物理競賽中的橢圓

鄭 金

（凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500）

在數學中，到兩個定點的距離之和等于常數的點的集合為橢圓.當以長軸為x軸時，橢圓的標準方程為

橢圓是一種圓錐曲線，在平面上到定點F的距離與到定直線l的距離之比為常數e的點的集合是橢圓.偏心率為小于1的正數；近焦點到準線的距離即焦準距為在以橢圓的遠焦點為極點，以長軸所在直線為極軸的極坐標系中，橢圓的極坐標方程為r＝若設半通徑即半正焦弦為ρ0，則由定義可知ρ0因此

橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經橢圓反射后，反射光線經過另一個焦點.由反射定律知，橢圓上任一點的法線平分該點對兩個焦點的張角.即橢圓上任一點的法線平分焦點三角形的頂角.

1 力學中的橢圓

某些行星和衛星等天體在萬有引力作用下的運動軌跡多為橢圓.

圖1

解析：把質點的橢圓運動視為兩個沿坐標軸方向的同一頻率的簡諧運動的疊加，設t＝0時x＝a，則y＝0，因此質點的運動方程為

分速度為vx＝－aωsinωt，vy＝bωcosωt，所以

對分速度求導數得分運動的加速度為

對應的回復力分別為Fx＝－mω2x，Fy＝－mω2y，設曲率半徑與Fy方向夾角為θ，則合速度與vx方向夾角為θ.可知法向力為

還可利用極坐標方程求解，在圖1中，在以左焦點為極點，以x軸為極軸的極坐標系中，由于左焦點為遠焦點，則橢圓的極坐標方程為對于右頂點，r＝a＋c，θ＝0，所以

另解：在萬有引力作用下，物體的機械能和角動量都守恒.由于在遠地點和近地點的速度都與矢徑垂直，則角動量為L＝mv·r，機械能總量為

遠、近地點的矢徑長度為方程的兩個根，由韋達定理可知

2 熱學中的橢圓

例2.（第15屆全國中學生物理競賽預賽題）1mol理想氣體緩慢地經歷了一個循環過程，在p－V圖中這一過程是一個橢圓，如圖2所示.已知此氣體若處在與橢圓中心O′點所對應的狀態時，其溫度為T0＝300k.求在整個循環過程中氣體的最高溫度T1和最低溫度T2各是多少？

圖2

與橢圓相切的等溫線，所對應的溫度為循環過程的最高或最低溫度.

假如畫圖時取橫縱坐標軸的刻度相等，則橢圓變為正圓，那么圓心過第一象限的角分線，而等溫線與圓周的切點在角分線上，可知離原點最遠的切點坐標為

易知另一個切點即離坐標原點最近的切點的坐標為

拓展：若循環過程沿順時針方向，則氣體做功情況如何？

解析：因循環過程沿順時針方向，則氣體對外做功，數值上等于橢圓的面積，由公式S＝πab得

3 電學中的橢圓

例3.真空中有一固定點電荷，帶正電為Q，另一點電荷帶負電為q，質量為m，繞Q做橢圓運動，Q位于橢圓的一個焦點上，q與Q的最大距離為a，最小距離為b，如圖3所示，求：（1）q繞Q運動的周期；（2）負電荷在距正電荷最近點和最遠處的速率；（3）若負電荷在距正電荷最遠處獲得能量而繞其做圓周運動，它獲得的能量是多大？

解析：（1）由于在橢圓運動過程中q只受Q的庫侖引力，跟行星繞恒星做橢圓運動時所受的萬有引力相似，則帶電粒子的橢圓運動也遵循開普勒第三定律，即電荷q做橢圓運動周期的平方與其長半軸的3次方成正比.由題意知橢圓的半長軸為因此橢圓運動周期等于q繞Q做半徑為的勻速圓周運動的周期.由得

圖3

（2）由角動量守恒有mv1·b＝mv2·a，由能量守恒定律有

解得近點和遠點的速率分別為

（3）設負電荷繞正電荷做半徑為a的圓周運動的速度為v3，則有此時具有的動能為

所以負電荷在遠點獲得的能量為

4 光學中的橢圓

例4.如圖4所示，真空中的一束平行光線沿平行于長軸的方向射入折射率為n的旋轉橢球體介質中，為使所有光線都嚴格會聚于橢圓旋轉體的右焦點，試求出偏心率應滿足的關系.

解析：以主軸為極軸，右焦點為極點，建立極坐標系如圖5所示，極軸方向向右，從左準線開始沿主軸向右傳播的一束平行光的光程可表示為

圖4

已知cosθ＜0，則以近焦點為極點，以長軸所在直線為極軸的極坐標系中，極坐標方程為故

圖5

由費馬原理可知，光程差為定值，則后兩項之和應該為定值，即

化簡得ecosθ（P－k）＝k－ePn.

為使θ取任何值時等式都成立，須使cosθ的系數為零，即k＝P，所以P（1－en）＝0，解得

例5.把一個球形框架放在凸透鏡的一側，使球心位于主光軸上距光心兩倍焦距處，球半徑r＜f，試推斷這個球形框架通過透鏡所成的像的形狀是球形體還是橢球體？

解析：以光心為坐標原點，主光軸為x軸，建立直角坐標系如圖6所示.設圓心坐標為（c，0），則圓的方程為

圖6

令A＝（f＋c）2－r2，B＝f（c2＋cf－r2），C＝f2（r2－c2），則有