時滯KdV-Burgers方程的行波解

李二強，李靈曉

(河南科技大學數學與統計學院，河南洛陽471003)

0 前言

考慮如下 KdV-Burgers方程［1－2］

方程(1)既包含非線性效應、耗散效應，又包含頻散作用，其中，α＞0為耗散系數;β＞0為頻散系數。由于耗散過程具有時滯或記憶作用的特征，要計及這種時滯或記憶作用，方程(1)將會得到相應的修正［3］。

事實上，若記

則方程(1)可改寫為守恒律的形式

其中F(x，t)稱為流量。

利用流量松弛方法來表現時滯或記憶作用，即在流量F(x，t)中添加一個松弛量［4］

即以

取代式(2)，這里的τ≥0是時間特征常數。用式(4)中的F1取代式(3)中的F后可得

方程(5)稱為時滯KdV-Burgers方程。

本文的目的是利用(1/G)-展開法［5－6］求解方程(5)和方程(1)，并對求得的解進行比較，以闡明時滯效應對于方程行波解的影響。

1 方程(5)與方程(1)的孤立波解

首先，引進行波變量

將式(6)代入式(5)并關于變量ξ積分一次，得u=u(ξ)的ODE

下面用(1/G)-展開法求式(7)的解。考慮u″與u2的齊次平衡，可設方程(7)的解為

其中，α1≠0;α0，λ 為待定常數。由式(8)易導出

將式(8)的第1式和式(9)代入式(7)可得關于α1、α0、λ、c和D的代數方程組

解得

利用方程G'+λG=1的通解

結合式(11)、式(8)和式(6)即得時滯KdV-Burgers方程(5)的兩組解:

(Ⅰ)若 τc2≠ α，

(Ⅱ)若 τc2= α，

其中，τc2≠α;ξ=x－ct+ξ0;c為任意常數。

此時，若時間特征常數τ=0，則式(15)和式(16)分別給出KdV-Burgers方程(1)的行波解

其中，ξ=x－ct+ξ0;c為任意常數。

方程(19)的周期波解為［7］

2 方程(5)與方程(1)孤立波解的比較

為作定性分析，把式(7)寫成等價方程組

(Ⅰ)當0≤τc2＜ α，δ＞0，△ ＞0時，方程組有兩個奇點，其中，E－為鞍點，E+為不穩定結點。方程組(22)唯一的有界解是連接鞍點E－和結點E+的異宿軌道，其相圖見圖1。由式(11)的第4式知

故式(15)表征的是時滯KdV-Burgers方程對應于鞍－結異宿軌道的沖擊波解(見圖2)，而式(17)表征的是KdV-Burgers方程對應于鞍－結異宿軌道的沖擊波解。

圖1 方程組(22)的相圖

圖2 時滯KdV-Burgers方程的沖擊波解

(Ⅱ)當τc2＞ α，δ＞0，△ ＞0時，方程組有兩個奇點，其中，E－為鞍點;E+為穩定結點。方程組(22)唯一的有界解是連接鞍點E－和結點E+的異宿軌道。

(Ⅲ)當τc2=α時，方程組(22)化為一個Hamilton系統。此時，若δ=0，方程組的唯一奇點(c，0)為退化奇點［9］，方程組(22)的所有解均無界。特別地，奇點的分界線對應于有理孤波解，它可以由式(14)給出。如果δ＞0，方程組(22)有兩個奇點，其中，E－為鞍點;E+為中心，其相圖見圖3。此時方程組(22)的有界解是對應于圍繞中心E+閉軌線的周期波解和對應于鞍點E－的同宿軌線的鐘狀孤波解。周期波解由式(20)給出，而鐘狀孤波解由式(21)給出(見圖4)。

圖3 τc2=α，δ＞0時方程組(22)的相圖

圖4 τc2=α時方程(5)的行波解

綜上所述，當時間特征常數τ與波速c的平方之積等于耗散系數α(即τc2=α)時，時滯KdVBurgers方程(5)出現了周期波解和鐘狀孤波解，而KdV-Burgers方程(1)沒有此類解。另外，注意到時滯KdV-Burgers方程(5)的有界解(15)的振幅為而KdV-Burgers方程(1)的孤波解(17)的振幅可見波速c與時間特征常數τ影響到振幅和波寬。具體地講，時滯KdV-Burgers方程(5)的孤波解(15)當振幅增加時波寬減小，反之振幅減小時波寬增加，而KdV-Burgers方程(1)的孤波解(17)的振幅與波寬和波速無關。

3 結論

利用流量松弛方法導出了時滯KdV-Burgers方程。用(1/G)-展開法求得了它們的行波解。結合定性分析，對所求的時滯KdV-Burgers方程及KdV-Burgers方程的行波解進行了討論。研究表明:當特征時間常數τ與波速c的平方之積等于耗散系數α(即τc2=α)時，時滯KdV-Burgers方程出現橢圓余弦波解和鐘狀孤波解，而KdV-Burgers方程沒有此類解。事實上，若將時滯KdV-Burgers方程(5)改寫為下列形式

易見，耗散項與時滯項的結合構成了線性波動方程τutt－αuxx=0。這樣時滯KdV-Burgers方程可以理解為一個KdV方程與一個線性波動方程的“疊加”，故當方程(23)行波解的波速c與波動方程的波速相同(即c2=α/τ)時，方程(23)的行波解就是KdV方程的行波解。從而時滯KdV-Burgers方程出現周期波解和鐘狀孤波解是可以預見的。另外，時滯效應的存在還影響到孤立波的振幅、波寬。

致謝:感謝王明亮教授給予熱情的指導與鼓勵。

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