六自由度并聯機床逆解方法

2012-07-09 01:44:38栗英杰劉鐵軍楊兆海潘春祥

長春工業大學學報 2012年2期

栗英杰，孟炎，劉鐵軍，楊兆海，潘春祥

（1．空軍航空大學，吉林長春 130022；2．大唐國際發電股份有限公司下花園發電廠設備部，河北張家口 075300）

0 引言

六自由度運動平臺由于有剛度大、承載能力強、結構簡單、運動負荷小等特點［1－3］，能實現包括仰俯、橫滾、升降等多個自由度運動［4］，上世紀90年代，該機構被用于并聯機床設計上，一些機床樣機相繼在美、日、俄、中等國問世，我國機床行業正面臨著新的機遇和挑戰［5］。同時，利用六自由度并聯機床的運動機構，借助動力學建模和仿真手段制造各種飛行、艦船及車輛駕駛模擬器已成為飛行員和駕駛員進行模擬訓練的有力手段［6－7］。因此，對六自由度并聯機床的運動特性進行深入探討具有十分重要的理論價值和廣泛的市場前景。

1 運動平臺的位置逆解

六自由度并聯機床結構如圖1所示。

圖1 六自由度并聯機床結構

六自由度并聯機床的運動機構是由6個液壓缸通過虎克鉸將定、動兩個平臺連接而成，下平臺固結于地面，利用6個液壓缸的伸縮運動，完成上面動平臺在空間的6個自由度（X，Y，Z，α，β，γ）運動，來模擬出各種機械運動實體在空間的運動姿態，在已知6個姿態變量的前提下，求6根液壓缸的伸長量的方法叫位置逆解算法［8］。此運動平臺的空間自由度計算采用Kutzbach Grubler公式［9］：

式中：M——平臺的空間運動自由度；

n——運動平臺的總構件個數；

g——平臺中的運動副數；

fi——第i個運動副的相對自由度數，代入本機構相關數據，平臺整體的自由度為6。

由圖1可見，動坐標系O′X′Y′Z′固結于上平臺，固定坐標系OXYZ固結于下平臺，則上平臺的空間運動可看作隨動坐標原點O′沿定坐標系OXYZ3個軸方向上的平動（X，Y，Z）和繞動坐標系3個軸的轉動（α，β，γ）的合成運動。設上平臺繞動坐標系3個軸轉動的歐拉角定義為依次繞Y′軸旋轉β，再繞Z′軸旋轉γ，最后繞X′軸旋轉α。根據設計，下平臺各鉸點A1，A2，…，A6相對于固定坐標系的坐標（XA1，YA1，ZA1），（XA2，YA2，ZA2），…，（XA6，YA6，ZA6）和上平臺各鉸點a1，a2，…，a6相對于動坐標系的動坐標，…為已知，如果求出各個時刻上平臺各鉸點在固定坐標系OXYZ下的坐標（Xa1，Ya1，Za1），（Xa2，Ya2，Za2），…，（Xa6，Ya6，Za6），運用兩點間距離公式便可以求出L1，L2，…，L6。

當上平臺坐標原點O′平移（X，Y，Z），并按上述順序繞坐標軸旋轉（α，β，γ）后，以鉸點ai為例，其靜坐標（Xai，Yai，Zai）可由矩陣表示：

從而可以求出油缸的長度為：

由此可得各液壓缸的伸長量為：

式中：li0——各個液壓缸的初始長度。

2 平臺的運動限制

由式（3）計算出任一油缸長度后，若沒有超出油缸的最短長度極限和最長長度極限，從理論上便可標出工作空間邊界，然而在實際上，除了要考慮桿長的限制外，還要考慮球鉸鏈旋轉角度的限制。球鉸鏈固定在上下臺面上，在運動過程中，其轉角θ是有限制的，球鉸鏈的轉角如圖2所示。

圖2 球鉸鏈的轉角

在固定坐標系OXYZ下，第i個油缸方向矢量為Li，則其單位矢量為：

設上、下平臺的單位法向量分別為nb和nB，則機構中任一油缸與兩臺面法向的夾角θbi和θBi，轉角約束如圖3所示。

圖3 轉角約束

則有：

因此，要增大機構的運動空間，可以適當增大θBmax和θbmax。

3 具體算例

根據上述計算方法，選擇如下機構作為算例：動平臺所在圓半徑為600mm（i＝1，2，3，4，5，6）與X′軸的角度分別為：40°，80°，160°，200°，280°，320°。基礎平臺半徑距離為rb＝800mm，OAi（i＝1，2，3，4，5，6）與X軸的角度分別為：50°，90°，175°，195°，265°，305°，平臺高度H＝800mm。液壓缸活塞桿行程為400mm，缸筒直徑為50mm，活塞桿直徑為28mm。α＝10°，β＝10°，γ＝10°，A1a1桿伸長特性曲線如圖4所示。

從圖4可以看出，當t＝0．621～1．265s時，A1a1桿伸長量突然從零開始增加，故伸長速度有階躍性地增大。此后，伸長量線性增加，其曲線斜率保持不變，故伸長速度此時保持在0．058 262m／s不變。當t＝6．808～7．406s時，伸長量曲線以小斜率線性上升，可以看出，伸長速度此時降低到0．007 426m／s不變。最后，當t＝9．522s時，伸長量不再增加，故伸長速度降為零。以上說明伸長量和伸長速度的參數曲線在任一瞬時的響應都具有同步性。

上述計算值誤差小、精度高，與實際測量值基本吻合。