廣義嚴格對角占優矩陣的新判定準則

高慧敏， 陸 全， 徐 仲， 袁志杰

（1.西北工業大學 應用數學系，陜西 西安 710072；2.合肥工業大學 理學院，安徽 合肥 230009）

廣義嚴格對角占優矩陣的新判定準則

高慧敏1， 陸 全1， 徐 仲1， 袁志杰2

（1.西北工業大學 應用數學系，陜西 西安 710072；2.合肥工業大學 理學院，安徽 合肥 230009）

廣義嚴格對角占優矩陣作為一類特殊矩陣，在數學、物理、控制論及經濟學等許多領域有著重要的應用。文章利用α－對角占優矩陣給出了判定廣義嚴格對角占優矩陣的一組充分條件，推廣和改進了已有的相關結果，數值算例也說明了這些結論的有效性。

廣義嚴格對角占優矩陣；非奇異H－矩陣；α－對角占優矩陣；不可約；非零元素鏈

0 引 言

廣義嚴格對角占優矩陣作為一類特殊的矩陣，在數學、物理、控制論及經濟學等許多領域有著重要的應用。如何在實際應用中方便地判別一個矩陣是否是廣義嚴格對角占優矩陣，一直是人們關注的問題。近年來，國內外許多學者做了不少工作，提出了一些實用的判別條件［1－9］，本文在文獻［1］的基礎上，利用α－對角占優矩陣給出了判定廣義嚴格對角占優矩陣的一組充分條件，推廣了文獻［1］的主要結果，同時也改進了文獻［4－5］的主要結果，并用數值算例說明了結論的有效性。

用Cn×n表示n×n階復方陣集合，設

定義1 設A＝（aij）∈Cn×n，若｜aii｜≥Ri（A）（i∈N），則稱A為對角占優矩陣，記為A∈D0；若每個不等號都是嚴格的，則稱A為嚴格對角占優矩陣，記為A∈D；如果存在正對角陣D使得AD∈D，則稱A為廣義嚴格對角占優矩陣，即A為非奇異H－矩陣，記為A∈D＊。

定義2 設A＝（aij）∈Cn×n，如果存在α∈（0，1］，使得對?i∈N，有｜aii｜＞αRi＋（1－α）Si，則稱A為嚴格α－對角占優矩陣，記為A∈D（α）；如果存在正對角陣D，使得AD∈D（α），則稱A為廣義嚴格α－對角占優矩陣，記為A∈D＊（α）。

引理1 設A＝（aij）∈Cn×n，若存在N1∪N2＝N，α∈（0，1］，使?i∈N1，j∈N2有［2］：

且矩陣A滿足下列條件之一：

（1）（1）式為嚴格不等式。

（2）A不可約且（1）式中至少有一嚴格不等式成立。

（3）對?i∈I（A），存在非零元素鏈，，…，，使得k∈（N＼I（A））≠?，其中，

則A∈D＊。

引理2 設A＝（aij）∈Cn×n，α∈（0，1］，則A∈D＊當且僅當［3］A∈D＊（α）。

1 主要結果及證明

定理1 設A＝（aij）∈Cn×n，α∈（0，1］，若有

且存在j∈N2，使rj＞0，則A∈D＊。

由于存在j∈N2使rj＞0，由（2）式和（3）式知：

由（2）式、（3）式可得rj＞0，?j∈N2。另外（4）～（6）式右邊均非負，分別由（4）式、（6）式和（5）式、（6）式可得與（2）式、（3）式互逆的不等式，與定理1條件矛盾，所以~N2≠?。

由（1）式可得：

同理由（2）式可得：

所以對?i∈N1，j∈N2，（10）式成立，即B滿足引理1的條件（1），從而B為廣義對角占優矩陣，故存在正對角陣D使得BD＝AXD是嚴格對角占優矩陣，而XD仍為正對角陣，所以A為廣義嚴格對角占優矩陣。

定理2 設A＝（aij）∈Cn×n，A不可約，α∈（0，1］，若有：

和存在j∈N2使rj＞0，且（11）式、（12）式中至少有一嚴格不等式成立，則A∈D＊。

證明 類似定理1的證明，構造相同的正對角陣X＝diag（x1，x2，…，xn），令B＝AX＝（bij）。若~N2＝｛i∈N：｜bii｜＞αRi（B）＋（1－α）Si（B）｝＝?，則（4）～（6）式同時成立。由于存在j∈N2使rj＞0，由（4）～（6）式知（7）式、（8）式對應“≥”時成立。再由（11）式、（12）式可得rj≥0，?j∈N2，另外（4）～（6）式右邊均非負可得對應（11）式、（12）式“≤”時成立，這與定理2條件中至少有一嚴格不等式成立矛盾，所以~N2≠?。由（11）式、（12）式可得，對應（9）式、（10）式“≥”時成立，所以對?i∈N1，j∈N2均成立，再由定理2條件知（11）式、（12）式中至少有一個嚴格不等式成立。

由于A不可約，則B＝AX也不可約，由此可知B滿足引理1的條件（2），從而B為廣義對角占優矩陣，所以A為廣義嚴格對角占優矩陣。

定理3 設A＝（aij）∈Cn×n，α∈（0，1］，若對?i∈N1，j∈N2，有（11）式、（12）式成立，且存在j∈N2使rj＞0，對任意i∈J，存在非零元素鏈，，…，，使k∈（N＼J）≠?，其中，J＝：（11）、（12）式 中 取 等 式 時 ｝｝∪：（11）式、（12）式中取等式時｝｝?N，則A∈D＊。

證明 構造正對角陣X＝diag（x1，x2，…，xn），令B＝AX＝（bij），其中，

同定理2證明，由于A具有非零元素鏈，B＝AX也具有非零元素鏈，所以B滿足引理1的條件（3），從而B為廣義嚴格對角占優矩陣，故存在正對角陣D使得BD＝AXD為嚴格對角占優矩陣，而XD仍為正對角陣，所以A為廣義嚴格對角占優矩陣。

2 數值算例

例1 考慮矩陣

易驗證對矩陣A文獻［1，4－5］的定理1失效，而矩陣A滿足本文定理1的條件。

事實上，對文獻［1］有N1＝｛1，2｝，N2＝｛3，4｝，＝10.5，＝8.727 3，故＝｛1｝，＝｛2｝。

所以A不滿足文獻［1］定理1的條件（i）。

對于文獻［4］，有

其中，＝｜a21｜＋｜a23｜R3／｜a33｜＋｜a24｜R4／｜a44｜，所以A不滿足文獻［4］定理1的條件。

對于文獻［5］，取N1＝｛1，2｝，N2＝｛3，4｝，

所以A不滿足文獻［5］定理1的條件。

而對于本文，取α＝0.8，則有N1＝｛1，2｝，N2＝｛3，4｝，δ1＝0.735 3，δ2＝0.978 3，＝10.891 5＝8.941 2，故＝｛1｝，＝｛2｝。β3＝ 2.727 3，β4＝ 4.090 9，r3＝6.000 1，r4＝22.090 8。

即A滿足本文定理1中條件，所以A∈D＊。

［1］丁碧文，劉建州.廣義對角占優矩陣的判定［J］.工程數學學報，2008，25（2）：377－380.

［2］孫玉祥.廣義對角占優矩陣的充分條件［J］.高等學校計算數學學報，1997，19（3）：216－223.

［3］李繼成，張文修.H矩陣的判定［J］.高等學校計算數學學報，1999，21（3）：264－268.

［4］孫玉祥.非奇異 H矩陣的判定［J］.工程數學學報，2000，17（4）：45－49.

［5］高益明.廣義對角占優矩陣與M－矩陣的判定［J］.高等學校計算數學學報，1992，14（3）：233－239.

［6］Gao Y M，W ang X H.Criteria for generalized diagonally dominant matrices and M－matrices［J］.Linear Algebra App1，1992，169：257－268.

［7］王廣彬，洪振杰，朱漢鋒.非奇 H－矩陣的充分條件［J］.上海大學學報：自然科學版，2003，9（4）：358－360，372.

［8］干泰彬，黃廷祝.非奇異 H－矩陣的實用充分條件［J］.計算數學，2004，26（1）：109－116.

［9］李 陽，宋岱才，路永潔.α－雙對角占優與非奇異 H－矩陣的判定［J］.合肥工業大學學報：自然科學版，2005，28（12）：1624－1626.

A set of new criteria for generalized strictly diagonally dominant matrix

GAO Hui－min1， LU Quan1， XU Zhong1， YUAN Zhi－jie2

（1.Dept.of Applied Mathematics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China；2.School of Science，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Generalized strictly diagonally dominant matrix is a kind of special matrix which has important application in mathematics，physics，control theory，economics and many other fields.According to theα－diagonally dominant matrices，some sufficient conditions for generalized strictly diagonally dominant matrices are obtained，and some related results are improved.The effectiveness of the study is illustrated by numerical examples.

generalized strictly diagonally dominant matrix；nonsingular H－matrix；α－diagonally dominant matrix；irreducibility；non－zero elements chain

O151.21

A

1003－5060（2012）11－1565－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.11.029

2012－03－30；

2012－05－04

國家自然科學基金資助項目（10802068）

高慧敏（1986－），女，河南商丘人，西北工業大學碩士生；

陸 全（1957－），女，浙江吳興人，西北工業大學教授，碩士生導師.

（責任編輯 閆杏麗）