尋找接觸物系的相關加速度

袁張瑾

（寧波效實中學，浙江 寧波 315010）

有關接觸物系接觸點的速度特征，在中學物理中常有涉及，也歸納了相應的解決辦法.由接觸物的力學性質及“接觸”的約束條件可知，沿接觸面法線方向，接觸雙方必須具有相同的法向分速度，否則將分離或形變違反接觸的約束條件.根據(jù)接觸物系接觸點的相關速度特征，很多教師和學生自然地認為接觸點的相關加速度也具有相同的特征，由此出現(xiàn)了一些常見錯誤.

例題.如圖1所示，一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向以加速度a做勻加速直線運動，半圓柱面上擱著一根只能沿豎直方向運動的豎直桿，當半圓柱體速度為v時，桿與半圓柱體的接觸點A與柱心O的連線與豎直方向的夾角為θ，求此時豎直桿的速度和加速度分別為多少？

常見解法：這是接觸物系相關速度和相關加速度問題.根據(jù)接觸物系接觸點的速度相關特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，如圖2所示，即

故v桿＝vtanθ，方向向上.同理得桿的加速度a桿＝atanθ，方向也向上.

圖1

圖2

由上述方法求出的桿的加速度是否存在問題？桿的加速度值的求解能否簡單地從速度值的求解中遷移過去？

以下是筆者對此問題的解法，供參考.

方法1：根據(jù)接觸物系接觸點的加速度相關特征求解.

由圖2（a）可知，此時桿相對柱體的速度分量為vt＝對應圖中大三角形的斜邊），方向沿A點切線，如圖3所示.若以柱體為參考系，則桿相對柱體有向心加速度為方向指向柱體中心O.桿相對柱體也具有切向加速度，但切向加速度不影響法向加速度，故暫不分析.

現(xiàn)根據(jù)接觸物系接觸點法向加速度分量相等求解，建立矢量式為

圖3

a桿對地n＝a桿對柱n＋a柱對地n，即asinθ，解得若式中a桿＞0，則桿的加速度方向向上，反之則向下.

方法2：根據(jù)桿的運動只沿豎直方向，桿對地的水平加速度為0的特征求解.

桿相對柱有切向加速度at，設at方向同vt，如圖4所示.依據(jù)桿對地的水平加速度為0，可列式：ansinθ＋atcosθ－a＝0，即得因此桿的加速度a桿＝atsinθ－ancosθ，代入解得

圖4

方法3：利用數(shù)學方法對位移求兩階導數(shù).

以柱心O為坐標原點，建立如圖5所示的坐標系.依題意，柱右移，桿上升，以柱為參考系，桿與柱的接觸點從A（x0，y0）升至B（x，y），則有

圖5

對y方向上的位移求一階導數(shù)有

再對v桿求導有

導數(shù)是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，物理競賽中也有較多的問題用求導可以十分方便地解答.因此在中學物理競賽輔導中應用導數(shù)尋找物體間的相關加速度，這是可行且必要的.