孤子精確求解方法淺論

新鄉學院物理系 陳澤章

在線性理論日臻完善的今天，非線性科學已經成為了各個研究領域的研究焦點[1]。在非線性科學中，孤立子理論有著非常重要的位置。它在量子場論、粒子物理、凝聚態物理、流體物理、等離子體物理和非線性光學等物理學的各個分支及數學、生物學、化學，通信等各自然科學領域得到了廣泛的應用，也極大地促進了一些相關數學理論的發展，因此引起了科研者對可積系統研究的極大興趣。

1.孤立波和孤立子

1834年，從愛丁堡到格拉斯哥的運河里一只正在行駛的船突然停止了前進，這時英國科學家Russell恰好觀察到運河中被船推動的水并沒有停止，反而以洶涌翻騰的狀態聚集在船頭，接著便以巨大的速度滾滾向前，且保持著巨大的輪廓分明的光順孤立的峰狀外形。他騎著馬跟蹤了一至兩英里，在運河的拐彎處，這種孤立行進的水峰才終于消失。Russell認識到這種水波現象是具有關鍵性質的新現象、新事物，隨后進行了更加細致的研究，在實驗室作了很多實驗，用多種方法激發，也觀察到了同樣的現象。他稱這種波為孤立波(Solitary wavc)。然而由于受限于當時的數學理論和科學水平，Russell未能從流體力學出發給孤立波以合理的理論解釋。

直到1895年，兩位荷蘭科學家科學家Kortweg與de Vries用一波動方程對孤立波現象進行完整的理論分析后，在長波近似和小振幅的假定下，建立了單向運動淺水波的非線性淺水波方程，即著名的KdV方程:

他們從方程中求出了與Russell描述一致的，即具有形狀不變的脈沖狀的孤立波解，從而在理論上證明了孤立波解的存在，孤立波的形成原因才得到了合理的理論解釋[2]。然而，這種波是否穩定，兩個波碰撞后是否變形？這些問題卻長期沒有得到解答。以至于有些人懷疑，既然方程(1)是非線性偏微分方程，解的疊加原理不再成立，碰撞后解的形狀很可能破壞。持這種觀點的人認為這種波不穩定，因而研究它沒有什么物理意義，于是關于孤立波現象的研究與KdV方程又被默默地遺忘了幾十年。

直到1955年，在美國阿爾莫斯國家實驗室，著名物理學家費米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和烏萊姆（U.Slam）發現在流體力學以外的其他的物理領域中也存在象Rusell描述的這種孤立波，才又掀起了這一領域研究熱潮。

為了從數值實驗上驗證統計力學中的能量均分定理，他們數值計算了用非線性彈簧聯結的64個質點組成的弦的振動。按照能量均分原理，如果只對少數質點進行激發，由于弱的非線性相互作用，經長時間以后，初始的激發能量應有漲落地均衡的分布到每個質點。然而計算結果卻大大出乎人的意料，長時間以后能量幾乎全部回到了初始集中在少數質點上的狀態。這個結果預示著這個非線性系統可以出現孤立波。這就是著名的FPU問題。隨后1965年，美國數學家采布斯基(Zabusky)與克魯思卡爾(Kruskal)，從連續統一體的觀點來考慮把FPU的非線性振子系統的能量不均分問題與KdV方程聯系了起來。他們還是采用數值模擬的方法，對KdV方程兩個波速不同的孤波解進行了研究。設有同向行進的兩個孤立波，波幅較高在后的孤立波，逐漸趕上前面幅度較低的孤立波，令人驚奇的是兩個孤立波相遇后并沒有湮沒，反而很好地分離開來并且仍然保持著各自原來的形狀和速度繼續前進。這說明孤立波不僅非常的穩定而且還具有類似粒子碰撞的不變性質。據此Kruskal和Zabusky便引入了“孤立子(Soliton)”概念來描述一個非線性方程或非線性體系的任意解，著此解滿足：①可表示成一個固定形式的波；②是局部的、衰變的或在無窮大時變為常數；③可與其它的孤子進行強烈的相互作用，在相互作用后即使疊加原理成立其形式亦不會改變。此后人們發現，KdV方程在許多物理體系中都存在，并且除KdV方程外，其它的一些偏微分方程也有孤立波解，進一步說明孤立波是一種普遍存在的物理現象。

2.孤子精確解求解方法

到目前為止，我們可以常見的幾種典型孤波方程包括KdV方程、Sine-Gordon(SG)方程、Nonlinear-SchrSdinger(NLS)方程以及這些方程的各種修正形式。其中，KdV方程主要應用于淺水波中的表面波、等離子體中的電磁波與聲波、非簡諧的晶格振動等物理領域。SG方程主要應用于晶格位錯的傳播、鐵磁體中疇壁的運動、超導約瑟夫森結等領域．NLS方程主要應用在深水中的非線性波、電介質中強激光的自聚焦、超導等領域[3]。

孤立子理論的基礎便是求解上述各種非線性偏微分方程。近年來，非線性數學物理領域取得了很大的成就，其中之一就是發展了求非線性方程精確解，特別是精確孤子解的各種有效方法。接下來我們便以KdV方程(1)為例，簡要介紹幾種孤子精確求解的方法。

2.1 逆散射變換(inverse sacttering transformation)方法

這種方法被人們廣泛用來求解各類非線性系統的問題。其主要思路如下：首先對某個非線性偏微分方程引入一對相容的線性方程(又稱Lax方程)

其中方程(2)是L的本征值方程，λ和 Ψ =Ψ ( x, t,λ)分別是L的本征值和本征函數。如果λ獨立于時間t，相應的一對線性算子L和M(Lax對)滿足的相容條件為:

然后求解與Lax方程(2)和(3)相對應的逆散射問題，得到含有散射數據的逆散射方程。在無反射條件下，由方程的約斯特(Jost)解獲得孤子解．對于KDV方程(1)，Lax對被選為

不同的非線性方程有不同的Lax對，它們滿足的相容性條件是相應非線性方程的等價形式。這種方法在數學上具有很高的嚴性謹。將它用于許多非線性方程，都可得到單孤子、雙孤子和多孤子解，是較經典的孤子理論之一。然而，這種方法思路較迂回曲折，且Lax對本身就很難求得，尋找方法并無規律可循。

2.2 Hirota方法．

Hirota方法的關鍵在于引進雙線性算子(bilinear operator)，將非線性方程簡化為雙線性形式，然后結合其它簡單變換就可得到孤子解．例如，對KdV方程(1)引入合適的因變量變換將其帶到方程(1)，就得到相應的雙線性方程

其中雙線性算子被定義為

只要將φ按小量ε的冪級數展開，逐一求解各級方程，得到φ的級數解后，再代回(2.12)就可獲得孤子解。Hirota方法思路清晰，數學方法相對簡單，迄今為止，它已用于很多釋非線性方程，獲得各種孤子解，甚至包括一些特殊的孤子解。

這種方法是在尋找更多的非線性方程解的過程中發展來的．它主要包含兩個方面的變換：不同方程之間的變換和同一方程不同解之間的變換。前者的關鍵是要找到非線性方程與相應的線性方程的backlund˙變換方程，再由已知線性方程的解求非線性方程的解；后者的關鍵是尋找非線性方程的兩個解之間的backlund˙變換方程，由其中已知的解求未知的解。對于KdV方程(1)，令xvψ=可將KdV方程化為：

若0v和v均是它的解，則可得到相應的backlund˙變換為：

[1]王明亮.非線性發展方程和孤立子[M].蘭州:蘭州大學出版社,1982.

[2]俞慧友.孤子理論及其在玻色愛因斯坦凝聚中的應用[D].長沙:湖南師范大學,2009．

[3]李彪.孤立子理論中若干精確求解方法的研究及應用[D].大連:大連理工大學,2004．