傳統逐點比較法直線插補方法的改進

席港港，趙慶志，王 軍，田曉文

（1．山東理工大學機械工程學院，山東淄博255091；2．山東五征集團有限公司，山東日照262300）

經濟型數控機床由于成本低、操作簡單、性價比高，從而占有比較大的市場，而該類數控機床常采用逐點比較法直線插補方法，該方法插補誤差大，直線光滑性差，雖然不少學者也提出改進后的直線逐點比較插補方法，但仍存在不足之處．本文研究一種新的插補方法，可以提高插補精度．

1 逐點比較法插補原理及其改進

傳統的逐點比較法直線插補包括偏差判別、坐標進給、新點偏差計算、終點判別4個步驟，該算法在坐標進給時不考慮進給后插補誤差的大小而直接決定進給坐標，致使插補誤差比較大，使得刀具在每一次進給時是在X坐標或Y坐標進給一個脈沖當量，而不能使得X坐標與Y坐標同時聯合進給［1－5]．圖1為傳統逐點比較法直線插補軌跡，由圖1可知插補OE斜線時產生了較大的插補誤差，且直線斜率越大插補誤差就越大．事實上，當直線趨向于45°斜線時，若能將X坐標與Y坐標同時進給一步，插補誤差就大大減小［1－5]．經過研究，本文提出改進后的逐點比較法插補原理，以期大大減小插補誤差，且方便開發數控系統控制程序．

改進后的逐點比較法插補原理調整為：先判斷基礎坐標，再計算偏差、坐標進給，確定基礎坐標后，插補的4個步驟改為：兩種進給方案的新點偏差計算、偏差大小比較、單坐標或雙坐標進給、終點判別．即先分別計算出F、Fxy兩種進給方案新點的偏差值，然后比較兩者大小，再決定基礎坐標進給還是聯合坐標進給．這里F代表基礎坐標X進給一步后的插補偏差，Fxy代表聯合坐標X、Y同時進給一步后的插補偏差．

1．1 改進后逐點比較法直線插補原理

以第一象限斜線OE為例由O點（坐標原點）向E點加工，終點坐標E（Xe，Ye），插補過程中動點的坐標為（Xi，Yi），則傳統的逐點比較法直線插補原理偏差判別函數為

當Xe≥Ye時，為保持偏差F趨于0，Xi增大的速度就比Yi快；當Ye＞Xe時，為保持偏差F趨于0，Yi增大的速度就比Xi快．所以分如下兩種情況分析進給新點的偏差計算和坐標進給：

①當Xe≥Ye時，每次都進給＋X坐標，＋X坐標叫基礎坐標［3]，只是考慮在什么條件下＋X、＋Y兩坐標聯合進給，不再考慮單獨進給＋Y坐標．

根據文獻［6] 可知，進給＋X坐標新點的偏差計算公式為：F＝F－Ye，而聯合進給＋X、＋Y兩坐標的新點的偏差計算公式為：Fxy＝Fxy－Ye＋Xe．顯然，當｜F｜＜｜Fxy｜時，只進給＋X坐標，Fxy＝F；當｜F｜≥｜Fxy｜時，聯合進給＋X、＋Y兩坐標，F＝Fxy．

②當Ye＞Xe時，每次都進給＋Y坐標，＋Y坐標是基礎坐標，只是考慮在什么條件下＋Y、＋X兩坐標聯合進給，不再考慮單獨進給＋X坐標．

進給＋Y坐標新點的偏差計算公式為：F＝F＋Xe，而聯合進給＋Y、＋X兩坐標的新點的偏差計算為：Fxy＝Fxy＋Xe－Ye．顯然，當｜F｜＜｜Fxy｜時，只進給＋Y坐標，Fxy＝F；當｜F｜≥｜Fxy｜時，聯合進給＋Y、＋X兩坐標，F＝Fxy．

圖1 傳統逐點比較法直線插補軌跡

1．2 改進后逐點比較法直線插補案例

在傳統的逐點比較法直線插補原理和文獻［1－5，7] 的基礎上，利用提出的改進后的逐點比較法直線插補原理，確定基礎坐標后，按照兩種進給方案的新點偏差計算、偏差大小判別、比較進給、終點判別4個步驟，得到如圖2所示的插補軌跡，由圖2可知，插補誤差大大減小．具體插補過程見表1．

圖2 改進后的逐點比較法直線插補軌跡

當Ye＞Xe時，＋Y為基礎坐標，表1中的F＝F－Ye變為F＝F＋Xe，其他計算相似．

2 改進后的逐點比較法其他區域直線的插補公式與坐標進給

圖3所示的4個象限被兩條過坐標原點交叉的45°直線分為8個區域，OA直線歸1號區域，OD直線歸3號區域，OB直線歸5號區域，OC直線歸7號區域．

當直線位于2號區域時，直線終點Xe＜Ye，＋Y為基礎坐標，把Yi＝Yi＋1帶入（1）式，則

即

把Yi＝Yi＋1，Xi＝Xi＋1帶入（1）式，則得

式（2）和式（3）就是2號區域直線的插補偏差計算公式，得結論：2區域直線F＝F＋Xe，Fxy＝Fxy＋Xe－Ye，若｜F｜＜｜Fxy｜，則Fxy＝F，進給＋Y一步；否則聯合進給＋Y、＋X各一步，F＝Fxy．如直線終點坐標為E（3，5），插補軌跡如圖4所示．

其他6個區域的插補偏差坐標、聯合進給坐標和插補公式按表2確定．

改進后的逐點比較法直線插補原理框圖如圖5所示．

圖3 4個象限8個基礎坐標區域圖

圖4 位于2區域直線的逐點比較法插補軌跡

表2 4個象限8個區域內直線的插補公式

3 改進后的逐點比較法直線插補特點

本文介紹的改進后的逐點比較法插補原理有如下特點：

（1）將傳統的逐點比較法插補公式提煉成表2所示的兩套公式，插補思路更加清晰，插補誤差明顯減小．

圖5 改進后的逐點比較法插補原理框圖

（2）改進后的逐點比較法框圖符合結構化程序一進口兩出口分支結構的特點，使得開發數控系統控制程序更加方便．

（3）該方法避免了有關文獻所述方法中涉及的導數計算、斜率無窮大、三分支判斷計算復雜等缺點．

（4）該方法通用性強，包括兩條坐標軸方向的直線插補都包括在表2所示插補公式之中，避免了有關文獻所述插補方法中出現斜率無窮大而難以處理的問題．

該方法已在作者開發的數控系統中得到了實際應用，效果很好．

［1] 馬斌．逐點比較法的改進及軟件實現［J] ．渝州大學學報，2002，19（2）：77－79．

［2] 高有行．對逐點比較法的改進算法［J] ．西安電子科技大學學報，1998，25（4）：299－303．

［3] 劉云．基于統一偏差判別函數的各象限直線的逐點比較插補算法［J] ．長春師范學院學報，2001，30（3）：1－4．

［4] 張濤，王曉明．實現步進電動機雙軸聯動的改進逐點比較法［J] ．化學工程與裝備，2011（2）：6－7．

［5] 范希營，郭永環．提高數控系統基準脈沖直線插補速度及精度的研究［J] ．制造技術與機床，2010（3）：89－91．

［6] 吳祖玉，秦鵬飛．數控機床［M] ．北京：機械工業出版社，1992．

［7] 王敏．差分插補方法及其在數控線切割機中的應用（一）［J] ．電加工，1981（4）：16－22．