有源干擾條件下機載MIMO雷達STAP協方差矩陣秩的分析

楊曉超 劉宏偉 王 勇 糾 博

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引言

空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術是機載 SIMO(Single-Input Multi-Output)雷達(即相控陣雷達)為了更好地抑制空時耦合的地雜波，檢測地面動目標而提出的[1]。STAP中雜波協方差矩陣的秩，是SIMO雷達是否可以有效抑制雜波的重要指標[2]。典型的 STAP場景中，不僅包括雜波還包含有源干擾[2,3]，文獻[4]研究了在正側陣時SIMO雷達雜波加有源干擾的協方差矩陣的結構，證明了雜波加干擾協方差矩陣秩的上界為兩者秩之和減去有源干擾個數。一般情況下，在雜波加有源干擾協方差矩陣非滿秩時，理論上SIMO雷達可以有足夠的自由度來有效地抑制雜波和有源干擾，取得良好的性能。

相比于SIMO雷達，MIMO(Multi-Input Multi-Output)雷達有更多的空間自由度[5]，將 MIMO 雷達用于機載平臺，結合STAP技術來檢測動目標成為近幾年的研究熱點[5-11]。文獻[5]分析了發射正交波形時，機載MIMO雷達雜波子空間和雜波的秩；文獻[6]和文獻[7]分別分析了發射任意波形時機載MIMO雷達雜波的秩及雜波空時譜分布特性；文獻[8]研究了發射相位編碼正交信號和多載頻信號時的MIMO雷達 STAP信號模型和雜波模型。文獻[9]研究了采用頻分正交信號的機載 MIMO雷達對地面動目標的角度和多普勒估計的CRB(Cramer-Rao Bound)。文獻[10]對MIMO雷達進行子陣劃分，然后再進行空時處理；文獻[11]提出一種先時域多普勒濾波，然后再在空域采用雙迭代算法進行降維的方法。

與SIMO雷達相似，MIMO雷達雜波加干擾協方差矩陣的秩也是其是否可以有效地抑制雜波和有源干擾的重要指標。文獻[5]分析了MIMO雷達雜波協方差矩陣的秩，但目前還沒有文獻分析存在有源干擾時，MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣的秩。本文將文獻[4]中SIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣秩的結論推廣到MIMO雷達，得到了正側陣時 MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣秩的上界為兩者秩之和減去有源干擾個數，文獻[4]中的結論可以看作此結論在SIMO雷達時的特殊情況。由此結論進而得到一個有源干擾個數的范圍，當有源干擾個數增加到此范圍內時，SIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣滿秩，雜波和干擾不能被有效抑制引起性能嚴重下降，但此時MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣的秩要小于數據維數，MIMO雷達仍然可以有效地抑制雜波和有源干擾，有較好的理論性能，體現了MIMO雷達相對于SIMO雷達的優越性。

2 MIMO雷達STAP信號模型

考慮一個收發同置的機載MIMO雷達，發射陣有M個天線，接收陣有N個天線，都為均勻線陣，正側陣放置。載機速度為v。目標，雜波，有源干擾相對雷達處于遠場。各發射陣元發射相互正交信號，并且為窄帶信號，發射脈沖重復周期為Tr。假設一個相參處理間隔(Coherent Processing Interval,CPI)共有K次脈沖。接收經過混頻至基帶后，用發射信號矩陣對每個接收陣元回波信號進行匹配濾波處理后排成列向量得到MN×1的輸出，將K次脈沖的輸出首尾相接排成更長的列向量，得到目標的輸出為

其中γ=dt/dr為發射陣元間距與接收陣元間距之比。

假設場景中存在J個相互獨立的有源干擾，和雷達發射信號相互獨立，并且在時域上各時刻之間也相互獨立。其協方差陣可以表示為

3 MIMO雷達雜波加干擾協方差矩陣秩的分析

對于正側陣放置的SIMO雷達，在沒有雜波內部運動時，由 Brennan條件[2]，可以得到雜波協方差矩陣的秩rC,SIMO=rank(RC,SIMO) =N+β(K-1)。而其干擾協方差矩陣的秩為rJ,SIMO= r ank(RJ,SIMO)=JK[2]。但雜波加干擾協方差矩陣秩的上界并不等于雜波協方差矩陣的秩和干擾協方差矩陣的秩之和，文獻[4]證明其上界為兩者之和再減去干擾的個數，即

但目前還沒有文獻研究 MIMO雷達雜波加干擾協方差矩陣的秩，下面證明其上界為雜波協方差矩陣的秩與干擾協方差矩陣的秩之和再減去干擾的個數。

對于MIMO雷達，雜波協方差矩陣的秩為[5]

與文獻[4]構造SIMO雷達雜波基向量的方法相似，可以構造MIMO雷達MKN× 1維的雜波基向量為

每個有源干擾對應MK個基向量，J個有源干擾一共有JMK個干擾基向量。與SIMO雷達雜波基向量和有源干擾基向量的關系[4]相似，可以驗證對于MIMO雷達，第p個有源干擾的基向量和雜波的基向量有如下關系：

即第p個有源干擾的MK個基向量中至少有一個基向量可以用其他MK-1個基向量和N+β(K-1)+γ(M- 1 )個雜波基向量線性表示。對于每一個有源干擾，與其對應的基向量和雜波的基向量都有如式(11)的關系。所以，在總的有源干擾協方差矩陣的JMK個基向量中，至少有J個基向量可以由其他J(MK- 1 )個基向量和N+β(K- 1) +γ(M- 1 )個雜波基向量線性表示。由此可以得到MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣的秩滿足

即 MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣秩的上界為雜波協方差矩陣的秩和有源干擾協方差矩陣的秩之和減去有源干擾的個數。

在SIMO雷達中，各發射陣元發射相同的信號，可以認為式(12)中M=1。此時式(12)與文獻[4]的式(7)有相同的形式。因此，結論式(12)可以看作對文獻[4]的結論式(7)的推廣。

4 SIMO雷達和MIMO雷達在有源干擾條件下的性能比較

對于機載SIMO雷達，一般其收發天線共用，發射接收陣元間距相同[12]。為了在相同情況下對比SIMO雷達與MIMO雷達的性能，假設SIMO雷達與MIMO雷達均為收發陣元間距相同，即γ=1。

雜波加干擾協方差矩陣的秩，是SIMO雷達和MIMO雷達是否能夠有效抑制雜波和干擾的重要指標。對于SIMO雷達，由于其協方差矩陣秩的最大值為數據維數NK，由式(7)可以得到在有源干擾個數J≥N-β時，有源干擾加雜波協方差矩陣秩的上界達到NK，此時雜波和有源干擾的抑制性能會受到很大的影響。而在有源干擾個數J=N-β-1時，有源干擾加雜波協方差矩陣秩的上界為NK-(K-1)，此時SIMO雷達仍然有足夠的自由度抑制雜波和干擾，性能不會有很大的下降。

由式(13)可以看出，此時，MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣秩的上界與 MIMO雷達的數據維數NMK相差(K- 1 )(M-β)，而當干擾個數J＜N- 1時，與NMK相差更大，此時 MIMO雷達有足夠的自由度來抑制雜波和干擾，性能不會有很大損失。所以可以得到，在干擾個數滿足N-β≤J≤N- 1時，SIMO雷達的性能會有明顯的下降，而 MIMO雷達的性能不會有很大的影響，顯示了MIMO雷達相對于SIMO雷達的優勢。

在此需要說明的是，由于有源干擾為干擾機發射的干擾信號，并非雷達發射信號的回波，所以有源干擾的抑制，不論對于SIMO雷達還是MIMO雷達，都只與接收的空間自由度有關，這也可以從MIMO 雷達有源干擾的協方差矩陣式(6)看出。而MIMO雷達相對于SIMO雷達更多的自由度來自于發射的空間自由度，并不能用來抑制有源干擾。沒有雜波時，SIMO雷達和MIMO雷達抑制有源干擾的能力是相同的，最多為N-1個。但對于雜波，由于其為雷達發射信號被后向散射的回波，發射的空間自由度可以用來進行雜波抑制，由于機載雷達雜波的空時耦合性，所以機載MIMO雷達可以聯合發射，接收空間自由度和時間自由度來抑制雜波，而機載SIMO雷達則只能聯合接收空間自由度和時間自由度來抑制雜波。所以在雜波和有源干擾同時存在的環境中，MIMO雷達聯合發射，接收自由度和時間自由度來抑制雜波，相比于SIMO雷達只能用接收自由度和時間自由度來抑制雜波，可以有更多的接收自由度來抑制有源干擾，所以在有源干擾個數增加到使得SIMO雷達性能嚴重下降時，MIMO雷達仍然有足夠的自由度來抑制雜波和有源干擾，有較好的性能。

5 仿真實驗

5.1 仿真條件

考慮一個雷達系統，發射陣元數M=5，接收陣元數N=8，發射和接收陣元間距為半波長，收發同置，正側陣放置。一個CPI中的脈沖數K=8。載機高度9 km，目標在正側視方向。有源干擾的方向分別 為θ1=20o,θ2=-2 0o,θ3=30o,θ4=-3 0o,θ5=40o,θ6=-4 0o,θ7=50o，且各干擾間相互獨立，干噪比均為 70 dB。噪聲為高斯白噪聲，其協方差矩陣為單位矩陣I。

MIMO雷達與SIMO雷達仿真條件的區別僅在于發射信號的不同。對于MIMO雷達，各發射陣元發射正交信號。而SIMO雷達，各發射陣元發射相同信號，且每個陣元發射信號能量與MIMO雷達的相同，發射加權均為 1。假設每個發射陣元的陣元功率方向圖相同，且均為余弦調制[12]，后向衰減為60 dB，其形式如下：其中be代表后向衰減系數。對于 SIMO雷達和MIMO雷達，考慮相同的雜波背景，均為遠距離雜波，每個距離環上獨立雜波點個數Nc= 3 60，位置均勻分布，且同一距離單元內雜波點的RCS為獨立同分布的隨機變量，不同距離單元雜波點的RCS也獨立同分布。下面說明對于SIMO雷達和MIMO雷達，進入單個接收陣元的單次脈沖的雜波能量是相同的。

對于SIMO雷達，單個陣元接收到的俯仰角為φ的距離單元的單次脈沖的雜波回波為

將式(18)代入式(17)可得

對于MIMO雷達，單個陣元接收到的俯仰角為φ的距離單元的單次脈沖的雜波回波為

其中S為發射信號矩陣，假設發射信號相互正交，并且滿足SSH=I。此時MIMO雷達發射信號能量與SIMO的相同。由式(20)可得雜波回波的能量為

可以看出，對于SIMO雷達和MIMO雷達，單個接收陣元的單個脈沖雜波能量是相同的。在仿真中，SIMO雷達和MIMO雷達單個接收陣元的單個脈沖的雜噪比均為50 dB。

5.2 實驗結果

在仿真中，采用信雜噪比(SINR)損失作為性能評價的指標。并且所用的雜波和有源干擾加噪聲的協方差矩陣均為理論的協方差矩陣，不考慮有限樣本數的影響。在計算SIMO雷達和MIMO雷達SINR損失時，均為全維處理，不考慮各種降維算法的影響，因此仿真中得到的SINR損失為SIMO雷達和MIMO雷達所能達到的最優性能。

圖1為在β分別為1,2,3的情況下，SIMO雷達和MIMO雷達在不同有源干擾個數時的理論SINR損失。從圖1(a), 1(b), 1(c)可以看出，在有源干擾數J=N-β- 1時，即分別為J=6,J=5和J=4(即分別對應β= 1 ,2,3)時，SIMO雷達的SINR損失與無干擾時的性能相差不大，在2 dB以內；但在有源干擾個數增加到J=N-β時，即分別為J=7,J= 6 和J=5(分別對應β= 1 ,2,3)時，SIMO雷達的 SINR損失在整個多普勒頻率區間，性能都有了很明顯的下降，尤其在低速區下降更為明顯。而MIMO雷達在干擾個數J=N-β時，仍然保持了較好的性能。并且可以看出在β= 1 ,2,3的情況下，MIMO雷達在有源干擾個數為J=N- 1即7個時，其性能相比于無干擾時雖然也有了一定的下降，但下降的程度要遠低于 SIMO雷達。當干擾個數從J=N-β- 1增加到J=N-β時，SIMO雷達性能嚴重下降，而MIMO雷達仍然有較好的性能，與本文之前的分析相一致。

為了說明當干擾個數J從N-β- 1增加到J=N-β時SIMO雷達性能下降的原因，圖2 給出了SIMO雷達雜波和干擾加噪聲的特征譜。由于噪聲協方差矩陣為單位陣，所以雜波加干擾協方差矩陣的特征值對應于特征譜上大于0 dB的特征值，由此可得雜波加干擾協方差矩陣的秩為大于 0 dB的特征值的個數。在干擾數為J=N-β- 1，即分別為J= 6 ,J=5和J=4(分別對應β= 1 ,2,3)時，從圖2可以看出，雜波加干擾協方差矩陣的秩為N+(β+J)(K- 1 ) = 5 7，而SIMO雷達全維的數據維數為64，因此有足夠的自由度來抑制雜波和干擾，此時其SINR損失相對于沒有干擾時沒有明顯的下降(見圖 1)。在干擾數J=N-β，即分別為J=7,J= 6 和J=5(分別對應β= 1 ,2,3)時，雜波加干擾協方差矩陣滿秩，因為所有的特征值都超過了噪聲水平，其秩為64 =N+ (β+J)(K- 1 )，此時SIMO雷達沒有足夠的自由度來抑制干擾和雜波，所以其SINR損失有了明顯的下降。

而對于MIMO雷達，從圖3的雜波和干擾加噪聲的特征譜上可以看出，在干擾數J=N-β，即分別為J=7,J=6和J=5(分別對應β= 1 ,2,3)時，其雜波加干擾的協方差矩陣的秩為N+β(K- 1 )+γ(M- 1 ) +J(MK- 1 )，即在β= 1 ,2,3時分別為292, 260, 228。而MIMO雷達全維的數據維數為320，所以MIMO雷達有足夠的自由度來抑制雜波和干擾，仍然有較好的性能。這也體現了MIMO雷達相對于SIMO雷達可以利用更多的自由度來抑制雜波和干擾，在干擾較多嚴重影響SIMO雷達性能時，使得MIMO雷達還可以有效地抑制雜波和干擾，進行動目標的檢測。而在干擾個數為J=N-1即7個時，MIMO雷達雜波加干擾協方差矩陣的秩在β= 1 ,2,3時分別為292, 299, 306，也與之前的分析相一致，此時MIMO雷達也有足夠的自由度來抑制雜波和干擾，盡管性能相對于無干擾時會有一定的下降，但不會嚴重下降，不同于SIMO雷達。

6 結束語

圖1 SIMO雷達和MIMO雷達SINR損失

圖2 SIMO雷達雜波和干擾加噪聲的特征譜

圖3 MIMO雷達雜波和干擾加噪聲的特征譜

將SIMO雷達雜波加有源干擾協方差陣秩的分析推廣到MIMO雷達，得到MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣秩的上界為雜波秩與有源干擾秩之和減去有源干擾個數。并且得到一個有源干擾個數的范圍，當有源干擾個數在此范圍內時，SIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣滿秩，性能嚴重下降。而此時MIMO雷達雜波加有源干擾協方差矩陣非滿秩，有足夠的自由度來抑制雜波和干擾，性能沒有明顯的下降，顯示了MIMO雷達相較于SIMO雷達的優越性。本文的分析與結論都是在比較理想的情況下得到的，可以對實際問題提供一定的參考。但本文只考慮了發射為理想正交波形的條件，對于發射為非正交波形的情況，以及如何再結合具體的情況對實際問題進行分析是下一步要進行的研究工作。

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