三次拋物線形渠道斷面收縮水深的簡化計算公式

王志云 滕 凱

（1.齊齊哈爾市水利工程質量與安全監督站，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.齊齊哈爾市水務局，黑龍江齊齊哈爾 161006）

由于拋物線形斷面具有良好的水流條件及力學性能，因此在城市供排水及水利水電工程中，工程設計部門常根據輸水流量及地質條件，將渠道斷面設計為半立方拋物線、二次拋物線或三次拋物線形式之一，因此相關拋物線形式的水力計算問題也逐漸引起了有關學者的重視[1～5]，其中關于半立方拋物線及二次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算已有相關研究成果[6～9]，而三次拋物線形斷面渠道收縮水深的計算研究則相對較少。

文獻[10]針對三次拋物線形渠道斷面收縮水深計算涉及高次方程的求解問題，棄用常規的計算過程繁復且成果精度不高的試算法及圖解法，從三次拋物線形斷面渠道收縮水深的基本方程入手，通過對初始迭代值的優化擬合，獲得了可直接完成求解的近似計算公式，具有一定的實際意義。但因該公式需分別完成中間參數及初值計算，求解過程仍顯繁瑣。

為了進一步簡化三次拋物線形斷面收縮水深的計算過程，本文采用優化擬合的方法，以標準剩余差最小為目標函數，獲得了一種表達式較為簡捷、計算精度較高的近似公式。

1 收縮水深的基本計算公式

收縮水深的基本方程為[11]：

式中：E0為以收縮斷面底部為基準面的過水建筑物上游總水頭，m；hc為收縮斷面處的水深，m；Q為過水流量，m3/s；g為重力加速度，m/s2；φ為流速系數；Ac為三次拋物線形斷面面積，m2。

三次拋物線形斷面的曲線方程為：

其過水斷面面積為：

將式（3）、（4）代人式（1），并設：

經整理即可獲得計算三次拋物線形斷面收縮水深的計算公式為：

2 近似計算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（6）為高次函數的超越方程，無法直接獲解。為避免利用式（6）的超越方程求解問題，現通過以下方法尋求其替代函數：

(1) 根據式（6）函數，展繪α～k關系曲線。

(2) 經對α～k關系曲線的線形分析，初步擬定以下函數為備選替代函數。

式中：A、B、C、x、β分別為待定系數及指數。

(3) 在工程實用范圍內[10]（即 0.01≤α≤0.5），采用優化擬合的方法，以標準剩余差最小為目標函數[12]即：

經對式（7）～（10）逐次逼近擬合[13]可知，式（10）的標準剩余差S最小，其替代函數式為

2.2 精度分析及比較

為比較式（11）與式（6）的擬合精度，考慮在工程實用范圍內（即 0.01≤α≤0.5， 2.59≤k≤100.38），取不同的iα值即可由式（6）分別計算出與之相對應的ki，再將ki代入式（11）求得與之相對應的αi′，并由下式完成式（11）替代式（6）的擬合相對誤差，結果見表1。

表1 式（11）替代式（6）誤差計算結果

由表1可見，在工程實用范圍內。

用式（11）替代式（6）的最大擬合相對誤差：

式（11）具有較好的擬合替代精度。

表2 拋物線均勻流水深公式形式、最大相對誤差比較

通過對公式形式比較可見，本文公式較文獻[5]公式更加簡單，計算過程也更加簡捷。具體比較結果見表2所示。

3 應用舉例

選文獻[5]計算實例：已知閘前斷面總水頭E0=15m，通過流量Q =162 m3/s，流速系數φ=0.95，若采用三次拋物線形斷面渠道，其斷面曲線方程為

求閘后斷面收縮水深hc。

將已知參數代人式（5）可求得

將k =5.4306代人式（11）即可求得

本例收縮水深的精確解為hc=3.00m，本文公式計算成果的相對誤差為0。

4 結 語

通過優化擬合的方法完成了對三次拋物線形渠道斷面收縮水深計算公式的擬合，獲得了表達形式簡單、求解精度較高的計算公式，經誤差分析及實例計算表明，在工程實用范圍內，本文公式的最大相對誤差為0.46% 。

[1]魏文禮,楊國麗.立方拋物線渠道水力最優斷面的計算[J].武漢大學學報：工學版,2006,(3)∶49-51

[2]張志昌,劉亞菲,劉松艦.拋物線形渠道水力最優斷面的計算[J].西安理工大學學報,2002,18（3）：235-237

[3]明萬才,黃開路,張曉蓮.立方拋物線形斷面明渠水力計算探討[J].水利科技與經濟,2002,8（2）：74

[4]文輝,李鳳玲.立方拋物線形渠道水力計算的顯式計算式[J].人民黃河,2010，（1）：75-76

[5]趙延風,王中正,方興等.半立方拋物線形渠道正常水深算法[J].排灌機械工程學報,2011,2（3）：241-245

[6]文輝,李風玲.立方拋物線斷面渠道收縮水深的直接計算方法[J].人民長江,2009,40（13）：58-59

[7]文輝,李風玲.拋物線形斷面渠道收縮水深的解析解[J].長江科學院院報,2009,26（9）：32-33

[8]蘆琴,王正中,任武剛.拋物線形渠道收縮水深簡捷計算公式[J].干旱地區農業研究,2007,25（2）∶134-136

[9]趙延風,宋松柏,孟秦倩.拋物線形斷面渠道收縮水深的直接計算方法[J].水利水電技術,2008,39（3）∶36-37

[10]冷暢儉，王中正.三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算公式[J].長江科學院院報,2011,28（4）∶29-31,35

[11]清華大學主編.水力學（修訂本）上冊[M].北京∶清華大學出版社,1990

[12]王慧文.偏最小二乘回歸法及其應用[M].北京國防工業出版社,1999

[13]閻鳳文.測量數據處理方法[M].原子能出版社,1988