矩陣方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解

孫慶娟，郭文彬，王柄中

(聊城大學數學科學學院，山東聊城252059)

0 前言

矩陣方程是數值代數的重要研究領域。關于矩陣方程

的研究取得了不少進展。例如，1987年，文獻［1］利用廣義奇異值分解(GSVD)給出了矩陣方程(1)的極小范數解;1998年，文獻［2］利用標準相關分解(CCD)研究了該矩陣方程的最小二乘解;2006年，文獻［3］利用廣義奇異值分解(GSVD)和標準相關分解(CCD)研究了該矩陣方程的極小范數最小二乘解;2007年，文獻［4］利用Moore-Penrose廣義逆給出了該矩陣方程的對稱極小范數最小二乘解;2008年，文獻［5］利用矩陣的Kronecker積與廣義逆討論了該矩陣方程的矩陣極小范數對稱解，并給出了解存在的充分必要條件及解的表達式;2010年，文獻［6］利用構造迭代算法討論了該矩陣方程的對稱最小范數最小二乘解。

然而，文獻［1－8］中的方法用于解決矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解有一定的困難。因此，本文將利用Kronecker積、矩陣的拉直算子、Moore-Penrose廣義逆來研究矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解和對稱Toeplitz矩陣解的表達式，及其最小二乘解的一般形式。

1 基本定義

本文用?m×n表示全體m×n階實矩陣的集合，In表示n階單位矩陣集合。對于任意矩陣A，B∈?m×n，定義A與B的內積〈A，B〉=tr(BTA)，則由此內積所誘導出的范數是矩陣A的Frobenius范數。

定義 1［9］對于 n 階方陣 X=(xij)∈ ?n×n，存在一組數 x－(n－1)，x－(n－2)，…，x－1，x0，x1，…，xn－2，xn－1使得X的元素滿足xij=xj－i(i，j=1，2，…，n)，則稱X為Toeplitz矩陣，記作T(x－(n－1)，x－(n－2)，…，x－1，x0，x1，…，xn－2，xn－1)。全體 n 階 Toeplitz矩陣的集合記作 T?n×n。

定義 2 對于 n 階方陣 X=(xij)∈ ?n×n，存在一組數 x0，x1，…，xn－2，xn－1使得 X 的元素滿足

則稱 X 為對稱 Toeplitz矩陣，記作 ST(x0，x1，…，xn－2，xn－1)。全體 n 階對稱 Toeplitz矩陣的集合記作 ST?n×n。

定義 3［9］設 A ∈ ?m×n，B ∈ ?p×q，稱 A ? B=(aijB)∈ ?mp×nq為 A 與 B 的 Kronecker積。

定義 4 設 A=(aij)∈ ?m×n，記 ai=(a1i，a2i，a3i，…，ami)(i=1，2，3，…，n)，令

定義 6 當矩陣 X=ST(x0，x1，…，xn－2，xn－1)為 n 階對稱 Toeplitz矩陣時，令

2 矩陣方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解

引理 1［9］對于任意的矩陣 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?s×t，總有 vec(ABC)=(CT? A)vec(B)。

引理2 對X∈?n×n，則X∈T?n×n?vec(X)=PnvecT(X)，其中vecT(X)∈?2n－1由式(3)給出，

其中ei為n階單位矩陣In的第i列。

證明 如果X∈T?n×n，則由Toeplitz矩陣的定義可得

將等式兩邊拉直有

進一步可得

反過來，若 X ∈ ?n×n且 vec(X)=PnvecT(X)，則可得 X ∈ T?n×n。證畢。

引理3［9］設A∈?m×n，b∈?n，則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為AA+b=b，這時Ax=b的通解是x=A+b+(I－A+A)y，其中y∈?n是任意的。

引理4［9］設A∈?m×n，b∈?n，則不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解為x=A+b+(I－A+A)y，其中y∈?n是任意的。

下面給出矩陣方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解。

定理 1 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Pn如式(7)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(2)所定義，令W1=(BT?A)Pn，W2=(DT?C)Pk，則當(W1，W2)+(W1，W2)vec(E)=vec(E)時，矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解可表示為

其中y為適當維數的任意向量。

證明 設X、Y分別為矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解，則由引理2知

由引理3 知，AXB+CYD=E 有 Toeplitz解當且僅當(W1，W2)+(W1，W2)vec(E)=vec(E)，通解為

其中y為適當維數的任意向量。

其中y為適當維數的任意向量。證畢。

定理 2 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Pn如式(7)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(2)所定義，令W1=(BT?A)Pn，W2=(DT?C)Pk，則當矩陣方程(1)不相容時，滿足 AXB+CYD－E=min的最小二乘解的一般形式為

其中y為適當維數的任意向量。

證明 證明與定理1的證明類似，這里省略。

3 矩陣方程AXB+CYD=E的對稱Toeplitz矩陣解

引理5 對X∈?n×n，則X∈ST?n×n?vec(X)=KnvecST(X)，其中vecST(X)∈?n由式(5)給出，

其中ei為n階單位矩陣In的第i列。

證明 證明與引理2的證明類似，這里省略。

定理 3 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Kn如式(8)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(2)所定義，令U1=(BT?A)Kn，U2=(DT?C)Kk，則當(U1，U2)+(U1，U2)vec(E)=vec(E)時，矩陣方程(1)的對稱Toeplitz矩陣解可表示為

其中y為適當維數的任意向量。

定理 4 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Kn如式(8)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(1)所定義，令U1=(BT?A)Kn，U2=(DT?C)Kk，則當矩陣方程(1)不相容時，滿足 AXB+CYD－E=min的最小二乘解的一般形式為

其中y為適當維數的任意向量。

［1］Chu K E.Singular Value and Generalized Singular Value Decompositions and the Solution of Linear Matrix Equations［J］.Linear Algebra Appl，1987，88:83 －98.

［2］Xu G P，Wei M S，Zheng D S.On Solutions of Matrix Equation AXB+CYD=F［J］.Linear Algebra Appl，1998，279:93 －109.

［3］Liao A P，Bai Z Z，Lei Y.Best Approximate Solution of Matrix Equation AXB+CYD=E［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，2006，27(3):675 －688.

［4］袁仕芳，廖安平，雷淵.矩陣方程AXB+CYD=E的對稱極小范數最小二乘解［J］.計算數學，2007，29(3):203－216.

［5］蔣家尚，袁永新.Symmetric Solutions of the Matrix Equation AXB+CYD=E［J］.南京大學學報:數學半年刊，2008，25(2):141－148.

［6］方玲，廖安平，雷淵.矩陣方程AXB+CYD=E對稱最小范數最小二乘解的極小殘差法［J］.高等學校計算數學學報，2010，32(1):71 －81.

［7］任俊艷，任顏波，鄭華杰，等.交換環上矩陣的加權Moore-Penrose逆與其加邊矩陣［J］.河南科技大學學報:自然科學版，2011，32(1):79 －81.

［8］任俊艷，趙麗英.環上矩陣的加權Moore-Penrose逆［J］.河南科技大學學報:自然科學版，2009，30(2):78－81.

［9］戴華.矩陣論［M］.北京:科學出版社，2001.