基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通量預測

劉宗明，賈志絢，李興莉

（太原科技大學1.電子信息工程學院；2.交通與物流學院；3.應用科學學院，山西太原030024）

利用道路交通量調查資料對未來交通量進行合理準確的預測是決策部門制定發展規劃的重要依據［1］。灰色系統理論具有所需樣本少，不需要計算統計特征量等特點。灰色系統理論在預測方面應用十分廣泛，如電力負荷的灰色預測，城市噪聲的灰色預測，以及自然災害的灰色預測等。近些年來，交通領域的科研人員，也將灰色系統理論引入并應用交通系統的某些部分，比如在城市交通生成總量預測、道路交通流量預測，城市道路交通噪聲預測，鐵路貨運量預測和公路客運量預測等方面。在交通量的預測方面國內科研人員也做了相應的研究［2-8］，主要有灰色經濟學模型，交通量演變模式檢索方法，灰色殘差GM（1，1）模型以及一些改進的灰色模型等。

灰色馬爾科夫模型是一種結合灰色系統理論和馬爾科夫鏈的理論的預測模型。首先灰色預測方法用于預測變化趨勢較為明顯的時間序列，對隨機波動性大的時間序列則效果不是太好，馬爾科夫鏈的理論適用于隨機過程的狀態轉移行為，正好可以彌補灰色預測的局限，但馬爾科夫鏈的預測對象要求具有平穩過程、等均值的特點，交通系統的變化多屬于非平穩過程，如果采用GM（1，1）模型擬合系統，并在此基礎上對隨機波動大的殘差序列進行馬爾科夫預測，實現兩者優勢互補。運用灰色馬爾科夫預測模型進行對太原市某街道15 min交通量進行預測，結果表明，該模型在交通量預測方面具有很好的精度。

1 建模

利用灰色馬爾科夫預測建模過程如下：即先用灰色GM（1，1）對原始數據進行建模，在此基礎上對殘差進行GM（1，1）建模，然后結合馬爾科夫鏈理論根據殘差符號建立狀態轉移概率矩陣。

1.1 建立原始數據的GM（1，1）的預測模型

式中：a，u為待辨識的參數。

解該微分方程為

由最小二乘法求解待辨識的參數a，u表示為

式中Y和B為

由于

因此得到原始數據模型值為

1.2 建立殘差絕對值序列的GM（1，1）模型

由上面的分析得到殘差絕對值序列為

式中：u1，a1為待辨識的參數。

得到的微分方程為

由最小二乘法求解待辨識的參數a，u，估計值a，u，系數，Y1和B1如下式

得到改進后的原始數據的預測值為

式中：符號函數

由上面的分析可知，1≤t≤n時，sgn(t)的值可由原殘差的符號確定，因此提高灰色預測精度的關鍵是正確預測t＞n時sgn(t)值的概率。

根據馬爾可夫理論，對于時間和狀態都是離散的馬爾科夫過程，稱為馬爾科夫鏈，馬爾科夫的過程是研究系統的狀態及狀態的轉移，即狀態轉移概率。由狀態轉移概率組成馬氏鏈的轉移概率矩陣如下

本文用馬爾科夫過程來求解殘差狀態轉移的概率，從而確定計算預測值時殘差的符號，這里確定3種狀態，殘差為零時狀態取為1，殘差為正時狀態取為2，殘差為負時狀態取為3，然后構建狀態轉移概率矩陣。

2 應用實例

以太原市漪汾橋斷面為例，實地調查其交通量數據，從早7：00－9：30，每15分鐘作為一個調查時間單位，測得交通流量數據如表1所示。

表1 交通量數據表Tab.1 Data of traffic volume

取表1中時間段7：00－9：00的數據作為原始數據，取9：00－9：30時間段的兩組數據作為預測數據對照值，令X(0)(t)={503，558，630，637，702，622，861，676}建立灰色的馬爾科夫鏈預測模型，步驟如下：

累加序列：{X(1)(t)}={503，1 061，1 691，2 328，3 030，3 652，4 513，5 189}

構造矩陣B和向量Y：

由最小二乘法求得

通過計算得到模型值及殘差如表2所示。

表2 模型值及殘差值Tab.2 Value of model and residuals

通過該模型得到的結果如表3所示：

表3 模型值及殘差值Tab.3 Value of model and residuals

根據原始殘差的符號殘差符號狀態劃分如表4所示。

由表2中殘差的符號狀態構建轉移概率矩陣：

通過以上得到預測模型預測時間段9：00－9：30的交通量，結果如表5、6所示，可以看出：灰色馬爾科夫鏈預測模型交通量的預測精度較高，相對誤差較小。

表4 狀態劃分表Tab.4 Status partition

表5 GM（1，1）結果表Tab.5 Results of GM（1，1）

表6 灰色馬爾科夫鏈模型結果表Tab.6 Results of Gray-Markov Chain model

4 結論

1）灰色馬爾科夫鏈模型是一種結合灰色系統理論和馬爾科夫鏈的理論的預測模型，在此基礎上，通過對原始數據的序列和殘差絕對值序列二次建立GM（1，1）預測模型，引進馬爾科夫鏈的狀態轉移概率矩陣建立了交通量預測模型。

2）當預測長期交通量時，可以根據已有的歷史數據，重新選取原始數據進行建模，然后重構馬爾科夫鏈的狀態轉移概率矩陣，達到長期預測的目的。

3）結合太原市漪汾橋斷面的實際交通量數據，建立了其交通量預測模型，研究結果表明：與灰色GM（1，1）模型相比，相對誤差明顯減小，該模型在交通量預測精度上有了很大的改進。

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