PID廣義預測控制在分子蒸餾中的應用

隋添翼， 李云鵬， 于歡歡， 張 洋， 許紅巖

（長春工業(yè)大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012）

1 概 述

廣義預測控制（Generalized Predictive Control）是20世紀80年代產(chǎn)生的一種新型控制方法，是預測控制中最具代表性的算法之一。通過在線辨識獲得模型參數(shù)，再利用模型參數(shù)實現(xiàn)多步預測和滾動優(yōu)化的自適應模型預測控制算法，由于其具有保持最小方差自校正控制的模型預測、最小方差控制、柔化作用、在線辨識等特征［1－2］，使GPC對建模誤差和外界干擾等未知因素具有很強的適應能力。為了獲得更好的控制效果，在目標函數(shù)中使用了控制增量序列，使它適用于大延遲、非最小相位以及非線性等過程。但是對于一些既含有較大建模誤差，又含有較大外界干擾的復雜工業(yè)控制過程，就會產(chǎn)生預測輸出與實際輸出相差甚遠等現(xiàn)象。另外，GPC也有在線計算量大、超調(diào)難以抑制等問題。

在工業(yè)過程控制中，PID控制應用最為廣泛，約占生產(chǎn)裝置控制回路總數(shù)的80%～90%，其控制器的控制規(guī)律為比例（P）、積分（I）和微分（D）。具有原理簡單、直觀易懂、魯棒性強、可靠性高、易于工程實現(xiàn)等一系列優(yōu)點。但是像在分子蒸餾提純五味子油生產(chǎn)中的真空度、蒸發(fā)溫度、薄膜厚度控制對象，它具有非線性、大慣性、純滯后等特點，容易引起系統(tǒng)超調(diào)和持續(xù)的振蕩，并且溫度、真空度控制對象的參數(shù)一般會發(fā)生較大的變化，加上對象模型參數(shù)隨工況參數(shù)的變化而變化，具有非線性、時變不確定性，因此，應用單一的PID控制很難達到精確控制的目的。

為使控制系統(tǒng)的反饋環(huán)節(jié)兼顧魯棒性和抗干擾能力，利用PID和GPC這兩種控制方法的優(yōu)點是改造目標函數(shù)，將廣義預測控制算法的性能指標構(gòu)造成PID形式，獲得一種能抑制超調(diào)的、具有PID結(jié)構(gòu)的預測控制算法。

通過分子蒸餾提純五味子油的實驗，說明了PIDGPC算法的控制性能，并分析了各PID參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。

2 分子蒸餾

2.1 分子蒸餾基本原理

分子蒸餾是一項國內(nèi)外正在進行工業(yè)化開發(fā)應用的高新液－液分離技術(shù)，它突破了常規(guī)蒸餾依靠沸點差分離物質(zhì)的原理，是在133．3×10－2～133．3×10－4Pa的高真空下進行分離操作的非平衡蒸餾過程，在此條件下蒸發(fā)面和冷凝面的間距小于或等于被分離物料的蒸氣分子的平均自由程，所以又叫短程蒸餾（Short－pathdistillation），其基本原理是利用不同種類分子逸出液面后，其平均自由程不同的性質(zhì)來實現(xiàn)分離的。分子蒸餾原理如圖1所示［3］。

液體混合物的分子沿著加熱板自上而下流動，當獲得足夠的能量時，輕、重分子就會從液面逸出而成為氣體分子。由于輕重分子的平均自由程不同，輕分子自由程比重分子的自由程要大，在大于重分子平均自由程而小于輕分子平均自由程處設置一冷凝面，使得輕分子不斷地被冷凝收集，重分子由于不能到達冷凝面而在氣相中飽和，并返回蒸發(fā)面沿蒸發(fā)面餾出，達到輕、重分離的目的［4］。

圖1 分子蒸餾原理示意圖

2.2 分子蒸餾的技術(shù)理論

2．2．1 分子平均自由程

一個分子在相鄰兩次分子碰撞之間所經(jīng)過的路程稱為分子運動自由程，在某時間間隔內(nèi)自由程的平均值稱為平均自由程［5］。設某一分子的平均速度為Vm，碰撞頻率為f，λm為平均自由程。則

由熱力學原理可知：

所以

2．2．2 蒸發(fā)速率

分子蒸發(fā)速率是衡量分子蒸餾設備工作效率的一個重要標志［6］，Lutisan對雙組分理想物系的刮膜分子蒸餾器內(nèi)的傳質(zhì)和傳熱情況進行數(shù)學建模。

根據(jù)Navier－stokes方程建立了在y方向上j表面的速度方程：

在忽略蒸氣相中分子間碰撞影響的情況下，得到總的蒸發(fā)速率方程：

2．2．3 熱分解

Hichman對分解概率給出以下公式［7］：

其中，停留時間取決于加熱表面長度、物料黏度、表明載荷和物料的流量，通過分解概率可以看出物料的熱損傷。

3 廣義預測PID控制器設計

3.1 廣義預測控制

隨著廣義預測控制（GPC）在工業(yè)過程控制中的廣泛應用，廣義預測控制的研究已成為當前自動控制工程界研究的熱點。GPC作為一種新型的遠程預測控制方法，集多種算法的優(yōu)點為一體，是一種通過在線辨識獲得模型參數(shù)，再利用模型參數(shù)實現(xiàn)多步預測和滾動優(yōu)化，并且保持最小方差自校正控制的模型預測、最小方差控制等原理基礎上而發(fā)展起來的一種自適應模型預測控制算法。其控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 GPC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3.2 基于CARIMA模型的廣義預測控制

用“被控自回歸積分滑動平均模型”來描述受到隨機干擾的對象［8］。

其中：

式中：y（k），u（t）——分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出；

Δ＝1－z－1；

｛ai｝，｛bi｝，｛ci｝——分別為A，B，C3個多項式的系數(shù)；

na，nb，nc——對應的階次；

A，B，C——向量。

為導出利用當前時刻k及以前的輸入和輸出數(shù)據(jù)預測k＋j時刻的j步導前輸出，引入一組Diophantine方程，并令C（z－1）＝1。

可得系統(tǒng)的j步預測輸出為：

修正后的最優(yōu)j步預測輸出為：

當預測步數(shù)j改變時，需要用遞推解法重新計算式（10）和式（11）。因為多項式Rj（z－1），Sj（z－1），Gj（z－1），Ej（z－1）的相關(guān)參數(shù)將于預測步數(shù)j一起變化。M為控制時域，當j＞M時，預測步數(shù)j取從1到P，則Δu（k＋j－1）＝0，可用下式計算其多步輸出的預測值：

由此可得，GPC的最優(yōu)控制率為：

式中：P——最大預測步數(shù)；

M——控制時域長度；

qj——輸出誤差加權(quán)系數(shù)，通常可以取為常量；

λj——控制量的加權(quán)系數(shù)，通常可以取為常量。

輸入的參考軌跡為yr（k＋j），可由下式求得：

由式（14），并將式（13）寫成矢量形式可得：

對式（15）進行關(guān)于ΔU（k）極小化運算可得：

3.3 PID型的廣義預測控制

PID型的廣義預測控制是指具有PID結(jié)構(gòu)的廣義預測控制，原始的GPC函數(shù)為：

輸出誤差可取為｛e（k＋j）｝，并令：

則可得性能指標為：

用Δ分別乘以式（19）的兩邊后可以得到：

求解下面的Diophantine方程：

取

可得：

由下式計算可得pj：

其中，G包括了Gj（z－1）系數(shù)。

修正式（19）的性能指標，可以得出其最優(yōu)控制法則：

取

用v除以式（25）的兩邊，計算后可得到：

因為：

并且由PID算法：

可以得出：

聯(lián)立式（29）和式（30）可以推出廣義預測控制的PID參數(shù)：

將推出的kc，TI和TD代入下式：

即可得輸出增量。具有PID結(jié)構(gòu)的廣義預測控制的系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 PIDGPC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

4 實驗仿真

仿真對象為刮模式分子蒸餾器，具有PID型的廣義預測控制與廣義預控制的仿真結(jié)果對比如圖4所示。

圖4 PID與PIDGPC比較

選取α＝0．8，λ＝5，Ki＝8，Kp＝12，Kd＝2。通過對PIDGPC的3個參數(shù)Ki，Kp，Kd的調(diào)節(jié)，可以看出，改進后的PIDGPC算法具有良好的動態(tài)性能，其對系統(tǒng)超調(diào)的抑制和保持穩(wěn)定性等方面都有了明顯的提高。

Ki，Kp，Kd的變化對系統(tǒng)性能的影響如圖5～圖7所示。

圖5 Ki對系統(tǒng)輸出的影響

圖6 Kp對系統(tǒng)輸出的影響

圖7 Kd對系統(tǒng)輸出的影響

圖5中，選取α＝0，λ＝5，Kp，Kd保持不變，分別為5和12。通過改變Ki的值可以看出，當Ki增大時，系統(tǒng)的超調(diào)增大，但是其動態(tài)性能和響應速度得到了提高。

圖6中，選取α＝0，λ＝1，Ki，Kd保持不變，分別為8和2。通過改變Kp的值可以看出，當Kp增大時，系統(tǒng)的超調(diào)增大，但是其動態(tài)性能和響應速度得到了提高，穩(wěn)定性下降。

圖7中，選取α＝0，λ＝1，Ki，Kp保持不變，分別為8和12。通過改變Kd的值可以看出，當Kd增大時，系統(tǒng)的動態(tài)性能和響應速度下降，但是其超調(diào)的抑制效果增強，保持系統(tǒng)穩(wěn)定性。

5 結(jié) 語

通過仿真結(jié)果研究發(fā)現(xiàn)，PIDGPC控制器具有廣義上的比例、積分、微分的結(jié)構(gòu)特征，其控制參數(shù)可以隨著控制對象狀態(tài)的變化而改變。有效地解決超調(diào)、跟蹤速度、魯棒性等問題，使系統(tǒng)更好地保持穩(wěn)定性，提高系統(tǒng)的控制品質(zhì)。

符號說明：

g——重力加速度，m·s－2；

Sj——液膜厚度，m；

V——y方向液體流速，m·s－1；

R1——蒸發(fā)器的半徑，m；

Xi1——組分i在蒸發(fā)器膜表面的摩爾分率；

P0i——組分i的飽和蒸氣壓，Pa；

Xi2——組分i在冷凝器膜表面的摩爾分率；

T1w——冷凝器的壁面溫度，K；

Rg——氣體常數(shù)，J·mol－1·K－1；

Mi——組分i的摩爾分率，kg·kmol－1。

［1］ 陳增強，車海平．具有比例積分結(jié)構(gòu)的廣義預測自校正控制器［J］．控制與決策，1994，9（2）：106－108．

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