具有風險的供應商選擇中延遲成本的計算算法

李補喜，蔚曉嬌

(1.山西大學工商管理研究所，太原030006;2.山西大學數學科學學院，太原030006)

供應商，是指可以為企業提供原材料、設備及其他資源的企業。它可以是生產企業，也可以是流通企業。供應商對企業的生產和發展起著非常重要的作用。供應商選擇是供應鏈及其風險管理中的一個經典決策問題。企業在選擇供應商時不僅考慮各個供應商提供的產品的質量、價格、送貨的及時性，同時，在面對各種不確定的情況下，還要考慮采購過程可能碰到的各種風險，如，因地震、自然災害等造成供應商不能及時送貨從而導致企業生產中斷，不能按時滿足顧客需求，由此產生企業違約，給企業帶來損失[1-3]。此外，為了降低風險，企業在全面考慮各種因素的基礎上，通常選擇從多個供應商采購不同數量的貨物。因此，在有不確定性的情況下，進行供應商選擇決策時，需要比較各種可能情形下的成本，通常選擇成本或風險價值(VAR或CVAR[4-5])最低的供應商組合。然而，實際中，供應商選擇中面臨的不確定的情況復雜，供應商的不同采購組合情景數量很大，如10個供應商，每個供應商的不確定因素有10種可能，這時供應商的所有可能組合有100億種。要對如此龐大的組合比較相應的成本，進而選擇出成本最低的供應商組合，其計算工作量巨大。因此如何處理供應商選擇過程中碰到的數據量大、可能情景多，即如何減少計算工作量，是一個十分重要的問題。本文的目的在于考慮具有離散指數分布延遲風險的供應商選擇問題。許多文獻考慮了供應商選擇模型，或者是單周期模型，或者是多周期模型[6-9]。還有文獻考慮了供應商選擇評價指標體系[10]。而本文目的既不在于建立供應商選擇模型，也不在于對供應商選擇進行評價，而是利用數學模型將數量龐大的情景轉化為數量較少的另一種情景。

2 取值組合的重新劃分

首先給出一個定義:

定義 若X為連續型隨機變量，Y為離散型隨機變量。如果對于任何整數k，Y的概率分布滿足:P(Y=k)=P(k≤X＜k+1)

則稱Y為連續型隨機變量X的離散化隨機變量。

假設一個生產商為顧客不同訂單組裝生產多種類型的產品，生產使用的零部件是向多個供應商采購的。每個供應商能為生產商提供所需的定制部件。然而，供應商的供應能力不同，并且提供零部件的價格，質量以及按時交貨的可能性方面不同。設I={1，2，…，m}為m個供應商的集合，每個供應商單位周期(如天)單位產品的延遲懲罰成本不同，假設供應商i的單位周期單位產品的延遲成本為ei.同時，假設不同供應商的延遲周期相互獨立，且供應商i的延遲周期數Yi是指數分布的離散化隨機變量，其最大延遲周期為ni，對應的指數分布為Xi.則，對于任何非負整數k＜ni，有:

且P(Yi=ni)=P(ni≤Xi)

在具有延遲風險的供應商選擇決策中，從不同供應商訂購不同數量零部件(設從供應商i訂購的數量為zi，(z1，z2，L，zm)是決策變量)的延遲成本為:

顯然，由于Yi為隨機變量，若要選擇供應商，需要窮盡所有可能的供應商的延遲組合(Y1，Y2，L，Ym)，并計算不同供應商組合下的延遲成本(1)并進行比較。若供應商的數量較大(如m=10)，且每一供應商的可能延遲周期數較大(如ni=10)，那么，供應商的延遲組合(Y1，Y2，L，Ym)數量為 1110。顯然，這會導致供應商選擇模型的計算工作量很大。

為了解決上述組合數量龐大所導致的計算量問題，需要將大量的原始組合從不同視角進行重新分組，劃分為組合數量較少的情形。為此，考慮所有供應商總延遲的離散化隨機變量，記為Y，定義如下:

在這種情況下，如果m=10且ni=10，那么，可能的情形只有101種，由此降低供應商延遲的可能情形的數量。這時，用Y估計的每一可能情形下的延遲成本。

需要指出，Y與不同，二者之間的差異及其對延遲成本的影響，還有待研究。本文著重強調大樣本問題轉化為小樣本問題的簡化方法。

2 延遲成本的估計

定理1 設隨機變量Xi(i=1，2，…，m)服從參數為 λi(i=1，2，…，m)的指數分布，且Xi(i=1，2，…，m)相互獨立。

(1)若λ1=λ2=… =λm=λ，則服從Ga(m，λ)，其密度函數為:

(2)若 λi(i=1，2，…，m)互不相同，則X=的密度函數為:

證明 (1)的證明利用卷積公式容易得到，下面給出(2)的證明過程。

利用數學歸納法證明。

當m=2時，易證結論成立。

假設當m=k-1時，結論成立，即的密度函數為:

當m=k時，的密度函數為:

故結論成立。

因此，當λ1=λ2=…=λm=λ時，

當 λi(i=1，2，…，m)互不相同時，

上述定理將不同供應商的延遲周期轉化為所有供應商的總延遲周期。這意味著，不同供應商延遲周期的組合，將以總和的形式加以表現。因此，這為不同供應商延遲周期的所有可能情形(組合數量為)轉化為所有供應商總的延遲周期的可能情形(組合數量為()提供了基礎，顯然，可能情形的數量大大降低。

同時，上述定理也為所有供應商總的延遲周期的每一取值出現的概率提供了計算基礎。

定理2 設供應商i(i=1，2，…，m)的延遲周期為非負連續型隨機變量Xi(i=1，2，…，m)的離散化隨機變量Yi(i=1，2，…，m)，其最大延遲周期為ni(i=1，2，…，m)。且假定，Xi(i=1，2，…，m)相互獨立。若zi為從供應商i訂購的產品數量，ei為供應商i的單位周期單位產品的延遲成本。則對于任意非負整數，在的情形下，從全部供應商訂購零部件總平均延遲成本為:

證明 對于供應商i，Yi是供應商i的隨機延遲周期，由于Xi，i=1，2，…，m相互獨立，則Yi，i=1，2，…，m，相互獨立。設ki是Yi的可能取值，ni是Yi的最大可能取值。當時，供應商i延遲周期為的ki概率為

由條件期望的定義[11]可知:

由于Yi，i=1，2，…，m為非負隨機變量，且ni是Yi的最大可能取值。因此，當ki＞k或ki＜時，

(1)若ni≤k，則當時，從供應商i訂購零部件的平均延遲成本:

(2)若ni＞k，則當時，從供應商i訂購零部件的平均延遲成本:

顯然，定理2給出了所有供應商的總延遲周期在不同取值情形下相應的延遲成本，這為供應商選擇決策中比較不同方案的成本提供了可能。由式(4)可以看出，在計算從供應商訂購零部件的平均延遲成本時需要計算，定理1為計算指數分布和的離散化情形奠定了基礎。

3 算法

為了計算所有供應商總延遲周期在不同取值情形下的總延遲成本，利用定理1與定理2，我們給出如下算法:

算法

1 對i=1，2，…，m執行:

1.1 對于ki=0，1，…，ni利用指數分布的密度函數計算P(Yi=ki):當ki＜ni時，P(Yi=ki)=P(ki≤Xi＜ki+1)當ki=ni時，P(Yi=ki)=P(ni≤Xi)

1.2 對于j=0，1，…

2 對k=0，1，…執行:

2.1 令i=1;Sum=0;

2.2 令ki=max();sum=0.

2.3利用第1步的結果計算

2.4 令ki=ki+1，

如果ki≤ min(ni，k)，返回 2.3 步;

否則，退出循環。

2.5 計算 Sum=Sum+sum.

2.6 令i=i+1，

如果i≤m，返回第2.2 步;

否則，退出循環。

3輸出Sum

當所有供應商的延遲隨機變量獨立同分布時，上述算法可以簡化。這是由于對于i=1，2，…，m，Yi同分布也同分布。

[1]SAWIK T.Supplier Selection in Make-to-order Environment with Risks[J].Mathematical and Computer Modelling，2011，53(9-10):1670-1679.

[2]SAWIK T.Selection of supply portfolio under disruption risks[J].Omega，2011，39:194-202.

[3]SAWIK T.Single vs Multiple Objective Supplier Selection in a Make-to-order Environment[J].Omega，2010，38:203-212.

[4]ROCKAFELLAR R T，URYASEV S.Optimization of Conditional Value-at-risk[J].The Journal of Risk，2000，2(3):21-41.

[5]ROCKAFELLAR R T，URYASEV S.Conditional Value-at-risk for General Loss Distributions[J].Journal of Banking and Finance，2002，26(7):1443-1471.

[6]BASNET C，LEUNG M Y.Inventory Lot-sizing with Supplier Selection[J].Computers ＆ Operations Research，2005，32:1-14.

[7]USTUN O，DEMIRTAS E A.An Intergrated Multi-objective Decision Making Process for Multi-period Lot Sizing with Supplier Selection[J].Omega:The International Journal of Management Science，2008，36:509-521.

[8]GHODSYPOUR S H，BRIEN C O.The Total Cost of Logistics in Supplier Selection under Conditions of Multiple Sourcing，Multiple Criteria and Capacity Constraints[J].International Journal of Production Economics，2001，73:15-27.

[9]CHE Z H，WANG H S.Supplier Selection and Supply Quantity Allocation of Common and Non-common Parts with Multiple Criteria under Multiple Products[J].Computers and Industrial Engineering，2008，55:110-133.

[10]方園園，王耀文.基于熵技術的供應商模糊分析評價方法和應用[J].太原科技大學學報，2007，28(3):220-222.

[11]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京:高等教育出版社，2004.