存在偏差。本研究引入輸入干擾d、輸出干擾p來代表各種因素對系統的影響，并將干擾視為附加的狀態變量增廣到系統中［2］，則帶有不可測干擾的CSTR模型為

其中 Gp決定狀態對輸出影響，通常取 Gp=I［2］。令

則帶有不可測干擾的CSTR模型為

考慮實際生產過程中的噪聲，使用如下的帶有過程噪聲w和觀測噪聲v的模型:

此處，對有噪聲和無噪聲模型采用了同樣的符號，但要注意區別。擴展狀態的估計可使用卡爾曼濾波得到:狀態濾波增益

被分解為過程模型狀態濾波增益K1(k+1)、輸入擾動濾波增益K2(k+1)和輸出擾動濾波增益K3(k+1)，每個周期的增益由下式得到:

其中Q和R分別為過程噪聲協方差陣和觀測噪聲協方差陣。利用卡爾曼濾波器在每個采樣周期估計出d和p的大小后進行前饋補償，消除干擾對系統的影響。

2.2 前饋控制器設計

2.2.1 具有前饋補償的DMC算法

一般情況下，文獻［8］中的第1種DMC算法不能保證穩態誤差。本文設計的具有前饋補償的DMC算法正是基于這種DMC算法的，數學符號的意義請適當參考文獻［8］。

由疊加原理可知，操作變量和干擾對系統輸出的影響是相同的，因此可將估計出的值加到DMC算法的預測、校正環節，從而改變即時控制增量，實現干擾的抑制。具體推導過程如下:

在時刻k，未來P個時刻的模型輸出預測值為

P為預測時域，M為控制時域，其中

為假設當前和未來時刻控制作用不變時的輸出預測值，N為模型長度。采用前饋后，系統輸入為

其中:um(k)為操作變量產生的輸入;^d(k)為卡爾曼濾波器估計出的干擾值。由式(5)、(6)可得

其中:

式(8)、(9)分別為假設當前和未來時刻控制作用不變時操作變量和干擾產生的輸出預測值。

另記

其中:

ym(k)、yn(k)分別為操作變量和干擾產生的輸出，且:

用式(10)來校正未來的輸出預測。記:

由式(7)、(10)、(13)可得

其中:

分別表示假設當前和未來時刻控制作用不變時操作變量和干擾產生的輸出預測值經過校正后的值。將式(15)寫成矢量形式有

其中:

將經式(13)、(14)校正后的輸出預測值寫成矢量形式:

其中

A為動態矩陣，是由式(4)的階躍響應系數sk組成的P×M陣。

采用性能指標

優化Δu(k)，使J(k)取極小值的Δu(k)可以通過極值必要條件dJ(k)dΔu(k)=0求得，且由式(14)有

2.2.2 輸出干擾的前饋控制器設計

其中y'(k)為受到干擾p影響的輸出。由式(10)、(18)可知，減去后，輸出誤差變為

由式(13)、(14)、(19)可知，新的輸出誤差值ˉε(k)在反饋校正環節扣除了干擾對輸出的影響，從而構成新的輸出預測值，達到克服干擾的目的。

3 仿真研究

根據線性化模型(3)設計DMC控制器，各參數為:模型長度N=50;優化時域P=16;控制時域M=2;誤差權矩陣控制權矩陣0.01I2×2;誤差校正系數

Kalman濾波器相關參數為:過程噪聲協方差Q=2×10-3;觀測噪聲協方差R=2×10-3，初始協方差陣P0為4行4列的單位矩陣。控制目標是 x2=1.33。

圖2中曲線2為模型(2)的輸出響應曲線，采用卡爾曼濾波器后未使用前饋補償，溫度x2受干擾影響后不能達到設定值1.33。將式(2)右邊乘以0.9作為系統的控制對象并采用前饋補償，輸出響應曲線3完全達到預期控制目標，實現了無靜差控制。可見，具有前饋補償的DMC算法能克服不可測干擾和模型失配對系統的影響。

在實際生產中，不同生產階段采用不同的物料，不可測干擾會發生變化，如果干擾變化緩慢，同樣可以采用前饋補償對其進行抑制。

圖1 恒值不可測干擾

圖2 不可測恒值干擾抑制效果對比

圖4給出了原DMC算法和改進的DMC算法在系統存在非恒值不可測干擾時CSTR的輸出響應。從圖中可看出，改進的DMC算法完全抑制了不可測干擾對系統的影響，實現了無靜差控制。由于化工系統復雜多變，因此對非恒值不可測干擾的抑制具有很強的實際意義。

圖3 非恒值不可測干擾

圖4 不可測非恒值干擾抑制效果對比

4 結束語

本文以CSTR的溫度跟蹤問題為研究對象，針對不可測干擾和模型失配對輸出影響規律未知的情況，以干擾模型為基礎，設計了一種基于卡爾曼濾波器的前饋補償DMC算法。由于卡爾曼濾波器和預測控制器都采用線性設計方法，因此該算法在線計算量少，滿足控制實時性的要求，同時有效克服了不可測干擾和模型失配對CSTR系統輸出的影響，改善了溫度跟蹤的精度，實現了無靜差控制。仿真結果表明，該方法具有較強的干擾抑制能力和魯棒性，能顯著提高DMC的控制性能。

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