基于MATLAB／Simulink的輪胎對路面的動態作用力分析＊

朱云升 向會倫

（武漢理工大學交通學院 武漢 430063）

行駛在路面上的車輛輪胎施加在路面上的荷載是不斷變化的載荷［1－2］，即動荷載.主要受到路面平整度和車輛懸架與輪胎參數等的影響［3］.因此，在進行路面力學響應分析時，為了能夠更準確的分析路面的力學響應，必須采用動態荷載形式.但是，由于路面不平度隨機性，不能用一個確切的函數表達，使得輪胎作用于路面的作用力不能用一個確切的函數表示.本文利用MATLAB／Simulink來仿真路面不平度，并結合結構動力學原理，仿真輪胎對路面的動態作用力.

1 輪胎－路面耦合動力模型

目前車輛與路面的動力模型很多，主要有2自由度汽車模型；4自由度、5自由度模型和7自由度、17自由度的整車模型［4］.由于對路面力學響應進行研究，只需要求得由于路面不平度引起的動載荷對路面力學響應的影響，因此本文采用1／4車的2自由度模型，模型只考慮懸架系統和輪胎的豎直向運動，忽略了各質量塊繞各軸的轉動，見圖1.

圖1 2自由度車輛模型

圖中：m為懸架以上部分的汽車的質量；m0為輪胎的質量；k1，c1分別為車輛懸掛系統的剛度和阻尼；k2，c2分別為輪胎的剛度和阻尼；y1（t），y2（t），y3（t）分別為車身位移、輪胎位移和路面表面波動方程，為簡化起見，下文的推導中都簡寫為：y1，y2，y3.根據拉格朗日原理（Lagrange Principle），即可求得2自由度模型的動力模型.

系統的動能為

系統的耗散函數為

系統的勢能為

根據拉格朗日原理［5］

可得動力車輛的動力方程為

本文選取的車型為現行規范規定的標準車型黃河JN－150，根據文獻［6］標準車型的懸掛系統的質量m為4 500kg，車輪的質量m0為500kg.

2 模型的參數確定

2.1 懸架系統參數確定

根據文獻［7］，汽車的懸架剛度與車身的垂向振動頻率以及懸掛質量有如下的關系

式中：g為重力加速度；G為懸架的重力，N.

貨車的車身垂直振動頻率為f＝1.5～2.2Hz，因為本文所選的黃河JN－150屬于中型貨車，所以選取中值，即f＝1.85Hz.由式（6）可得k1＝0.61×106N／m.

本文中所采用的阻尼器為線性阻尼器，根據結構動力學可知，阻尼的大小可以用相對阻尼來ζ評價

由于不同剛度和不同質量的懸架系統匹配時會產生不同的阻尼效果影響汽車行駛的平順性.對于無內摩擦的彈性懸架，取ζ＝0.25～0.35，對于有內摩擦的鋼板彈簧懸架，相對阻尼可取小些，后懸架的可以稍大些.所以本文取ζ＝0.3.聯合式（6）和式（7）即可得c1＝3.14×104N·s／m.

2.2 輪胎動力參數確定

輪胎的剛度包括徑向、側向、切向剛度，因為本文只考慮輪胎的豎向位移，故文中輪胎的剛度均為徑向剛度.對子午線來講，隨著車速的增加輪胎剛度k2增加是很小的（從0～100km／h，僅增加6%）［8］.所以完全可以用輪胎靜止時的剛度.根據文獻［6］，標準車型輪胎的剛度系數k2＝1.9×106N／m，阻尼系數c2＝3×103N·s／m.車輛動力學方程的基本參數見表1.

表1 車輛動力學基本參數

3 路面平整度的計算

3.1 路面不平度表達

路面的不平整性會引起行駛車輛的振動，從而產生動荷載.大量的試驗測量表明，路面不平度是具有零均值、各態歷經的平穩Gauss隨機過程［9］.根據《車輛振動輸入－路面不平度表示方法》GB7031－86，工程實際中通常用功率譜密度來描述路面的統計特性，路面不平度的功率譜密度需要擬合才能得到，其擬合表達式為

式中：n0為參考空間頻率，n0＝0.1m－1；Gy（n0）為路面不平度系數（參考空間頻率n0下的路面功率譜密度），取決于公路的路面等級，m2／m－1；w為頻率指數（雙對數坐標上斜線的頻率），決定路面功率譜密度的頻率結構，w＝2.

國標按路面的功率譜密度把路面由平整路面到粗糙路面依次分為A～H 8級，并規定了各級路面的路面平度系數值范圍及平均值，詳見國家標準.

3.2 路面不平度的計算

路面不平度用一個功率譜密度為有理函數形式的各態歷經正態平穩的隨機過程表示，記為［10］

該過程滿足

數學期望為

功率譜密度為

式中：n為空間頻率，波長λ的倒數（每m長度中包含的周期數），m－1；δ為路面高程的方差；β為自協方差衰減系數（擬合系數）.

滿足上述功率譜密度的路面，可利用白噪聲通過一階成型濾波器描述，其時間狀態的微分方程為

式中：w（vt）為白噪聲信號；v為車速.

式中：λ為波數；λ0為截止波數；Rc為與路面有關的系數.

文獻［11］基于有理數功率譜密度建立路面不平度的輸入模型為

式中：f0為下截止頻率；Gy0（n0）為路面不平度系數；w（t）為均值為零的白噪聲.

為與國標路面不平度8級分類標準對應，吳志成等人［12］將式（14）表達為

式中：y（t）為路面不平度位移輸入；v為車速；Gy（n0）為路面不平度8級分類標準中規定的路面不平度系數幾何平均值；w0（t）為協方差為1m2／s的單位白噪聲；γ為待定系數.

進一步通過調整白噪聲的功率，將路面不平度簡化為

因此利用式（16）僅需一個單位協方差白噪聲和路面分級標準中規定的路面不平度系數的幾何平均值，即可對路面分級標準規定的路面不平度進行時域模擬.

(5)配件的口徑一般與所安裝位置的管道管徑相同，但調節閥、減壓閥、平衡閥、安全閥等閥件要根據介質的溫度、流量、壓力等參數進行計算方可確定其口徑。

4 輪胎對路面的動態作用力計算

根據式（16）并參照文獻［12］即可利用MATLAB／Simulink中的仿真分析工具箱建立路面不平度的仿真模型，即可求出路面不平度.

由圖1，不難看出，考慮路面不平度后的車輛作用于輪胎的動荷載為

式中：以豎直向上為正向.

為了便于求解車輛作用于輪胎的動態力的求解模型，對式（5）進行變換，可得

令z1＝，z2＝，則＝，＝，將式（18）表達為t，y1，y2，z1，z2的函數

利用四階 Runge－Kutta法［13］解式（19）即可求得y1，y2.求解原理為

將式（15）求解出的y3和式（19）、式（20）求解出的y2代入式（17）即可計算出車輛作用于輪胎上的動態力.

本文利用 Matlab／Simulink［14］按照上述原理建立路面不平度的仿真模型，并在此基礎上建立作用于輪胎的動態作用力仿真模型，由于篇幅有限，模型圖省略.

5 算 例

現行國家標準按照功率譜密度，公路路面分為A～H 8個等級.其中：A級路面為新修建的路面；B級為在正常使用期的路面；C級為達到使用期的路面.所以本文主要研究A，B，C 3個等級的路面動載.根據國標，A，B，C級高速公路的路面平度系數的平均值為1.6×10－5，6.4×10－5，1.28×10－6m2／m－1.

我國現行規范限定高速公路行車的最大車速為120km／h，山區高速公路的一般設計車速為100km／h.高速公路上，貨車占很大比例，由于貨車性能以及道路狀況、超載等，致使貨車速度比高速公路設計車速低很多.現在，貨車的允許車速一般為75～100km／h［15］.為使研究結果具有普遍性，選用計算車速為85km／h（即23.6m／s）.

圖2 B級路面不平度的仿真結果

圖3 輪胎對A級路面的動態作用力

圖4 輪胎對B級路面的動態作用力

圖5 輪胎對C及路面的動態作用力

圖2 是B級路面的不平度仿真結果，圖3～5分別為輪胎對A，B，C級路面的動態作用力仿真結果.可以看出：（1）由圖2可知，路面不平整度是期望為零的各態歷經的平穩Gauss隨機過程，無法用一個確切的函數表達式去描述；（2）由圖3～5可以看出，車輪對路面的動態力不是靜態時恒定的50kN，而是不斷變化的隨機動態作用力，最大豎向荷載壓力明顯大于靜載作用力.也滿足各態歷經的平穩隨機過程，也無法用一個確切的函數表達；（3）隨著路面等級的下降，路面動態荷載作用表現更為明顯.波動的頻率和幅值都明顯增大，A級路面的最大豎向壓力達到了87.61 kN，達到了靜態荷載作用的1.75倍，B級路面的最大豎向壓應力為88.46kN，為靜態作用荷載的1.77倍，C級路面的最大豎向壓應力為93.57 kN，為靜態作用荷載的1.87倍.但是，3種路面的動荷載均值變化不大，均維持在53～54kN.

6 結 論

1）路面的不平整度是符合期望為零的各態歷經的平穩Gauss隨機過程，無法用一個確切的函數表達式來描述.

2）由于路面不平度的影響，形勢狀態下的車輛輪胎作用于路面的作用力并非是恒定不變的，而是均值大于靜載的不斷變化的隨機動態作用力.動態作用力的幅值明顯大于靜態作用力，在進行路面受力分析時，必須考慮這種動態作用的影響.

3）隨著路面等級的下降，路面動態荷載作用表現更為明顯.波動的頻率和幅值都明顯增大.

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