四端介觀量子網絡中電子自旋的相干輸運性質

王會嫻，郝希平，康大偉

(河南科技大學物理與工程學院，河南洛陽471003)

0 前言

自旋電子學［1］的主要目的是調制納米器件中的電子自旋的自由度。人們在低維納米尺度的體系中發現，自旋在很多性能方面要比電荷更優越，例如，能耗低，退相干時間長等。由于電子自旋自由度可以推動信息工業的快速發展，所以近幾年自旋電子學成為非常熱門的研究課題。人們不但對自旋輸運的應用方面做了大量研究，而且也對支撐自旋輸運的量子理論方面做了大量研究。由于AB效應［2］的存在，通過調控外加磁場可以實現對介觀半導體材料中自旋輸運的相干操控。另外，自旋－軌道耦合互作用也能引起窄帶半導體中自旋向上電子和自旋向下電子的能級劈裂［3－7］，并且自旋－軌道耦合互作用可以使電子在閉合路徑中隧穿時獲得一個被稱為非亞貝爾相的量子相位。在低維介觀體系中，非亞貝爾相和AB相都能誘導破壞性干涉，引起電子局域［2，8］。

量子網絡中電子輸運性質的研究成為近幾年研究的熱點問題，這是因為電子在量子網絡中傳輸時表現出一些有趣的特征，例如，量子干涉，AB磁通與量子網絡幾何形狀之間的相互作用會引起電子的局域現象，自旋－軌道耦合互作用引起退局域現象等。文獻［8］研究了一維有限尺寸金剛石鏈中電子的輸運性質。研究表明:無論自旋－軌道耦合互作用，還是AB磁通都會引起電子完全局域，但同時存在自旋－軌道耦合互作用和AB磁通時，卻出現退局域現象。文獻［9］提出一維有限尺寸金剛石網絡自旋過濾器。另外，文獻［10］也觀察到了同時存在Rashba自旋－軌道耦合互作用和磁場的一維有限尺寸金剛石網絡中自旋退局域現象。一維有限尺寸金剛石網絡結構是兩端結構，它的靈活性不及四端網絡結構。文獻［11］研究了二維四端網絡中電荷電導和自旋電導的標度行為，該工作只考慮網絡中存在自旋－軌道耦合互作用，不涉及AB磁通的影響。

本文主要研究同時存在磁通和Rashba自旋－軌道耦合的四端介觀量子網絡中電子自旋的輸運特性。該量子網絡是一個由單通道量子線組成的正方回路在頂點連接而成的方系統，在量子線中電子的自旋運動和軌道運動互相作用，內部節點有4個配位數，外部節點連接到理想電極上。理想電極組成方系統的4個端，在4個端加上偏壓就可以測量系統的自旋電流。網絡中心的方格子中包圍一個大小為Φ的磁通。在這種情況下，電子在量子網絡中運動時會同時獲得非亞貝爾相和AB相。數值計算了自旋電導對自旋－軌道耦合強度和磁通的依賴關系，計算結果表明:該量子網絡中電子的相干傳輸是一種量子干涉和自旋進動的聯合效應。另外，四端結構中的一些端可以作為柵極控制其他端的自旋流，為調制自旋的相干輸運提供了更多的選擇。

1 模型和基本公式

四端介觀量子網絡模型如圖1所示。連接任意兩節點之間的鍵是具有Rashba自旋－軌道耦合互作用的單通道量子線，并且鍵長為L。網絡的四端分別與半無限長單通道量子線相連，這些半無限長單通道量子線上沒有Rashba自旋－軌道耦合互作用，它們作為電極，在上面加上偏壓就可以測量系統的電子輸運性質。計算中磁通Φ的表達式為，其中，Aαβ是鍵上節點α到節點β的矢勢，求和是對包圍磁通Φ的方格子的所有邊求和。當磁通分布一定時，可以選擇一個單標度，并根據磁通的表達式確定所有鍵上的矢勢。網絡的四端通過半無限長一維量子線連接到電子庫上，第i端第m通道中的化學勢用μim表示。所有鍵的材料相同，為了計算方便，取所有鍵上的勢能為0。

圖1 四端方網絡模型示意圖

其中，Aαβ和p分別是鍵上的矢勢和動量，其方向與鍵的方向相同;m*是電子的有效質量是垂直于網絡平面的單位矢量是泡利矩陣矢量;kSO是自旋 －軌道耦合強度，可以通過柵電壓來調控［12］。假設整個系統都存在相位相干，并且在計算中采取全量子機制處理，解方程(1)，可得該鍵上電子的本征波函數如下

可以利用式(3)計算系統的自旋電導，從而研究四端網絡中電子的自旋電導對約化磁通和自旋－軌道耦合強度的依賴關系。

其中，Rimσ';imσ是電子從第i端第m量子通道中自旋為σ'的子帶反射到第i端第m量子通道中自旋為σ的子帶中的反射系數;Ti'm'σ';imσ是電子從第i'端第m'量子通道中自旋為σ'的子帶隧穿到第i端第m量子通道中自旋為σ的子帶的透射系數;為第i端第m輸出通道中的自旋電導為第i端中總的自旋電導，滿足關系式，是量子輸運過程中電導的自然尺度。

式(3)可以由四端多通道Landauer-Büttiker式［13］推導出。歸一化自旋電導定義為gS≡GS/G0，第i端第m輸出通道中的歸一化自旋電導可寫為

為了計算系統自旋電導gSim，需要計算各個通道中的反射系數和透射系數。本文利用文獻［9］的方法計算反射系數和透射系數。從第i'端第m'量子通道注入一個自旋為σ'的電子，則第i端第m量子通道中自旋為σ的電子波函數為

其中，ti'm'σ';imσ(ri'm'σ';imσ)是電子從第i'端第m'通道σ'子帶透射(反射)到第i端第m通道σ子帶中的透射(反射)振幅;r是量子通道的測量坐標，坐標原點在端點;kin是入射波波矢的絕對值，它與能量之間的色散關系式為由網絡中每個節點處幾率流守恒和波函數連續可以得到一線性方程組系，解該線性方程組系就可以獲得固定輸入波函數下，該通道的反射振幅和其他通道的透射振幅。任意節點處波函數連續條件由方程(2)自動滿足。任意一個內部節點α，滿足的幾率流守恒條件為

其中，

對β求和是遍及所有與節點α最近鄰(NN)的節點β。與第i端第m量子通道相連接的外部節點γ的幾率流守恒條件為

其中，

這里，用方程(7)計算 Mγγ和 Mγβ。

由上面的幾率流守恒表達式可以看出:對于一個給定的入射波，通過系統所有節點的連接條件，整個系統的波函數可以唯一決定。從第i'端第m'通道入射自旋為σ'的電子波，由幾率流守恒條件，可以得到包括反射振幅，透射振幅和其他未知旋量在內的一套完全系線性方程組。解該線性方程組，可得透射振幅ti'm'σ';imσ和反射振幅ri'm'σ';imσ。對于不同的入射通道，重復上面的計算程序，即可得到式(4)中全部的反射系數和透射系數。

計算中，自旋－軌道耦合強度由無量綱參量kSOL表征，并取kin=kF。本文中的兩個特征長度標度為自旋進動長度1/kSO和de Broglie波波長1/kF。對于InAs量子線系統，自旋進動長度1/kSO可在0.064～0.450 μm 調 控［14］，此 時 網 絡 的 特 征 鍵 長 為0.01 ～1.00 μm。

圖2 自旋電導隨自旋－軌道耦合強度的變化

2 結果與分析

Φ=0時，自旋－軌道耦合強度對自旋電導的調控作用如圖2所示。第i(i=2，3)端第m通道中自旋電導隨自旋－軌道耦合強度的增加先增大后減小，并且在kSOL≈0.7時，自旋電導出現最大值。該結果表明:不存在磁場時，自旋－軌道耦合互作用也能誘導自旋霍爾效應，這與文獻［11］的結果一致。不同通道中自旋電導的值和方向不相同，與兩端結構相比，這種四端量子多通道結構有更好的靈活性。

kSOL=0.7時，自旋電導對約化磁通的依賴關系如圖3所示。自旋電導gS31，gS32和gS3分別與自旋電導gS22，gS21和gS2的大小相等，符號對應相反，這是由該網絡具有中心反演對稱性決定的。自旋電導隨約化磁通的變化而周期振蕩。當磁通改變時，單個通道中的自旋電導的方向雖然不發生改變，但它的大小發生變化。對任意磁通值，第i端每個通道中的自旋電導和第i端的總自旋電導都不為0，以上結果表明電子自旋不能被完全地阻塞在某個通道中，即使每個端所有通道作為一個整體，這種阻塞也是不完全的。這是因為每個通道中的破壞性干涉是不完全的。

自旋－軌道耦合強度kSOL不同時，第3端的自旋電導對約化磁通之間的依賴關系見圖4、圖5和圖6。整體而言，自旋電導對約化磁通的依賴關系與圖3相似，對于任意自旋-軌道耦合強度(kSOL一定)，自旋電導都隨約化磁通周期振蕩。自旋電導的最大絕對值和周期振蕩的振幅都隨著自旋－軌道耦合強度的減少而減小。這個結果表明網絡中電子自旋的相干輸運性質由磁通和Rashba自旋－軌道耦合共同決定。與作者以前的工作比較，還發現在具有AB效應的器件中，自旋－軌道耦合互作用對自旋電導的影響和對電荷電導的影響相反。

圖3 自旋電導隨約化磁通的變化

圖4 第3端第1通道中的自旋電導隨約化磁通的變化

圖5 第3端第2通道中的自旋電導隨約化磁通的變化

3 結論

研究了四端介觀量子網絡中的自旋電導對Rashba自旋－軌道耦合強度和約化磁通的依賴關系，網絡中電子自旋的輸運性質取決于磁通和Rashba自旋－軌道耦合之間的相互作用，但無論磁通和自旋－軌道耦合強度如何變化，該網絡中側端自旋輸運都不會出現阻塞效應。該輸運特性能為自旋電子器件的設計提供一些可能的方法。另外，這種結構中的一些端可以作為柵極控制其他端的自旋流。

圖6 第3端總的自旋電導隨約化磁通的變化

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