基于MATLAB／Simulink的輪胎對路面的動態(tài)作用力分析＊

朱云升 向會倫

（武漢理工大學交通學院 武漢 430063）

行駛在路面上的車輛輪胎施加在路面上的荷載是不斷變化的載荷［1－2］，即動荷載.主要受到路面平整度和車輛懸架與輪胎參數(shù)等的影響［3］.因此，在進行路面力學響應分析時，為了能夠更準確的分析路面的力學響應，必須采用動態(tài)荷載形式.但是，由于路面不平度隨機性，不能用一個確切的函數(shù)表達，使得輪胎作用于路面的作用力不能用一個確切的函數(shù)表示.本文利用MATLAB／Simulink來仿真路面不平度，并結合結構動力學原理，仿真輪胎對路面的動態(tài)作用力.

1 輪胎－路面耦合動力模型

目前車輛與路面的動力模型很多，主要有2自由度汽車模型；4自由度、5自由度模型和7自由度、17自由度的整車模型［4］.由于對路面力學響應進行研究，只需要求得由于路面不平度引起的動載荷對路面力學響應的影響，因此本文采用1／4車的2自由度模型，模型只考慮懸架系統(tǒng)和輪胎的豎直向運動，忽略了各質量塊繞各軸的轉動，見圖1.

圖1 2自由度車輛模型

圖中：m為懸架以上部分的汽車的質量；m0為輪胎的質量；k1，c1分別為車輛懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼；k2，c2分別為輪胎的剛度和阻尼；y1（t），y2（t），y3（t）分別為車身位移、輪胎位移和路面表面波動方程，為簡化起見，下文的推導中都簡寫為：y1，y2，y3.根據(jù)拉格朗日原理（Lagrange Principle），即可求得2自由度模型的動力模型.

系統(tǒng)的動能為

系統(tǒng)的耗散函數(shù)為

系統(tǒng)的勢能為

根據(jù)拉格朗日原理［5］

可得動力車輛的動力方程為

本文選取的車型為現(xiàn)行規(guī)范規(guī)定的標準車型黃河JN－150，根據(jù)文獻［6］標準車型的懸掛系統(tǒng)的質量m為4 500kg，車輪的質量m0為500kg.

2 模型的參數(shù)確定

2.1 懸架系統(tǒng)參數(shù)確定

根據(jù)文獻［7］，汽車的懸架剛度與車身的垂向振動頻率以及懸掛質量有如下的關系

式中：g為重力加速度；G為懸架的重力，N.

貨車的車身垂直振動頻率為f＝1.5～2.2Hz，因為本文所選的黃河JN－150屬于中型貨車，所以選取中值，即f＝1.85Hz.由式（6）可得k1＝0.61×106N／m.

本文中所采用的阻尼器為線性阻尼器，根據(jù)結構動力學可知，阻尼的大小可以用相對阻尼來ζ評價

由于不同剛度和不同質量的懸架系統(tǒng)匹配時會產(chǎn)生不同的阻尼效果影響汽車行駛的平順性.對于無內摩擦的彈性懸架，取ζ＝0.25～0.35，對于有內摩擦的鋼板彈簧懸架，相對阻尼可取小些，后懸架的可以稍大些.所以本文取ζ＝0.3.聯(lián)合式（6）和式（7）即可得c1＝3.14×104N·s／m.

2.2 輪胎動力參數(shù)確定

輪胎的剛度包括徑向、側向、切向剛度，因為本文只考慮輪胎的豎向位移，故文中輪胎的剛度均為徑向剛度.對子午線來講，隨著車速的增加輪胎剛度k2增加是很小的（從0～100km／h，僅增加6%）［8］.所以完全可以用輪胎靜止時的剛度.根據(jù)文獻［6］，標準車型輪胎的剛度系數(shù)k2＝1.9×106N／m，阻尼系數(shù)c2＝3×103N·s／m.車輛動力學方程的基本參數(shù)見表1.

表1 車輛動力學基本參數(shù)

3 路面平整度的計算

3.1 路面不平度表達

路面的不平整性會引起行駛車輛的振動，從而產(chǎn)生動荷載.大量的試驗測量表明，路面不平度是具有零均值、各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)Gauss隨機過程［9］.根據(jù)《車輛振動輸入－路面不平度表示方法》GB7031－86，工程實際中通常用功率譜密度來描述路面的統(tǒng)計特性，路面不平度的功率譜密度需要擬合才能得到，其擬合表達式為

式中：n0為參考空間頻率，n0＝0.1m－1；Gy（n0）為路面不平度系數(shù)（參考空間頻率n0下的路面功率譜密度），取決于公路的路面等級，m2／m－1；w為頻率指數(shù)（雙對數(shù)坐標上斜線的頻率），決定路面功率譜密度的頻率結構，w＝2.

國標按路面的功率譜密度把路面由平整路面到粗糙路面依次分為A～H 8級，并規(guī)定了各級路面的路面平度系數(shù)值范圍及平均值，詳見國家標準.

3.2 路面不平度的計算

路面不平度用一個功率譜密度為有理函數(shù)形式的各態(tài)歷經(jīng)正態(tài)平穩(wěn)的隨機過程表示，記為［10］

該過程滿足

數(shù)學期望為

功率譜密度為

式中：n為空間頻率，波長λ的倒數(shù)（每m長度中包含的周期數(shù)），m－1；δ為路面高程的方差；β為自協(xié)方差衰減系數(shù)（擬合系數(shù)）.

滿足上述功率譜密度的路面，可利用白噪聲通過一階成型濾波器描述，其時間狀態(tài)的微分方程為

式中：w（vt）為白噪聲信號；v為車速.

式中：λ為波數(shù)；λ0為截止波數(shù)；Rc為與路面有關的系數(shù).

文獻［11］基于有理數(shù)功率譜密度建立路面不平度的輸入模型為

式中：f0為下截止頻率；Gy0（n0）為路面不平度系數(shù)；w（t）為均值為零的白噪聲.

為與國標路面不平度8級分類標準對應，吳志成等人［12］將式（14）表達為

式中：y（t）為路面不平度位移輸入；v為車速；Gy（n0）為路面不平度8級分類標準中規(guī)定的路面不平度系數(shù)幾何平均值；w0（t）為協(xié)方差為1m2／s的單位白噪聲；γ為待定系數(shù).

進一步通過調整白噪聲的功率，將路面不平度簡化為

因此利用式（16）僅需一個單位協(xié)方差白噪聲和路面分級標準中規(guī)定的路面不平度系數(shù)的幾何平均值，即可對路面分級標準規(guī)定的路面不平度進行時域模擬.

(5)配件的口徑一般與所安裝位置的管道管徑相同，但調節(jié)閥、減壓閥、平衡閥、安全閥等閥件要根據(jù)介質的溫度、流量、壓力等參數(shù)進行計算方可確定其口徑。

4 輪胎對路面的動態(tài)作用力計算

根據(jù)式（16）并參照文獻［12］即可利用MATLAB／Simulink中的仿真分析工具箱建立路面不平度的仿真模型，即可求出路面不平度.

由圖1，不難看出，考慮路面不平度后的車輛作用于輪胎的動荷載為

式中：以豎直向上為正向.

為了便于求解車輛作用于輪胎的動態(tài)力的求解模型，對式（5）進行變換，可得

令z1＝，z2＝，則＝，＝，將式（18）表達為t，y1，y2，z1，z2的函數(shù)

利用四階 Runge－Kutta法［13］解式（19）即可求得y1，y2.求解原理為

將式（15）求解出的y3和式（19）、式（20）求解出的y2代入式（17）即可計算出車輛作用于輪胎上的動態(tài)力.

本文利用 Matlab／Simulink［14］按照上述原理建立路面不平度的仿真模型，并在此基礎上建立作用于輪胎的動態(tài)作用力仿真模型，由于篇幅有限，模型圖省略.

5 算 例

現(xiàn)行國家標準按照功率譜密度，公路路面分為A～H 8個等級.其中：A級路面為新修建的路面；B級為在正常使用期的路面；C級為達到使用期的路面.所以本文主要研究A，B，C 3個等級的路面動載.根據(jù)國標，A，B，C級高速公路的路面平度系數(shù)的平均值為1.6×10－5，6.4×10－5，1.28×10－6m2／m－1.

我國現(xiàn)行規(guī)范限定高速公路行車的最大車速為120km／h，山區(qū)高速公路的一般設計車速為100km／h.高速公路上，貨車占很大比例，由于貨車性能以及道路狀況、超載等，致使貨車速度比高速公路設計車速低很多.現(xiàn)在，貨車的允許車速一般為75～100km／h［15］.為使研究結果具有普遍性，選用計算車速為85km／h（即23.6m／s）.

圖2 B級路面不平度的仿真結果

圖3 輪胎對A級路面的動態(tài)作用力

圖4 輪胎對B級路面的動態(tài)作用力

圖5 輪胎對C及路面的動態(tài)作用力

圖2 是B級路面的不平度仿真結果，圖3～5分別為輪胎對A，B，C級路面的動態(tài)作用力仿真結果.可以看出：（1）由圖2可知，路面不平整度是期望為零的各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)Gauss隨機過程，無法用一個確切的函數(shù)表達式去描述；（2）由圖3～5可以看出，車輪對路面的動態(tài)力不是靜態(tài)時恒定的50kN，而是不斷變化的隨機動態(tài)作用力，最大豎向荷載壓力明顯大于靜載作用力.也滿足各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程，也無法用一個確切的函數(shù)表達；（3）隨著路面等級的下降，路面動態(tài)荷載作用表現(xiàn)更為明顯.波動的頻率和幅值都明顯增大，A級路面的最大豎向壓力達到了87.61 kN，達到了靜態(tài)荷載作用的1.75倍，B級路面的最大豎向壓應力為88.46kN，為靜態(tài)作用荷載的1.77倍，C級路面的最大豎向壓應力為93.57 kN，為靜態(tài)作用荷載的1.87倍.但是，3種路面的動荷載均值變化不大，均維持在53～54kN.

6 結 論

1）路面的不平整度是符合期望為零的各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)Gauss隨機過程，無法用一個確切的函數(shù)表達式來描述.

2）由于路面不平度的影響，形勢狀態(tài)下的車輛輪胎作用于路面的作用力并非是恒定不變的，而是均值大于靜載的不斷變化的隨機動態(tài)作用力.動態(tài)作用力的幅值明顯大于靜態(tài)作用力，在進行路面受力分析時，必須考慮這種動態(tài)作用的影響.

3）隨著路面等級的下降，路面動態(tài)荷載作用表現(xiàn)更為明顯.波動的頻率和幅值都明顯增大.

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