基于超混沌系統和密文交錯擴散的圖像加密新算法

朱從旭 胡玉平 孫克輝

①(中南大學信息科學與工程學院 長沙 410083)

②(廣東省電子商務市場應用技術重點實驗室 廣州 510320)

③(中南大學物理與電子學院 長沙 410083)

1 引言

隨著多媒體信息處理技術的廣泛應用以及互聯網、云計算技術的快速發展，多媒體數據日益廣泛地在因特網或云計算節點間傳播和存儲。如何有效保護用戶的秘密信息不被非法者使用，根本的措施是信息保密傳輸和存儲。傳統密碼學作為一般數據加密手段卻不太適合于圖像數據加密，原因是圖像類的信息具有數據量大、數據之間相關性高等特點。具有這種特點的數據用傳統密碼學加密會導致效率很低。在新的應用背景下，基于混沌的信息加密[1]和基于混沌同步的保密通信[2]已成為兩種典型的非傳統信息保密技術。混沌序列具有的內在偽隨機性、非周期性和可確定的快速再生性，正與密碼學所要求的特性天然相關；因此，混沌在信息加密中有著良好的應用前景，尤其在圖像加密場合有許多獨特優勢等待開發。

但是，以往研究的混沌加密技術大多數基于低維離散混沌映射[3-8]，少數基于 3維連續混沌系統[9,10]。雖然低維混沌系統由于形式簡單而具有計算時間開銷小的優點[1]；但由于其密鑰空間小，序列的復雜度不高，導致密碼系統安全性不高。而高維混沌系統尤其是超混沌系統，由于具有4個以上的狀態變量，因此密鑰空間更大；另外，超混沌系統具有兩個以上正的 Lyaponuv指數，其非線性行為更復雜也更難以預測。這些特點使得超混沌系統用于圖像加密無疑會提高系統的安全性。因此，隨著現代計算機系統性能的不斷提高，探索基于高維超混沌系統的圖像加密算法將成為主流需求。文獻[11]較先提出了一種基于超混沌系統的典型圖像加密算法，該算法由圖像像素位置置亂和像素值加密兩個階段組成。但是，文獻[12]發現該算法存在安全缺陷，其主要原因是該算法的密鑰與明文無關，導致無法抵御已知明文攻擊；其次是該算法的置亂和替代加密獨立，使置亂過程成為擺設。最近，文獻[13]提出了一種基于新型超混沌系統的圖像加密算法，該算法在加密過程考慮了密鑰與明文的相關性，但總體上沿用了文獻[11]的像素位置置亂和像素值加密的基本結構。調研發現，現有研究工作中對連續時間高維混沌序列的優化改造問題關注的不多；然而，混沌密碼的安全性很大程度上依賴于混沌序列的分布特性、復雜性和隨機性[14]。因此，對超混沌序列進行進一步改造無疑能提高密碼的安全性。此外，如何提高超混沌圖像加密算法的效率也值得研究。為了獲得高安全與高效率的圖像加密方案，本文提出了基于下列核心思想的超混沌圖像加密算法：其一，對超混沌序列進行優化改進，提高其隨機性和分布的均勻性。其二，建立密鑰與明文的復雜相關性，增強密文對明文和密鑰的敏感性。其三，省略像素置亂步驟，采取并行交錯的加密策略，提高加密效率和算法的復雜性。

2 超混沌密碼算法

2.1 超混沌系統模型及其序列改造

在本文的密碼方案中，我們采用如下新型超混沌系統[15]：

原始的超混沌序列并不適合直接用于圖像加密，其原因有二：一是實數序列的數值類型與數字圖像的像素值類型不匹配；二是數字化原始超混沌序列的分布特性和偽隨機特性并不很理想。基于以上原因，我們首先對原始超混沌序列進行改造，(1)使改進序列具有Golomb提出的理想偽隨機序列所擁有的特性，即均勻的分布特性；自相關函數接近d函數；互相關函數接近 0。(2)使改進序列的數據類型適合于圖像數據加密。

將混沌序列進行改造，生成中間混沌密鑰序列的步驟如下：

(1)設由系統生成的原始混沌序列表示為{xj(i):i=1,2,…,N0+L/4;j=1,2,3,4}。{xj(i)}包括 4 個(j=1,2,3,4)長度為(N0+L/4)的實數序列。其中，L為待加密圖像的像素點總數，N0為超混沌系統的預迭代次數。

(2)為了消除混沌序列暫態過程帶來的有害效應，以便增強序列對初始條件的敏感性，去掉原始混沌序列的前N0個值，得到 4個長度分別為L/4的子序列{xj(i):i=1,2,…,L/4;j=1,2,3,4}；再按照變換式(2)對序列{xj(i)}進行改造，得到改進序列{yj(i)}：

其中max_xj和min_xj分別是第j個序列中的最大值、最小值，j=1,2,3,4。然后由改進序列{yj(i)}經二次改造，得到4個混沌密鑰子序列{zj(i)}：

其中|x|取x的絕對值；floor(x)取小于或等于x的最大整數；m為正整數，在本文中取m=14。

(3)將改造后的4個子序列合并成長度為L的混沌密鑰序列K，合并方式如式(4)所示：

下面通過實驗證明：改進后的超混沌密鑰序列具有更好的偽隨機性和均勻分布特性。任取一組狀態變量初值(x10,x20,x30,x40)=(2.5, 5.2, 3.0, 7.3)，時間步長t1=0.001, 利用四階五級Runge- Kutta法求解系統式(1)的狀態方程組。以{z1(i)}和{z2(i)}兩個子序列的前 2000項為例，計算改造后序列{z1(i)},{z2(i)}的自相關系數以及兩個子序列{z1(i)}與{z2(i)}之間的互相關系數。計算前將序列值歸一化到[-1,1]范圍：Z1(i)=(z1(i)-127.5)/127.5,Z2(i)=(z2(i)-127.5)/127.5；得到的相關系數結果分別如圖1(a), 1(b)和1(c)所示。從圖 1(a)和 1(b)看出，前兩個改進序列的自相關函數都非常接近d函數；而從圖 1(c)也可以發現，前兩個改進序列之間的互相關系數非常接近于 0。進一步的實驗表明，其余幾個改進子序列具有類似的結果。圖1(d)則給出了中間混沌密鑰序列K的數值分布曲線，結果表明，生成的中間混沌密鑰序列值分布均勻。

圖2給出了改進前的X序列的對應結果。取前兩個序列得到的相關系數結果分別如圖 2(a), 2(b)和2(c)所示。可見，原始序列的自相關函數并不是d函數；前兩個原始序列之間的互相關系數也不接近于 0。進一步的實驗表明，其余幾個原始子序列具有類似的結果。圖 2(d)則給出了中間混沌密鑰序列K0的數值分布曲線，K0是將原始序列按線性轉換公式xxj(i)=[xj(i)-max(xj)]×255/[max(xj)-min(xj)]直接轉換成[0,255]范圍整數序列后，再連接起來所得到的中間密鑰序列。結果表明，這樣生成的中間混沌密鑰序列值分布是不均勻的。

2.2 新的圖像加密算法

本文提出的超混沌圖像加密算法的主要思路是：采用超混沌系統的4個狀態變量的初值作為原始密鑰；首先由超混沌系統式(1)生成4個混沌實數序列；然后將混沌實數序列按 2.1節所述方法進行優化改造，并得到性能優化的中間混沌密鑰序列K。接下來，利用中間混沌密鑰序列構造與加密圖像有關的最終密鑰序列Key，并利用最終密鑰序列Key對圖像像素進行兩個回合加密。在加密過程中，我們將圖像劃分成前后兩個子塊，同時對兩子塊進行并行加密；并引入密文交錯擴散機制。

設原始圖像像素大小為M行、N列，總像素數為L=M×N，其矩陣表示形式為P

相應的加密圖像矩陣用類似于式(5)的矩陣C表示，按逐行掃描順序所得的密文像素序列為{C(i),i=1,2,…,L}。明文圖像的前半子塊依次由像素序列{P(1),P(2),…,P(L/2)}組成, 后半子塊依次由像素序列{P(L/2＋1),P(L/2＋2),…,P(L)}組成。

第1回合的加密操作由步驟1至步驟3描述。

步驟1i←1；并對前一子塊的第1個像素分別采用式(6a)與式(6b)生成最終加密密鑰并進行加密操作；同時對后一子塊的第1個像素分別采用式(7a)與式(7b)生成最終加密密鑰并進行加密操作。

圖1 改進混沌序列的相關性和混沌密鑰的值分布特征

圖2 原始混沌序列的相關性及生成的密鑰序列值分布特征

在上述公式中，bitxor(x,y)將x和y按其二進制值進行比特位異或運算；mod(x,y)求x除以y得到整數商以后的余數。C0是一個預設的正整數，C0∈[1,255]。P(i),C(i)分別是原始圖像和加密圖像第i個像素的值。

步驟2i←i+1；并對前一子塊的第i個像素分別采用式(8a)與式(8b)生成最終加密密鑰且進行加密操作；同時對后一子塊的相應像素分別采用與式(7a)和式(7b)相同的公式生成最終加密密鑰并進行加密操作。

步驟3 重復步驟2，直到i=L/2，便完成了第1回合的加密操作。

第2回合加密操作由步驟4至步驟6描述。

步驟4i←1；并對前一子塊的第1個像素分別采用式(9a)與式(9b)生成最終加密密鑰且進行加密操作；同時對后一子塊的第1個像素分別采用式(10a)與式(10b)生成最終加密密鑰并進行加密操作。

步驟5i←i+1，并對前一子塊的第i個像素分別采用式(11a)與式(11b)生成最終加密密鑰并進行加密操作；同時對后一子塊的第i個像素分別采用與式(10a)和式(10b)相同的公式生成加密密鑰并進行相應的加密操作。

步驟6 重復步驟5，直到i=L/2，便完成了第2回合的加密操作，并得到密文圖像C。

從上述加密過程可見，對圖像像素加密所采用的最終加密密鑰Key(i)不僅與當前混沌密鑰K(i)有關，而且與另一子塊前一個已經加密的密文像素值有關，即引入了密文交錯擴散機制。因此，經過兩個回合的加密后，任何像素值的變化都將影響到其余所有像素的密文值。

設解密圖像用矩陣D表示，其像素值的表示形式類似于矩陣式(5)，按逐行掃描順序所得的解密圖像像素序列為{D(i),i=1,2,…,L},L為圖像像素總數。解密過程是加密過程的逆操作；但解密的像素順序為逆序。2個回合的解密操作共由 8個步驟組成。

第1回合的解密操作由下列步驟1至步驟4描述。

步驟 1i←L/2。

步驟 2 對后半子塊的第i個像素分別采用式(12a)和式(12b)生成解密密鑰并進行解密：

對前半子塊的第i個像素分別采用式(13a)和式(13b)生成解密密鑰并進行解密操作：

步驟 3i←i-1, 并判斷新的i值：如果i＞1，則執行步驟2；否則，執行步驟4。

步驟 4 對后半子塊的第 1個像素采用與式(12a)及式(12b)相同的計算公式生成密鑰并進行解密操作；而對前半子塊的第1個像素則分別采用式(14a)和式(14b)生成解密密鑰并進行解密操作，于是完成了第1回合的解密。

第2回合的解密操作由下列步驟5至步驟8組成。

步驟 5i←L/2。

步驟 6 對后半子塊的第i個像素分別采用式(15a)和式(15b)生成解密密鑰并進行解密：

對前半子塊的第i個像素則分別采用式(16a)和式(16b)生成解密密鑰并進行解密：

步驟7i←i-1, 并判斷新的i值：如果i＞1，則執行步驟6；否則，執行步驟8。

步驟 8 對后半子塊的第 1個像素分別采用與式(15a)，式(15b)相同的公式生成解密密鑰并進行解密操作；而對前半子塊的第1個像素則分別采用式(17a)和式(17b)生成解密密鑰并進行解密操作。

完成步驟8的操作后，就得到了最終的解密圖像D。

3 實驗仿真與性能分析

實驗中使用256×256的8位Elaine灰度圖像和其它經典測試圖像，在Matlab7.1下仿真。式(1)的系統參數取：a=27.5,b=3,c=19.3,d=2.9,e=3。這樣，系統式(1)是超混沌的。取系統狀態初值為(2.5,5.2,3.0,7.3)；微分方程組數值求解的時間步長取0.001；其它參數為：N0=1000,m=14,C0=52。對原始Elaine圖像進行2個回合的加密，加密前后的直觀效果如圖3所示。

圖3 圖像加密直觀效果

3.1 密鑰空間和執行效率分析

本文方案采用超混沌系統的4個狀態變量初值作為原始密鑰，用15位小數的雙精度實數表示。因此，密鑰空間可以達到1015×1015×1015×1015=1060≈2199，相當于199 bit的密鑰長度。若將預迭代次數N0和正整數C0也作為原始密鑰，則密鑰空間更大。故本文算法具有抗窮舉攻擊的能力。實驗硬件環境為2.13 GHz Intel Celeron CPU, 2 GB 內存和120 GB硬盤的筆記本計算機；軟件環境為 Windows XP+Matlab7.1編譯器。加密過程全部改用雙字節整數運算，加密一幅 256×256的灰度圖像耗時約0.047 s；比文獻[13]的結果0. 82 s約快了17倍。效率提高的主要途徑在于省去了置亂環節、采用整數運算且實行子圖并行加密策略。

3.2 統計特性分析

(1)像素值分布特性 圖4分別給出了Elaine明文圖像和密文圖像所對應的像素值分布直方圖，由圖 4(a)可見，原始圖像的像素值分布是不均勻的；但圖4(b)表明，密文圖像的像素值卻呈現出平坦而均勻的分布特性，即加密圖像的像素值在[0,255]范圍內出現的概率幾乎均等。因此，本文算法將能夠有效地抵抗統計攻擊。

(2)原始圖像和加密圖像的2維相關性 兩個數據矩陣之間的2維相關系數定義為

圖4 原始圖像和加密圖像的直方圖

(3)相鄰像素之間的相關性分析 從圖像中選取所有鄰居像素對(包括水平、垂直和對角方向的3類鄰居對)，用式(19)分別對每一類相鄰像素之間的相關系數進行計算[11]：

其中xi和yi分別表示圖像中第i組鄰居像素的兩個像素值；,分別為像素值xi與yi的平均值；M0為鄰居像素對的組數；r即為相鄰像素的相關系數。取與前所述相同的初始參數對Lena圖像進行加密，計算加密前后圖像3種方向的r系數，所得結果如表2第2，第3列所示。盡管明文Lena圖像的相鄰像素存在高度相關性(r→1)；但對應密文圖像的相鄰像素已幾乎不相關(r→0)。表 2同時也給出了文獻[11]和文獻[13]同樣基于超混沌的圖像加密算法的相應結果。對比已有算法，本文算法所得的密文圖像的r系數比文獻[11]和文獻[13]密文圖像的所有r系數更低，表明本文算法對于打破相鄰像素之間的相關性取得的效果更好。

表1 4種測試圖像中密文與明文圖像之間的相關系數

表2 明文和密文Lena圖像的相鄰像素相關性

3.3 抗差分攻擊能力分析

對明文的敏感性越強，算法抵抗差分攻擊的能力也就越強。可以用像素數改變率NPCR(Number of Pixels Change Rate)指標度量加密算法對明文的敏感性；也可以用歸一化像素值平均改變強度UACI(Unified Average Changing Intensity)指標度量敏感性。當兩個明文圖像僅存在一個像素不同時，設它們的密文圖像中第(i,j)點的像素值分別為C1(i,j)和C2(i,j)。若C1(i,j) =C2(i,j)，定義D(i,j)= 0 ；若C1(i,j) ≠C2(i,j)，定義D(i,j) = 1。則NPCR與UACI的計算公式分別為[1]

NPCR與UACI的理想期望值可以用下列公式計算

圖5 Lena圖像密文對明文的敏感性指標

3.4 對密鑰敏感性的測試

一個好的加密算法應該對密鑰具有強烈的敏感性，即密鑰的微小變化，將導致密文截然不同。本文實驗中先以(x10,x20,x30,x40)=(2.5,5.2,3.0,7.3)為加密密鑰，對 Cameraman圖像進行加密；然后用稍微不同的密鑰對加密圖像進行解密(解密密鑰每次僅使其中1個初始變量改變 1 0-10)，圖6分別給出了正確密鑰和x10錯誤密鑰的解密 Cameraman圖像。可見，密鑰的微小差異導致不能正確解密。為了度量解密圖像和原始圖像的差別，引入均方誤差MSE指標，設原始圖像及其解密圖像分別表示為P＝{P(i,j)}和D＝{D(i,j)},i=1,2,…,M,j=1,2,…,N。則圖像D與P之間的均方誤差計算公式為

圖6 正確密鑰和錯誤密鑰的解密結果

對Cameraman圖像，表3第1行給出了本文算法正確密鑰及4組錯誤密鑰所得解密圖像分別與原始圖像之間的均方誤差值，結果表明，正確密鑰可以實現完全精確解密；而具有微小錯誤的解密密鑰所解密的圖像將與原始圖像相差巨大。這體現了算法對密鑰的敏感性。表3第2行給出了文獻[13]算法所得解密圖像分別與原始圖像之間的均方誤差值。比較而言，本文算法對初始密鑰x10和x20更敏感；而文獻[13]算法對初始密鑰x30和x40更敏感。這是由于兩個超混沌系統的特性差異決定的。

表3 不同解密密鑰的解密圖像相對原始圖像的均方誤差

3.5 信息熵分析

信息熵是反映信息的隨機性的重要度量指標。設s代表一種信息源，則s的信息熵H(s)可以用式(25)進行計算：

其中P(si)表示符號si出現的概率，2n是信息源s的總狀態數。對一個能發出 2n個符號的真隨機信源，其信息熵就是n。以一幅 256級灰度圖像作為信息源為例，其像素值有28種可能值，因此一幅 256級灰度圖像的理想信息熵應該是 8。如果一幅 256級灰度圖像的加密圖像具有接近8的信息熵，則表明該密文圖像接近隨機分布。我們對標準Lena圖像用本文算法加密，得到其密文圖像信息熵為7.9976，非常接近理想值8。

3.6 混沌序列改進前后的加密性能對比

下面通過實驗測試，對比本文改進混沌序列相對于原始混沌序列所得加密圖像的性能差異。我們分別用圖1的K序列與圖2的K0序列得到中間混沌密鑰，然后用本文相同的加密方法加密同樣的Lena圖像，對兩種加密圖像的主要統計指標(2維相關性CAB，相鄰像素的相關系數r及信息熵)進行計算，結果如表4所示。結果表明，用改進序列生成的密鑰加密圖像具有更小的相關系數但更大的信息熵，因此，得到的加密圖像將具有更好的安全性。

表4 混沌序列改進前后所得加密圖像的統計結果對比

4 結束語

本文提出了改造新型超混沌系統混沌序列并結合密文交錯擴散機制的并行加密思想，優化改造的超混沌序列具有更好的隨機均勻分布特性。通過將待加密圖像分塊，以及對兩個子塊引入密文交錯擴散和并行加密機制，提高了加密效率和密文對明文的敏感性。實驗結果和分析表明，該算法具有如下特點：密鑰空間大、加密效率高；加密圖像像素具有均勻的統計分布特性；密文和明文以及相鄰像素之間的相關性都非常趨近于零；算法具有較強的抗差分攻擊能力和對密鑰的高度敏感性。因此，本文提出的加密算法可以用于圖像在因特網節點間、云計算核心與節點間的保密通信，以及圖像信息保密存儲等應用場合。

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