測定空氣阻力系數新方法

嚴九洲， 楊 軍， 張懷作＊， 彭 飛， 譚萬云

（1．西南石油大學化學化工學院，四川成都 610500；2．西南石油大學理學院，四川成都 610500；3．中國海洋石油股份有限公司天津分公司，天津 300452）

0 引 言

關于空氣阻力系數的測定，在文獻［1］中雖然通過自由落體運動測定了多組數據求平均值的方法，求得了空氣阻力系數的大小，但是，數據的可靠性和精確程度無法得到保證。因為這種實驗方案沒有分析整個實驗裝置和方案的系統(tǒng)誤差，即使求得平均值依舊不能保證最后結果的準確性。而在文獻［2］中，雖然以單擺為模型來探求空氣阻力的影響，但也僅僅只對周期的變化作了測量，而完全沒有考慮到振幅的變化情況，也沒有對振幅的數據大小做出測量，暴露出了這種方案的局限性。因此，以單擺作阻尼振動為基礎，根據阻尼振動的振幅變化規(guī)律A＝A0e－βt求出空氣阻力系數的大小。

1 實驗原理

1.1 原理

由于單擺作阻尼振動，那么其振幅衰減規(guī)律滿足A＝A0e－βt，通過測量多組振幅隨時間的變化數據，然后借助于數據處理軟件SSPP非線性擬合得到阻尼系數β。阻尼系數β與空氣阻力系數k關系為：

式中：m——擺球的質量。

所以，空氣阻力系數：

由于單擺在運動過程中受到的阻力本身很?。?］，因此，排除其它干擾因素，減小實驗誤差就格外重要。

本實驗主要從3方面加以考慮：

1）單擺擺角大小的選擇；

2）振幅的精確測量；

3）系統(tǒng)誤差的分析。

1.2 條件的選擇與控制

1．2．1 單擺擺角大小的選擇

單擺的近似公式為：

若初始擺角較大，則由［4］：

式中：θ——幅角擺角。

可知振動的周期將隨角振幅的增大而增大，會造成時間t與振幅間的關系變得復雜。如果初始擺角太小，那么振幅也隨之變小，會造成振幅數值測量誤差的增大。因此，需要確定一個臨界擺角，使得單擺做阻尼振動的同時周期變化不太明顯，而且還要保證振幅數值測量的精確度。設擺長為l，擺線與豎直方向的夾角為θ，精確公式［5］為：

其中：

那么相對誤差為：

用Mathematics軟件計算得到不同擺角下的實驗相對誤差大小見表1。

表1 Mathematics誤差分析結果%

通過表1對比可以看出，要保證相對誤差不超過0．05%，那么α必須小于5°，但是，如果α≤4°，那么振幅將太小而不便于測量。因此，選擇α＝5°將能保證相對誤差較小，同時也便于測量振幅。

1．2．2 振幅的精確測量

由于單擺所受空氣阻力較小，其振幅隨時間衰減的并不明顯，采用常規(guī)的測量方案將無法得到空氣阻力系數的準確值，采用數碼相機錄下單擺在較長時間內振幅的值，并且借助于圖像處理軟件Flash MX來精確分析振幅隨時間的變化情況。

1．2．3 影響因素分析

1）懸線質量的影響：懸線質量對測量周期的系統(tǒng)誤差影響量為0．004 66，為10－3數量級，本實驗中對時間的精確度為0．01s，所以此因素可以忽略［6］。

2）擺球質量：影響量約為0．049 067ms。低于測量精度，可以略去［6］。

3）空氣浮力對測量周期的系統(tǒng)誤差影響量為：

遠低于實驗所要求的數量級，故可以略去［6］。

2 實驗方法和結果

2.1 實驗方法

1）測定單擺小角度下的振幅變化。調節(jié)好單擺的擺長和擺角，同時調整數碼攝像機的位置和放大倍數，使場景中能夠清晰地看到單擺的擺球，當擺球開始穩(wěn)定的擺動時，即用攝像機拍攝下一段單擺運動的錄像，約（300～500個周期）。74．4s時擺球的運動狀態(tài)如圖1所示。

圖1 74．4s時擺球的運動狀態(tài)

2）錄像拍攝好后，把錄像通過數據線復制到計算機的硬盤上。

3）修改flash中的播放速度，把12幀／s改為10幀／s，再把剛拍攝好的錄像導入到Flash MX中，導入方法如圖2所示。

圖2 SPSS軟件數據處理界面

4）以每40個周期為時間間隔，測量單擺振幅的值以及其對應的時間。

2.2 阻力系數的測定

1）將上一步驟中的數據采集，并輸入到數據處理軟件SPSS中，見表2。

表2 擺球振幅隨時間變化的數據

2）用表2中的擬合數據，擬合單擺的阻尼振動模型，擬合函數為：

式中：A——振幅值；

A0——初始振幅；

β——阻尼系數。

擬合后的函數圖像如圖3所示。

圖3 數據擬合后得到的函數圖像

擬合后的結果見表3。

表3 數據分析結果

表中：Mth為以e為底數的指數函數；Rsq為相關系數；β為所求阻尼系數的值，β＝－0．002 56。

在求得β的情況下，由于阻尼系數β與空氣阻力系數k之間存在函數關系：

式中：m——擺球的質量。

空氣阻力系數為：

3 實驗結果分析與對比

3.1 結果分析

可以通過數理統(tǒng)計中數據相關系數r的大小來分析實驗數據和理論數據之間的接近程度，同時，也可以分析實驗方案誤差的大小，相關系數公式［7］為：

式中：COV（X，Y）——協(xié)方差；

DX——變量X的方差；

DY——變量Y的方差。

時間和振幅的數據處理見表4。

表4 數據處理表格

由以上數據和計算公式可得相關系數

由于｜r｜＝0．981 6，滿足0．7≤｜r｜＜1，說明實驗值和理論值具有高度相關性［8］，因此這個數據是合理的。測量的阻力系數代表了物體的真實情況，同時也說明了實驗數據的可靠性，得到的實驗結果可信度較高。

3.2 與其它方法對比

3．2．1 解決了用流體力學無法求解低速運動物體所受阻力的不足之處

在流體力學中，有阻力系數k與振幅A的函數關系式：

式中：Cd——不同雷諾數下的空氣系數；

ρ——空氣密度；

A——初始振幅大小。

雷諾數Re與空氣系數Cd之間的函數關系如圖4［9］所示。

圖4 雷諾數Re與空氣系數Cd間的關系曲線

因此，要求得阻力系數k，必須要求得空氣系數Cd，也就是要知道雷諾數Re的大小。通過公式：

式中：ρ——空氣密度；

ν——擺球運動速度；

D——小球直徑；

η——空氣黏度系數。

代入相關數據可求得本實驗條件下的雷諾數為：

而通過圖4并不能準確得到此雷諾數下對應的空氣系數Cd，因此，用公式將無法準確計算出空氣阻力系數。而如果采用本實驗方案，以單擺阻尼振動為模型，將能夠很好地解決這些問題，從而解決了流體力學無法準確測量低速運動下空氣阻力系數的問題。

3．2．2 能夠求出在低速情況下任意不同速度時空氣阻力的大小

單擺作阻尼振動時滿足的位移時間函數為：

那么其速度和時間函數為：

其所受空氣阻力就可以得到阻力F與時間t的函數關系，那么，在求得阻尼系數β和空氣阻力系數k的情況下，就可以求得任何時刻擺球所受的阻力F大小了。其函數圖像由Matlab做出，如圖5所示。

圖5 空氣阻力F與時間t的函數關系曲線

由圖5可以看出，阻力F隨時間t滿足一定的周期性變化規(guī)律，這與實驗分析中阻尼振動的速度v呈周期性變化而導致空氣阻力F也呈周期性變化的規(guī)律相一致。

4 結 語

實驗通過數碼相機研究單擺振幅的衰減規(guī)律，得到了較為準確的空氣阻力系數，解決的流體力學無法測量低速情況下空氣阻力系數的不足。同時，還能夠得到低速情況下任意速度時空氣阻力的大小。這些實驗方法對于測試空氣阻力的相關性質有一定的參考價值，另外，此實驗方法成本低，便于推廣。

［1］ 梁冰，甘皓元．在實驗室中利用自由落體測定空氣阻力系數［J］．百色學院學報，2009，22（6）：58－60．

［2］ 李華剛，石智偉．光電法在單擺實驗中的應用［J］．科技創(chuàng)新導報，2011（4）：185．

［3］ 葉慧群．單擺周期近似解法綜述［J］．浙江師范大學學報：自然科學版，2004，27（3）：246－249．

［4］ Asia T，Alaska T，Hake S．The physics of football［J］．Phys．World，1998，11（6）：25－27．

［5］ 叢春梅，曲波，劉慧力，等．制動摩擦副摩擦特性分析［J］．長春工業(yè)大學學報：自然科學版，2006，27（4）：382－386．

［6］ 陳大學．高階非線性中立型微分方程的振動性［J］．湖南師范大學學報：自然科學版，2006，29（1）：2－5．

［7］ 王惠明，莊表中，李振華．關于有阻尼系統(tǒng)中的阻尼與應用［J］．振動與沖擊，2010，29（5）：1．

［8］ 金楚華，徐之庭，羅交晚．帶阻尼項的二階線性微分方程的振動判據［J］．華南理工大學學報：自然科學版，2005，33（6）：99－102．

［9］ Green I Risen．Beckham as physicist［M］．［S．l．］：Physics Education，2001．