衛星陣饋反射面賦形波束天線的內積波束賦形方法

張亦希 張恒偉

（1.西安交通大學微波工程與光通信研究所，陜西 西安710049；2.63880部隊，河南 洛陽471003）

引 言

為了提高軌道資源、頻率資源的利用率，近年來衛星天線已廣泛地采用了賦形波束天線技術。衛星賦形波束天線與傳統的天線技術不同，它可以只在指定的、任意形狀的服務區域（如：在中國境內）內具有較高的增益，而在此區域以外則增益很低，因此它就具有許多傳統天線技術所沒有的優點：1）可以有效減小來自鄰近衛星通信系統的干擾，從而提高衛星軌道資源的利用率；2）可以提高天線的增益，從而提高衛星功率的利用率；3）可以在不同的波束間對頻率進行復用，從而提高頻率資源的利用率［1－4］。

圖1 衛星陣饋反射面天線的組成

陣饋反射面天線因為具有體積小、重量輕，且能對方向圖進行重新配置和對干擾進行自適應抑制等優點，而成為一種較為常見的衛星賦形波束天線形式。它主要由一個反射面天線、一個饋元陣以及一個波束成形網絡組成，如圖1所示。反射面天線一般是拋物面天線或卡塞格倫天線，而饋元陣則通常由喇叭天線組成。饋元陣放在反射面天線的焦平面上，產生的波經過反射面的反射會在遠場區形成一組形狀近似相同、均勻分布的點波束陣，波束成形網絡則通過調整各個饋元的激勵系數，來對這些點波束進行加權、疊加，從而形成一個只覆蓋指定服務區域的賦形波束。同時陣饋反射面天線由于可以在工作過程中對各饋元的激勵系數進行修改，所以可以對其方向圖進行重新配置，對干擾進行自適應抑制。

波束賦形方法主要用來尋找一組饋元的最佳激勵系數，以使天線的方向圖成為人們需要的任意形狀。目前，雖然已有不少有效的賦形方法，如最小p乘法［5］、最小最大法［6］、線性約束最小方差（LCMV）方法［7］等。但這些傳統的賦形方法在實際應用中存在一些缺點。例如：最小p乘法和最小最大法是迭代算法，運算效率很低。另外，這兩種算法和LCMV方法一樣，都是使賦形波束在某些方向上逼近目標方向圖的采樣值，而這些采樣的數量由于受到天線自由度的限制一般都小于采樣定理所要求的數量，所能得到的賦形波束對目標方向圖采樣的選擇十分敏感。為獲得滿意的賦形波束，這些傳統賦形方法往往需要對目標方向圖采樣的數量和位置進行反復調整，實際應用起來比較困難。因此，本文提出了一種基于內積運算的波束賦形方法。該方法是把目標方向圖作為一個整體，使賦形波束與目標方向圖在幾乎所有方向上的誤差總和最小，實際使用起來十分方便。同時它也是一種解析算法，具有較高的賦形精度和運算效率。

1 理論分析

1.1 衛星陣饋反射面賦形波束天線的數學模型

假設衛星陣饋反射面賦形波束天線的饋元陣共有N個饋元，且當第n個饋元的激勵系數為1，其他饋元的激勵系數全部為零時，天線產生的遠區場為fn（x1，x2），則當 N 個饋元的激勵系數分別為wn（n＝1，2，…，N）時，天線所產生的合成場f（x1，x2）為

式中x1，x2分別為觀察點的方位角和俯仰角［8－9］。fn（x1，x2）在天線幾何結構已知的條件下，可用物理光學法來確定［10－11］。

對陣饋反射面天線進行波束賦形，是要在目標方向圖已知的情況下，求一組最佳激勵系數以使賦形波束與目標方向圖間的誤差最小。陣饋反射面天線的波束賦形問題可以用數學方法表示為

式中：fd（x1，x2）為天線的期望場；｜·｜表示矢量的模值；‖·‖表示函數的范數。賦形誤差E的定義方法及最小值求法的不同，就形成了不同的波束賦形方法。

1.2 傳統的波束賦形方法

目前較為常用的波束賦形方法主要有最小p乘法、最小最大法和LCMV方法等。

對于最小p乘法，其賦形誤差定義為

以天線在K個采樣點處合成場與期望場間誤差的總和為優化目標函數，用現有的優化算法，如Fletcher－Powell算法，不斷地調整各饋元的激勵系數直到目標函數值達到最小。

對于最小最大法，其賦形誤差定義為

最小最大法通常用在要求賦形波束的最大旁瓣電平或者服務區域內天線增益的最大起伏要小于某個值的場合。

對LCMV方法，其基本思想則是在保證天線在Km個方向（x1i，x2i）（i＝1，2，…，Km）上的合成場等于期望場的條件下，使天線的總輻射功率最小，即

約束條件

1.3 基于內積運算的波束賦形方法

由于，式（3）可以看成是誤差e（x1，x2）的范數，因此式（2）就可以看成是要在由N 個函數fn（x1，x2）所張成的線性空間中求fd（x1，x2）的最佳逼近。故e（x1，x2）必與這個線性空間fn（x1，x2）正交。于是，對任意整數m（1≤m≤N），對式（4）兩邊同時與fm（x1，x2）作內積運算，則有

式中＜·＞表示兩個函數間的內積運算。若賦形誤差E定義為

則式（10）的左邊為

式中＊表示復共軛。由于式（12）實際上僅是一個與m有關的常數，故可記作dm.同理式（10）的右邊也是一個僅與m和n都有關的常數，可記作cnm.于是，式（10）可重寫為

式（13）可寫為矩陣形式

式中：D＝［d1，d2，…，dN］T；W＝［w1，w2，…，wN］T；

因此，天線的最佳激勵系數就是方程（14）的解

由于每個點波束中心的位置各不相同，且間隔較大，各個點波束的遠區場是近似正交的，矩陣C滿秩，方程（14）有唯一解。

2 仿真結果分析

以下對一個以中國本土為服務區域的衛星陣饋反射面賦形波束天線，分別用最小p乘法、最小最大法、LCMV方法和內積波束賦形方法進行賦形，以驗證這種基于內積運算的波束賦形方法的有效性和優越性。天線的饋元陣選為饋元數為61的正六邊形陣。為了便于計算，fn（x1，x2）用D.Sonderogger等人所給的近似表示式來代替［12］，具體如下

式中：J1（u）是變量為u的第一類一階Bessel函數；da為天線有效口徑的直徑（單位：m）；η為天線的效率；f為工作頻率（單位：Hz）；c為光速（單位：m／s）；x1n和x2n分別為第n個波束中心的方位角和俯仰角（單位：（°））。在本例中，波束間隔選為0.85°，η＝0.25，f＝6GHz，da＝4.04m，此時點波束的寬度為0.85°.

圖2 最小p乘法得到的賦形波束方向圖

在相同情況下對中國本土用不同的賦形方法賦形后，所得到的賦形波束分別如圖2、4、6、8所示，各圖中的黑色粗線為中國本土的邊界線在衛星視場內的投影，六根黑色細線分別為天線的實際方向圖在－3dB、－5dB、－10dB、－15dB、－20dB和－30dB－30dB時的等高線。各賦形波束所對應的目標方向圖采樣如圖3、5、7、9所示，各圖中o表示目標方向圖在主瓣區域內的采樣，而＊則表示旁瓣區域內的采樣。比較圖3、5、7、9可見：最小p乘法、最小最大法、LCMV方法由于都是優化算法，故受到天線自由度的限制，只能采用數量較少、且位置不規則的采樣，為獲得滿意的賦形波束，天線設計人員往往需要對目標方向圖采樣的數量和位置進行反復調整，實際應用起來十分困難。而內積方法由于可以選擇數量較多、位置規則的采樣，如圖9所示分布在正四邊形網格上的采樣，在這些采樣點上計算dm和cmn，由式（14）計算出最佳激勵系數，只要采樣點的密度滿足采樣定理的要求，即采樣點的密度應大于目標方向圖頻域帶寬的2倍，最佳激勵系數就可以使賦形波束與目標方向圖在幾乎所有方向上的誤差總和最小，所以，內積方法不用反復調整采樣點的數量和位置，就可以產生滿意的賦形結果。在本仿真中，三種傳統賦形方法在得到圖2、4、6中的賦形波束前，都對約束條件進行幾十次甚至上百次的調整，而內積方法則只運行了一次就得到了圖8中的賦形波束。

圖3 最小p乘法的采樣點位置

同時，比較圖2、4、6、8可見，LCMV方法和內積方法的賦形精度最高，遠高于最小p乘法和最小最大法。同時這四種方法在同一臺計算機上的運行時間分別為：最小p乘法1.9min，最小最大法7.24min，LCMV方法為0.004 95min，內積方法則為0.29min.因此，由于這種賦形方法和LCMV方法都是解析算法，故它們的運算效率也遠高于前兩種方法。

圖4 最小最大法得到的賦形波束方向圖

圖9 內積法的采樣點位置

3 結 論

由以上分析可見：由于內積賦形方法首先是一種解析法，因此它有較高的賦形精度和較快的運算速度，同時它是把目標方向圖作為一個整體，是使賦形波束與目標方向圖在幾乎所有方向上誤差的總和最小，而不是在一些有限數量的采樣點上的誤差總和最小，所以不需要對選擇采樣點的數量和位置進行反復調整，實際使用起來十分方便。

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