自由空間導線天線輻射模式分析

余飛群 葉尚福

（盲信號處理重點實驗室，四川 成都610041）

引 言

自Hertz 19世紀末創立天線理論以來，獲得天線輻射細節一度成為天線研究的熱點［1］。天線輻射過程通常與已建立的傳輸線的傳輸過程進行類比，天線電流分布也因此成為主要研究對象，并認為是與天線輻射有關的非常重要的信息。繼Hertz之后，Pocklington從細導線假設出發，建立導線天線電流滿足的積分微分方程，并指出電磁波沿導線以光速傳播，導線天線的電流分布近似為正弦分布；此后Hallen在此基礎上將積分微分方程化為積分方程，并提出求解該積分方程的近似方法［1－2］；高速計算機出現以后，K.K.Mei和Harrington先后利用數值方法求解該積分方程，并提出天線電流求解的矩量法［3－4］。雖然由天線電流分布可以獲得天線的諸多性能參數，包括阻抗、輻射方向圖等，但電流分布并不能很方便地表征天線作為輻射器向空間輻射電磁波的清晰物理圖像。

研究天線輻射特性的另外途徑是將天線體表面作為邊界條件，選擇合適的坐標系直接對Maxwell方程進行求解。最初選擇的是長旋轉橢球坐標系［5－6］，該坐標系當偏心率接近于1時，退化為有限長度的導線段，而當偏心率接近于0時，退化為球坐標系，因而長旋轉橢球坐標系具有一定的通用性。采用分離變量的方法，可將該坐標系下赤道面附近饋電的長旋轉橢球天線外的場表示為無窮項橢球波之和的形式，求和式中每一項對應天線輻射的一個模式，不同的模式在天線上激勵出不同模式的電流，同時向外空間輻射一定的能量，天線上的總電流等于主模及所有高次模激勵出的電流的總和，而天線以外的場則是所有模式場共同作用的結果。Chu和Stratton關于天線輻射場橢球波展開的思想很好地描述了天線輻射的機制，但因橢球波函數計算上的復雜性以及矢量橢球波函數的非正交性，在實際中受到較少關注［7］。

依據中心饋電天線徑向傳播的特點，Schelkunoff選擇球坐標系對雙錐天線進行研究［1，8］。按照Schelkunoff的理論，電磁波首先沿天線雙臂按照TEM（橫電磁波）模式進行傳播，到達天線末端后一部分電磁波繼續向外傳播，并分裂成眾多高次球諧波，而一部分將因為端效應電磁波則被反射回來，在天線附近區域形成駐波。Schelkunoff關于雙錐天線輻射過程的物理圖像是非常清晰的。天線近場及輻射場按照球面波函數進行展開，不同的球面波函數在空間呈現不同的電磁場結構，同時與球面波函數相關的球貝塞爾函數及連帶勒讓德函數在數值上易于求解，因而天線輻射場球面波展開得到廣泛應用。

雖然場的球面波展開法早在1935年由Hansen最先提出［9］，并且成功應用于平面波照射下導體球散射截面的計算［10－11］及電小天線相關性能指標，如天線增益和Q值的計算等問題。但通過解析的方法，僅能獲得極其有限數量的問題的解。更多的時候，人們需要通過適當的近似，并借助于計算機，得到波型展開系數的近似值。而針對天線輻射這一特定問題，球面波展開法所能獲得的定量結果僅限于電偶極子和磁偶極子等的輻射問題［12－13］，很少有文獻給出實際天線輻射場球面模式定量分析結果。

將球面波展開法引入到自由空間細導線天線輻射場的分析中：首先按照矩量法一般方法，采用分段正弦基函數對細導線上的電流分布進行展開并采用迦略金法求解電流展開系數；同時因為分段正弦電流輻射場均具有嚴格的解析表達式，因而可進一步獲得細導線天線較為準確的輻射場表達式；最后結合數值積分方法，得到天線輻射場的球面波型展開系數。以該方法為基礎，論文定量分析了三種基本天線的輻射模式，包括偶極子天線、圓環天線以及螺旋天線，仿真結果表明：該方法在分析天線輻射特性方面是正確并有效的。

1 天線輻射場計算

任意彎曲導線可用多段長度很小的直線段進行近似，且在細導線天線近似下，導線天線電流沿天線軸向流動，因而任意彎曲導線天線電流可表示為

式中，s為沿導線的曲線坐標，分段數為N＋1（相鄰兩分段構成一對偶極子，偶極子總數為N），且

式中：γ＝j k，k＝2π／λ，λ為工作波長；un為第n段導線段切向單位矢量，且un＝（cosαn，cosβn，cosγn），其中cosαn，cosβn，cosγn為第n段導線段方向余弦。

按照式（1）給出的電流分布，第n段導線段實際上的電流分布為

對于末端開路的實際天線，天線末端電流為零，有I0＝IN＋1＝0.

式（3）給出的電流分布在球坐標系下坐標為（r，θ，φ）處的輻射場為［14］

式中：

而 K＝ηe－γr／（4πrsinhγd），矢量rni＝（xni，yni，zni）為第n段導線段端點位置坐標。單位矢量ur，uθ，uφ為球坐標系坐標矢量。式（4）的輻射電場計算式中，未涉及任何對源點的積分，這也是正弦基相對于其它基函數，如三角函數基的優勢所在。

式（1）中電流系數In由矩量法解得，按照式（4）并通過各分段正弦電流的場量疊加，可獲得整個天線總的輻射電場表達式，天線總的輻射磁場可通過遠區輻射場的輻射條件由總輻射電場計算得到。

2 場量已知時球面波展開系數的確定

對于第1章方法得到的E，H在某特定球面r＝r0以外的空間中的場，可用球矢量波函數 Mim，n，Nim，n表示為［10－11］

式中，r0可選為包含天線結構的最小球面半徑，對于輻射場而言，r0可選為場點r坐標。矢量函數，滿足

式中：i＝1，2，n＝0，1，2，…，m＝0，1，2，…，n.且i＝1時，式（12）取cos mφ，i＝2時式（12）取sin mφ；（cosθ）為連帶勒讓德函數；（kr）為第四類球貝塞爾函數。

若已知球面r＝r0上的切向電場Et（r0，θ，φ），則可分別以矢量波函數（r0，θ，φ），（r0，θ，φ）點乘式（8），并對整個r＝r0球面積分，同時利用矢量波函數的正交關系，最終計算得到系數為

式中：

當已知球面r＝r0上的切向磁場 Ht（r0，θ，φ），可按相同方法得到展開系數的計算式。

3 實際算例及結果分析

將前兩章所述方法應用于三種基本單元天線：偶極子天線、圓環天線以及螺旋天線的輻射模式分析。通過實際算例，驗證球面波展開法在研究天線輻射特性分析方面的有效性。三種基本單元天線空間位置如圖1所示。

圖1 三種基本單元天線示意圖

3.1 偶極子天線

考慮雙臂總長為2L的直偶極子天線情況。偶極子天線軸線與球坐標系下θ＝0重合，導線中心位于坐標原點。此時天線輻射場與φ無關，輻射場電場的切向分量僅含Eθ分量，天線r＝L以外空間的場僅含模，因而＝0，僅需按式（14）計算系數

為驗證計算方法及計算程序的正確性，采用類似的方法對r＝r0天線的近場進行球面波展開系數的計算。其中近場由各分段正弦電流產生的嚴格近場表達式通過場量疊加獲得［12］。近場展開時，選擇切向磁場Hφ作為展開對象，并按式（16）計算系數

表1給出了L＝0.25λ，導線參數Ω＝15（其中Ω＝2ln（2L／a），a為導線半徑），r0分別取L，2L 時，式（14）計算得到的系數以及r0＝100λ時，式（16）計算得的系數.由表格1數據可知，不同球面半徑下得到的近場的各模式展開系數相同，同時與輻射場球面波展開所得結果吻合較好。由于偶極子天線饋源附近切向電場相對于θ對稱，這要求球面波展開各項為θ的奇函數，天線饋電區及近場區所有偶次模系數為零［1］，表1的計算結果證實了這一點。

表1 采用不同方法得到的系數

表1 采用不同方法得到的系數

n 1.0L 2L 100λ 1 3.476 3＋2.156 4i 3.476 3＋2.156 4i 3.479 7＋2.150 9i 2 －0.000 0－0.000 0i －0.000 0－0.000 0i －0.000 0－0.000 0i 3 0.111 0＋0.073 1i 0.111 0＋0.073 1i0.111 7＋0.072 1i 4 －0.000 0－0.000 0i0.000 0－0.000 0i －0.000 0＋0.000 0i 5 0.001 9＋0.001 3i 0.001 9＋0.001 3i 0.001 9＋0.001 2i

圖2給出了r0＝100λ時，L分別取0.25λ，0.5λ，0.75λ和1.0λ時偶極子前6個奇次模系數模值曲線圖。其中縱坐標含義為從圖1可以看出，天線臂長不同，激勵的各模式相對幅值不同。單就模來說，天線處于諧振狀態（即L取0.5λ和1.0λ）下激勵出的模式幅值明顯小于非諧振狀態激勵出的模式幅值。諧振狀態下，激勵出的主模為模；對于臂長為1.5λ的偶極子天線，激勵出的主模為模，且n＞3后各模式幅度隨n增大迅速減小；而對于臂長2.0λ的偶極子天線模以后，幅值超過，n＞5后各模式幅度隨n增大迅速減小。偶極子天線能夠激勵出的模式類型與導線上天線電流分布的振蕩半周期數有關［1］，如果要激勵出幅值顯著的更高模式的球面波，則需要天線電流振蕩半周期數增加到相應數值，天線將需要做得更長。圖1給出的結果與文獻［1］理論吻合。

3.2 圓環天線

圖2 不同長度偶極子天線TM10，n模式系數值

作為第二個例子，以環半徑為b，導線半徑為a的圓環天線作為研究對象。圓環位于xy平面內，中心與坐標原點重合，饋電點位于圓環上φ＝0處。為使獲得的導線電流能真實反應圓環的軸向電流，取參數Ω＝2ln（2πb／a）＝15.由于圓環結構上的對稱性，電場分量Eφ關于φ＝0，π和θ＝π／2對稱，而分量Eθ則關于φ＝0，π和θ＝π／2反對稱。又由矢量波函數，關于θ，φ 的對稱性質及積分式（13）、（14）知當i＝1且n－m 為奇數時有非零值；當i＝2且n－m為偶數時有非零值。

圖3 不同周長圓環天線各模式系數值

圖3（a），圖3（b）分別給出了圓環周長C＝2πb取0.5λ，1.0λ和2.0λ時，圓環天線激勵出的各模式幅度曲線圖。與上面初步分析結果一致，圓環天線能夠激勵出的模式僅含有及.對于固定的m，各模式幅度隨n增大而減小，且天線尺寸較小時，幅度模值隨n增大衰減更快。對于固定的n，不同的圓環周長C激勵出的主模有所不同。如C＝0.5λ激勵出的主模為和；而對于C＝1.0λ激勵出的主模則為和；而對于C＝2.0λ激勵出的主模變為為和.主模出現以后的各模式幅度隨m增大而減小。對于不同的圓環周長，大部分相同模式號的模式對應的幅度隨C減小而減小，對于高次模這種變化趨勢更為明顯。

3.3 螺旋天線

自由空間的中饋螺旋天線被認為是一種阻抗和增益隨頻率高敏感的天線結構［15］，需謹慎選擇天線結構參數。本節對文獻［15］中工作在不同模式下的兩種螺旋天線結構按照前述方法進行輻射模式分析，兩種螺旋天線的結構參數摘錄如表2所示。

表2 用于仿真的螺旋天線結構參數

圖4（a），4（b）給出了工作在法向模下的螺旋天線激勵出的輻射模式。在這一特定結構下，輻射的模式主要以和為主，這些模具有水平面全向特性。對于給定的m，模式的幅度大部分隨n－m增加而迅速降低，但也存在部分模式的幅度，如和，m＞1在達到一個 峰值后 再隨n－m增加而減小。而對于給定的n－m，大部分模式幅度隨m的增加而減小。

圖5（a），5（b）給出了工作在軸向模下的螺旋天線激勵出的輻射模式。對比圖4（a），4（b），工作在軸向模下的螺旋天線其輻射的模式類別遠比法向模豐富。在本例這一特定天線結構下，各模式幅度在量級上差別并不是很大，天線的幾個主要模式存在于m＝1時。對于給定的m，大部分模式的幅度隨n－m增加先達到一個峰值，然后再隨n－m增加而迅速減小。對于給定的n，各模式的幅度隨n－m增加而減小。這些規律與工作在法向模時的螺旋天線規律基本相同。

圖5 工作在軸向模下的螺旋天線各模式系數值

4 結 論

雖然已知場量的球面波展開法很早之前已經提出，但很少有文獻給出實際天線輻射場的球面模式分析的定量結果。論文利用由矩量法計算得到的天線輻射場，結合場量球面波展開的一般理論，將球面模式分析引入自由空間細導線天線輻射模式的分析中。利用數值積分方法，定量給出了三種基本單元天線：偶極子天線、圓環天線以及螺旋天線的輻射模式細節。從這三種基本單元天線的輻射模式的分析中，基本可以推斷，導線天線電流在三維空間分布形式越復雜，電流分布具有的對稱性越少，其輻射模式越豐富。

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