雙參數(shù)指數(shù)分布無(wú)失效數(shù)據(jù)的可靠性分析

翟艷敏

0 引言

在可靠性試驗(yàn)中，特別是在高可靠性，小樣本問(wèn)題的定時(shí)截尾試驗(yàn)中，常會(huì)遇到“無(wú)失效數(shù)據(jù)”。自從文獻(xiàn)[1]發(fā)表以來(lái)引起國(guó)內(nèi)外的重視，并且取得一些研究成果。文獻(xiàn)[2]提出了配曲線方法；文獻(xiàn)[3]、[4]分別提出極小χ2法和等效失效數(shù)法；文獻(xiàn)[5]提出修正似然函數(shù)法；文獻(xiàn)[6]從生存分析中的CLASS-K方法及條件期望著手，提出改進(jìn)的CLASS-K；文獻(xiàn)[7]～[11]利用先驗(yàn)分布給出可靠性參數(shù)的Bayes估計(jì)或者多層Bayes估計(jì)；文獻(xiàn)[12]、[13]利用樣本空間的序關(guān)系得到可靠性參數(shù)的置信限。以往的研究文獻(xiàn)大多討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，而對(duì)置信限的研究極少。本文旨在對(duì)雙參數(shù)指數(shù)分布場(chǎng)合下的無(wú)失效數(shù)據(jù)，在μ已知和μ未知的兩種情形下，分別給出可靠性參數(shù)的置信限，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證所得結(jié)論的有效性、可行性。

1 無(wú)失效數(shù)據(jù)模型與可靠性參數(shù)置信限

1.1 無(wú)失效數(shù)據(jù)模型

對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn)，截尾時(shí)間為ti(i=1,2,…,m)(t1＜t2＜…＜tm)，相 應(yīng) 的 樣 品 數(shù) 為ni(i=1,2,…,m)，總的樣品數(shù)結(jié)果所有樣品無(wú)一失效，稱(ti,ni)(i=1,2,…,m)為無(wú)失效數(shù)據(jù)。

1.2 可靠性參數(shù)的置信限

設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布，分布函數(shù)為

定理1設(shè)產(chǎn)品壽命服從雙參數(shù)指數(shù)，T～Exp(t;μ,σ),其中μ已知，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn)，結(jié)果無(wú)一失效，獲得無(wú)失效數(shù)據(jù) (ti,ni)(i=1,2,…,m)，，則σ的置信水平為1-α的置信下限為:

證明：壽命T～Exp(t;μ,σ),則一個(gè)產(chǎn)品在t時(shí)刻前失效的概率F(t)=P(T＜t)=若在第i次定時(shí)截尾試驗(yàn)中有 Xi個(gè)樣品失效(Xi=1,2,…,ni,i=1,2,…,m)，則

由于產(chǎn)品的是失效率都很小，所以

根據(jù)泊松定理有:

則事件{ }X1=r1,X2=r2,…,Xm=rm的聯(lián)合概率為:

對(duì)于無(wú)失效數(shù)據(jù)情形，有:

解得：

引理1設(shè)E是Z的所有可能值組成的集合，?(u1,u2,…,u2n)是任何Borel函數(shù)，對(duì)任何z∈E，令：

gL(Z)=inf{g (θ):G(Z,θ)＞ α}

則gL(Z)是g(θ)的置信水平為1-α的置信下限。

定理2設(shè)產(chǎn)品壽命服從雙參數(shù)指數(shù)，T～Exp(t;μ,σ),其中μ未知，對(duì)n產(chǎn)品進(jìn)行次定時(shí)截尾試驗(yàn)，結(jié)果無(wú)一失效，截尾時(shí)間為t1,t2,…,tn，則

σ的置信水平為1-α的置信下限為：

證明：對(duì)于無(wú)失效數(shù)據(jù)情形，由引理1有σ的置信水平為1-α的置信下限

其中：t(1)=min{ }t1,t2,…,tn

其中：

2 實(shí)例

上海薩澳液壓傳動(dòng)有限公司生產(chǎn)的某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)，其壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布對(duì)該型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)做定時(shí)截尾試驗(yàn)，所得無(wú)失效數(shù)據(jù)如表1（單位時(shí)間：小時(shí)）。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)的無(wú)失效數(shù)據(jù)

根據(jù)定理1，其中μ=100，計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 μ已知時(shí)可靠性參數(shù)的置信限

根據(jù)定理2，計(jì)算結(jié)果如表3。

表3 μ未知時(shí)可靠性參數(shù)的置信限

從上述結(jié)果來(lái)看，利用定理1和定理2所得的結(jié)論，對(duì)于給定的不同的置信水平，可靠度的估計(jì)具有很好的穩(wěn)健性，理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情況比較相符。

[1] Martz H F,Waller R A.A Bayes Zero-failure(BAZE)Reliability Dem?onstration Testing Procedure[J].Journal of Quality Technology,1979,11(3).

[2] 峁詩(shī)松，羅朝斌.無(wú)失效數(shù)據(jù)的可靠性分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1989，4(4).

[3] 張忠占，楊振海.無(wú)失效數(shù)據(jù)的處理[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1989.

[4] 張忠占，楊振海.等失效數(shù)在無(wú)失效數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1991，6(3).

[5] 王玲玲，王炳興.無(wú)失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析－修正似然函數(shù)方法[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1996,11(1).

[6] 殷弘，楊瑛，丁邦俊等.關(guān)于無(wú)失效數(shù)據(jù)的分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1996，11(3).

[7] 張繼昌.無(wú)失效數(shù)據(jù)的Bayes分析[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1995,10(1).

[8] 韓明.無(wú)失效數(shù)據(jù)的多層Bayes可靠性分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，1998，11(2).

[9] 韓明.失效概率的Bayes估計(jì)及應(yīng)用[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001,18(3).

[10] 翟艷敏.無(wú)失效數(shù)據(jù)的貝葉斯分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2008,(11).

[11] 翟艷敏.威布爾分布的無(wú)失效數(shù)據(jù)分析[J].統(tǒng)計(jì)學(xué)評(píng)論,2009,5(1).

[12] Martz H F,Waller R A.Bayesian Reliability Analysis[M].New York:John Wiley and Sons,1982.

[13] Berger J O.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].New York:Springer-Verlag,1985.