軟黏土的三軸蠕變試驗與修正的Singh-Mitchell蠕變模型

劉業科，鄧志斌，曹平，黃永恒，林杭

(1. 中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙，410083；2. 湖南省公路管理局，湖南 長沙，410011)

土體蠕變特性的早期研究一般都集中在其本構模型的建立和一些非常理想化問題的解析解，研究成果能夠直接應用于生產實際的并不多[1-3]。隨著數值解的發展，土流變理論的工程應用取得了長足發展，選用適當的本構模型和求解方法，解決實際工程中出現的各類問題，已成為土流變研究的重要發展方向和發展趨勢[4-7]，于是，發展了非線性經驗蠕變模型，即完全通過室內試驗結果而抽象的應力-應變-時間關系。對于不同的土、不同的試驗條件，可能有各不相同的經驗公式。雖然這樣建立的經驗模型缺乏嚴密的理論依據，僅能反映簡單加載或特定應力路徑情況下的蠕變現象，但是，經驗模型的優勢在于只要少量的參數就

能達到較好的擬合效果，所以，在工程實踐中具有一定的應用價值。早期的土體蠕變試驗主要為最為方便的利用常規固結儀的一維固結試驗，但其試驗加載路徑為特殊的等有效應力比路徑，使得土樣在該試驗條件下蠕變得不到充分發揮，蠕變速率隨蠕變程度的增加而減小。為了充分揭示土體蠕變特性和規律，可選擇進行三軸固結蠕變試驗，如著名的經驗蠕變模型Singh-Mitchell模型[8]與Mesri模型[9]就是總結三軸蠕變試驗結果的基礎上提出的。此后國內外不少研究者在采用三軸固結蠕變試驗的基礎上，針對這2種著名的經驗蠕變模型開展了土體蠕變特性的研究。Lin等[10]比較了Singh-Mitchell模型與Mesri模型的不同之處，提出了考慮超固結因素的新的蠕變方程，此方程拓展了偏應力水平D的適用范圍。王常明等[11]探討了濱海軟土的三軸蠕變規律，針對試驗結果研究得到軟土具有非線性蠕變特性，將 Singh-Mitchell蠕變模型中的應力-應變關系修正為雙曲線是合適的，并建立了相應的蠕變模型。王琛等[12-15]分別采用Singh-Mitchell模型與Mesri模型描述三峽泄灘滑坡滑動帶土的蠕變特性，并提出了改進的Mesri模型，即對其應變－時間冪函數關系中的冪指數依據蠕變的不同階段(蠕變衰減、等速蠕變和穩定蠕變)進行分段擬合。盧萍珍等[16]在總結 Singh-Mitchell模型與 Mesri模型的基礎上，提出了采用冪函數表示應力-應變關系，采用雙曲線表示應變-時間關系的蠕變方程。這些學者對軟黏土經驗蠕變模型選取何種函數體來模擬蠕變試驗的應力-應變關系和應變-時間關系的分析不夠深入，有必要開展進一步的研究工作。在此，本文作者以湖南省竹城公路路基軟黏土為研究對象，開展三軸蠕變試驗，首先采用 Singh-Mitchell蠕變模型對該軟黏土蠕變特征進行描述，分析其計算結果與室內試驗結果的差異的原因，并對 Singh-Mitchell蠕變模型提出了相應的修正方法。

1 三軸蠕變試驗

1.1 試驗儀器及土樣基本物理力學指標

試驗儀器為中科院武漢巖土所對普通的 SJ-1A.J型應變式三軸儀改裝而成新三軸蠕變試驗儀。

土樣取自湖南省竹城公路某高路堤路段，取樣深度為 3.6～8.0 m。針對土樣開展了一系列室內土工試驗，取得該土樣的基本物理力學性質指標如下：天然含水率為42.3%，濕密度為1.79 g/cm3，土中固體礦物的質量與同體積4 ℃時的純水質量比為2.71，液限為41.9%，塑限為20.1%，平均孔隙比為1.19，壓縮系數為0.64 MPa-1,壓縮模量為3.07 MPa，黏聚力為6.6 kPa,內摩擦角為21°，可知該土樣為軟塑黏土[17]。

1.2 加載方法與步驟

土體的室內蠕變試驗通常有恒定荷載和梯級荷載2種加載方法。本文的室內蠕變試驗采用梯級荷載加載方法。試驗步驟如下：首先，進行室內CU三軸剪切試驗，以確定不同圍壓下的破壞偏應力qf，這里的qf為一定圍壓 σ3下達到破壞時的軸壓 σ1與圍壓 σ3差值，為確定蠕變試驗梯級荷載加載等級提供依據。其次，根據土樣的破壞偏應力qf，確定蠕變試驗的各級荷載(加載等級n一般分為5～8個等級，即n=5～8,每級應力水平增量為(qf/n))。從所設定的第一個應力等級水平開始進行分級加載三軸蠕變試驗，根據參考文獻[18]，認為三軸固結不排水蠕變試驗的每級的蠕變穩定標準為連續1 d內變形量小于0.01 mm即視為達到穩定狀態，則可以進入擬定的下一級應力水平蠕變試驗。蠕變試驗試樣直徑Φ=39.1 mm，高度H=80 mm。整個蠕變試驗都在控制溫度為(24±1) ℃范圍內進行，以保證外界溫度對試驗的影響最小化。

1.3 試驗結果

以圍壓σ3為100 kPa的土樣為例進行試驗并對試驗結果進行分析。通過對土樣進行三軸固結不排水試驗(CU試驗)，確定土樣圍壓σ3為100 kPa時的破壞偏應力qf為134 kPa，見文獻[17]。根據CU試驗結果確定三軸固結不排水蠕變試驗為6級加載，各級偏應力q1～q6依次為 30，60，90，110，140 和 170 kPa。根據確定的6級偏應力進行三軸蠕變試驗，可得100 kPa圍壓下土樣的三軸蠕變全過程試驗曲線、由梯級荷載加載轉換所得的恒定荷載加載試驗曲線和蠕變等時曲線，見圖1～3。

圖1 100 kPa圍壓下三軸蠕變全過程試驗曲線Fig.1 Full-process tri-axial creep curve under confining pressure of 100 kPa

圖2 100 kPa圍壓下土樣的恒定荷載加載蠕變曲線Fig.2 Creep curves under different single load levels with confining pressure of 100 kPa

圖3 100 kPa圍壓下土樣的應力-應變等時曲線Fig.3 Stress-strain isochronal curves under confining pressure of 100 kPa

從圖1～3可以看出，土樣在試驗過程中表現出明顯的非線性變形特征。由圖1和圖2可知：當所施加的偏應力q(如q=30，60，90，110，140 kPa)低于一定值時，應變-時間曲線具有明顯的衰減特征，在加載初期應變量快速增長；隨著試驗時間延長，應變量減速增大并最終趨近于極限應變量值ε∞，土樣未發生破壞；而當所施加的偏應力(如q=170 kPa)高于這一數值時，應變量將加速增大并最終導致土樣破壞。分析試驗結果后可初步判斷土樣的破壞偏應力在 140～170 kPa之間，從保守的角度考慮，可將圍壓為 100 kPa下土樣的破壞偏應力qf修正為150 kPa。由圖3可知：試驗時間相等的前提下，應力-應變曲線具有明顯上揚的特征，應變總量隨所施加偏應力的增大而加速增長，不同應力下土樣的瞬時應變量較小且變化不大。所得到的三軸梯級荷載加載蠕變試驗數據、曲線和結果分析及修正后的土樣破壞偏應力qf為經驗蠕變模型的建立與驗證提供了依據。

2 經驗蠕變模型

2.1 巖土體經驗蠕變模型簡介

巖土體的非線性經驗蠕變模型表現為完全通過室內蠕變試驗結果而抽象得到的應力-應變-時間關系，其蠕變方程包括變形函數(應力-應變關系)和蠕變函數(應變-時間關系)2部分。其中，應力-應變關系可由冪函數、指數函數和雙曲線函數表示，應力-時間關系可由冪函數、對數函數、指數函數和雙曲線函數表示[19]。在建立蠕變方程時，既可選擇相同的函數來表達應力-應變關系和應變-時間關系，也可選擇不同函數形式進行組合，究竟選擇何種函數組合形式由應力-應變試驗曲線和應變-時間試驗曲線滿足何種形式的函數關系而定。

2.2 Singh-Mitchell經驗蠕變模型

1968年 Singh等[8]提出的著名的 Singh-Mitchell經驗蠕變模型是在總結了單級常應力加載，排水與不排水三軸壓縮試驗數據的基礎上，采用指數函數表示應力-應變關系、采用冪函數表示應變-時間關系的經典的經驗蠕變模型，該模型能夠很好地反映土的蠕變特性。此外，國內一些專家學者也采用該模型對一些地區的軟黏土蠕變特征進行描述，認為該模型可以很好地模擬一些地區軟黏土的蠕變特性[11-12]。因此，本文首先采用原 Singh-Mitchell經驗蠕變模型模擬軟黏土的蠕變特性，探討該模型計算結果與室內蠕變試驗結果的差異，以針對其不足提出相應的修正方法。Singh-Mitchell經驗蠕變模型方程可表示為：

對式(1)進行積分，m≠1且不考慮初始應變，可得：

式中：B=Artr/(1-m)；β=a；λ=1-m。

當t=tr時，式(2)可以寫成：

根據式(3)和式(4)，β和 B的可以直接從 tr＝1 h時的lnεr-Dr關系曲線圖中的斜率與截矩求得。

由式(2)～(4)可知：Singh-Mitchell經驗蠕變模型只需要確定的3個參數為B，β和λ。

首先確定λ。根據三軸蠕變試驗結果(詳見參考文獻[17])，將圖2的坐標進行對數變化即可繪制出蠕變lnε-lnt關系曲線，對lnε-lnt曲線進行線性擬合后的斜率λ平均值為0.171 5。

然后確定B和β。根據CU試驗和三軸蠕變試驗結果，將圍壓為100 kPa下土樣的破壞偏應力qf修正為150 kPa，則各級偏應力下的應力等級如表1所示。

表1 梯級加載下的偏應力水平Table 1 Deviatoric stress level under multi-grade load

取 tr=1 h，lnεr-Dr關系曲線見圖 4，對 lnεr-Dr曲線進行線性擬合后的斜率 β與截矩 lnB分別為：β=3.081 2，lnB=-6.246 3，則 B=0.001 9。

圖4 圍壓為100 kPa的土樣的lnεr-Dr關系曲線Fig.4 Relationship of lnεr-Dr for soil sample with surrounding stress of 100 kPa

則圍壓 100 kPa下三軸蠕變試驗軟黏土的Singh-Mitchell蠕變方程的表達式為：

取一定的時間變量，根據三軸蠕變試驗結果和式(5)的計算結果可得出tr=1 h后的Singh-Mitchell蠕變模型計算曲線與試驗曲線的比較圖(見圖5)。

由圖5可知：軟黏土的Singh-Mitchell蠕變模型計算曲線與室內三軸蠕變試驗曲線基本趨勢一致，都是在加載初期應變快速增長，隨著加載時間的增加，應變表現出明顯的衰減特征；但是，在各偏應力下傳統的 Singh-Mitchell蠕變模型計算結果與實驗結果的誤差較大，Singh-Mitchell蠕變模型描述偏應力在破壞偏應力的20%～80%范圍內的蠕變行為較為合適，如當偏應力Dr=0時，實際的εr應為0，而 Singh-Mitchell蠕變模型計算結果仍有極限長期應變 0.001 9；當Dr=0.933 3時，Singh-Mitchell蠕變模型計算的蠕變量遠小于實驗結果，并且各偏應力下的模型計算曲線在蠕變后期上升較快，曲線較陡，偏離試驗曲線。由上分析可知：傳統的 Singh-Mitchell經驗蠕變模型的計算結果與軟黏土三軸蠕變試驗結果吻合度不高，需要對該模型進行修正。

圖5 試驗曲線與Singh-Mitchell模型計算曲線比較圖Fig.5 Comparison of results obtained from Singh-Mitchell model and laboratory tests

2.3 修正的Singh-Mitchell經驗蠕變模型

傳統的 Singh-Mitchell經驗蠕變模型對軟黏土蠕變試驗結果的擬合不好，需要對模型進行修正。由于巖土體的非線性經驗蠕變模型表現為完全通過室內蠕變試驗結果而抽象得到的應力-應變-時間關系，因此其蠕變方程究竟選擇何種函數組合形式由應力-應變試驗曲線和應變-時間試驗曲線滿足何種形式的函數關系而定。從圖2、圖3和傳統的Singh-Mitchell經驗蠕變模型蠕變方程的分析結果可知，導致該模型蠕變方程的計算結果與試驗蠕變結果出現誤差的主要有 2個原因。

(1) 分析圖3試驗應力-應變等時曲線可知：該軟黏土土樣的應變隨所施加偏應力的增大而加速增大，同時具有凹函數曲線和單調增加函數曲線的特征，所以經驗蠕變模型方程中用于描述試驗應力-應變關系的函數必須同時具備這 2個特征。由于傳統的Singh-Mitchell經驗蠕變模型采用指數函數描述應力-應變關系，因此，對指數函數進行最小二乘法擬合分析，結果表明指數函數可以同時滿足凹函數和單調增加函數的特征，則可確定采用指數函數描述軟黏土三軸蠕變試驗的應力-應變關系是合適的。但是，傳統的 Singh-Mitchell經驗蠕變模型采用指數函數描述應力-應變關系時，由于采用單純的自然指數形式εr=BeβDr，致使當 Dr=0 時，εr=B 不為 0，與實際不符。

(2) 分析圖2試驗應變-時間曲線可以可知：該軟黏土土樣衰減蠕變階段的應變量隨試驗時間的增長而減速增大并最終趨于一極限值，具有明顯的衰減特征，同時滿足有極值、凸函數曲線特征和單調增加函數曲線特征，所以，經驗蠕變模型方程中用于描述試驗應變-時間關系的函數必須同時具備這 3個特征。而傳統 Singh-Mitchell經驗蠕變模型采用冪函數來表示應變-時間關系。冪函數的最小二乘法擬合結果顯示：冪函數可以同時滿足凸函數和單調增加函數的特征，但沒有極值，應變隨時間不斷增長，且在蠕變后期增長較快，曲線較陡，這與上節所得模型計算曲線在蠕變后期較陡、偏離試驗曲線的結果一致，與此同時，傳統Singh-Mitchell經驗蠕變模型蠕變方程應變-時間部分的冪λ為各偏應力下的平均值，只與q=90 kPa時的斜率λ3相近，因此，只有偏應力q=90 kPa下的試驗曲線與傳統 Singh-Mitchell經驗蠕變模型擬合曲線較接近，其他偏應力下模型計算蠕變量與試驗結果偏差很大。因此，傳統 Singh-Mitchell經驗蠕變模型采用冪函數來表示應變-時間關系對于本試驗軟黏土是不合適的。

解決方案如下：仍用指數函數描述應力-應變關系，將原Singh-Mitchell經驗蠕變模型中描述應力-應變關系的指數函數變形為：

式中：εr為極限應變 ε∞，即 ε∞=εr。式(6)并未增加式(3)的待定參數，仍為待定參數 B，β的指數函數，卻克服了傳統 Singh-Mitchell經驗蠕變模型不能描述零應力零應變水平的缺點，即當Dr=0時，εr=0。

通過對應變-時間關系用雙曲線函數進行最小二乘法擬合，結果顯示同時滿足有極值、凸函數曲線特征和單調增加函數曲線特征，與試驗軟黏土穩定蠕變階段的應變的衰減特征吻合，因此，本文嘗試用雙曲線函數替代傳統 Singh-Mitchell經驗蠕變模型的冪函數來描述本試驗軟黏土的應變-時間關系，表達式為：

式中：T為待定時間參數；α為極限應變ε∞，即當t=∞時，α=ε∞=εr，代入式(6)得：

將式(8)代入式(7)，得修正的Singh-Mitchell蠕變模型方程表達式為：

由式(9)可知：修正的 Singh-Mitchell蠕變模型需要確定的模型參數為B，β和T。

參數T的確定。將式(9)轉換成線性形式y=bx+c,可設y=t/ε，x=t，則式(9)變換為：

將試驗曲線ε-t關系圖(圖2)轉換成y-x關系圖，如圖6所示。

分別對圖6中各偏應力下的數據進行線性擬合，各偏應力下的曲線斜率b和y軸截距c如表2所示。

然后將所得 b，c分別代入式(11)和式(12)，可得各偏應力水平下的極限應變ε∞和T。

對T求平均值，即可確定修正Singh-Mitchell蠕變模型的時間參數，見表2。

參數B和β的確定。由于修正的Singh-Mitchell蠕變模型采用如式(6)所示的新的指數函數來描述本三軸蠕變試驗軟黏土的應力-應變關系，故使用式(6)所代表的指數函數對 ε∞-Dr曲線進行擬合，所得指數擬合曲線與關系式見圖7，可得B=0.526 5，β=3.488 3。則本文所建立的圍壓100 kPa下三軸蠕變試驗軟黏土的修正Singh-Mitchell蠕變方程的表達式為：

圖6 圍壓為100 kPa下蠕變試驗的轉換曲線Fig.6 Conversion curves of creep tests under 100 kPa confining pressure

表2 修正Singh-Mitchell蠕變模型的時間參數Table 2 Time parameter of modified Singh-Mitchell creep model

圖7 圍壓為100 kPa下極限應變ε∞與偏應力水平Dr的關系曲線Fig.7 Relation curves between ultimate strain ε∞ and deviatoric stress Dr under confining pressure of 100 kPa

取一定的時間變量，根據三軸蠕變試驗結果和式(13)的計算結果可得出圍壓 100 kPa下修正的Singh-Mitchell蠕變模型計算曲線與試驗曲線的比較圖，見圖8。

由修正的Singh-Mitchell蠕變方程及圖8可知：修正的 Singh-Mitchell蠕變模型通過對原Singh-Mitchell蠕變模型描述應力-應變關系的指數函數的改進，使本文所建立的修正的 Singh-Mitchell蠕變模型可以描述從零應變到破壞應變全階段的應變硬化行為，擴大了原 Singh-Mitchell蠕變模型的適用范圍；同時，修正的 Singh-Mitchell蠕變模型計算曲線與試驗曲線趨勢基本一致，蠕變模型的計算蠕變量隨時間的增長而減速增長，并逐漸趨于一極值，與試驗軟黏土穩定蠕變階段的應變的衰減特征吻合，蠕變模型的計算結果中除了個別數據與試驗結果偏差較大外，絕大多數模型計算數據與試驗結果吻合度高，特別是對長期應變的擬合結果較準確，遠優于原Singh-Mitchell蠕變模型的擬合結果。

3 結論

(1) 湖南省竹城公路路基軟黏土具有明顯的蠕變特征，采集該土樣制成標準試樣，采用梯級荷載加載方法成功地進行了室內三軸固結不排水蠕變試驗，獲得充足的蠕變試驗數據，為檢驗蠕變模型的精確度提供了依據。

(2) 在各級偏應力下，模型計算結果與試驗數據的誤差較大，模型不能描述零應力零應變水平，且蠕變量在蠕變后期隨時間的增長而增長較快，模型曲線較陡，偏離試驗曲線。故采用 Singh-Mitchell經驗蠕變模型描述湖南省竹城公路路基軟黏土的蠕變特性不合適。

(3) 所建立的修正的Singh-Mitchell蠕變模型與試驗結果一致性好，遠優于原 Singh-Mitchell蠕變模型的擬合結果，從而驗證了本文修正方法的正確性。

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