各向同性與正交異性材料Ⅲ型界面端應力場

趙 靜，李俊林

(太原科技大學應用科學學院，太原030024)

文獻[1]得到Ⅰ型和Ⅱ型界面裂紋尖端應力具有振蕩奇異性，Ⅲ型裂紋尖端應力具有的奇異性而無振蕩性。文獻[2]采用Mellin變換法研究了各向同性雙材料界面端問題，得出界面端的應力場具有奇異性。文獻[3]對各向同性雙材料反平面界面端奇異應力場進行了分析，利用位移函數的級數展開，得出了對稱類反平面界面端的應力奇異指數變化規律。文獻[4]對反平面界面裂紋進行了研究，結果顯示反平面問題中界面裂紋尖端應力不存在振蕩性，只有冪次奇異。文獻[1-3]研究的均是各向同性雙材料界面裂紋，文獻[5-6]研究的是正交異性雙材料界面端，關于各向同性與正交異性雙材料界面端奇異應力場尚未研究。本文主要研究各向同性與正交異性雙材料界面端這樣一個新的模型，并巧妙的采用引入三角函數的方法化簡了含奇異指數的特征方程，最終得到了幾種各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型非對稱界面端的應力奇異指數及其變化規律。

1 力學模型

圖1 任意結合角的各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型界面端模型Fig.1 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢinterface end with arbitrary angles

如圖1所示，x＞0，y=0為材料粘接界面。y＞0部分為各向同性復合材料，其材料工程常數為(G23)1=(G31)1=μ.而y＜0為正交異性復合材料，其材料工程常數為(G23)2，(G31)2.考慮到受反平面剪應力的作用，由彈性力學知，控制方程組為:

其中wj(j=1，2)是位移函數。(Q44)2，(Q55)2是表征材料剪切模量的材料常數。圖1的界面連續條件在極坐標下可以表示為:

由彈性力學知相應的應力分量為:

位移分量為:uj= υj=0，wj=wj(x，y)，(j=1，2)，r和θ為從裂紋邊緣起度量的極坐標，而常數(G23)1=(G31)1= μ，(G44)2=(G23)2，(G55)2=(G31)2，其中 μ，(G23)2，(G31)2為剪切模量。

2 應力函數

假設位移為wj=wj(x+sjy)，(j=1，2)，帶入式(1)得到特征方程組為:

這個方程組中的兩個方程分別有一對共軛虛根，取虛部大于零的根記為:

sj=iβj，(j=1，2).其中

由復變函數中zj平面的柯西-黎曼方程理論，若記zj=x+sjy=xj+iyj，于是得到xj=x，yj= βjy.則控制方程組可以化為:

這是zj平面的調和方程組，由方程組(1)選取合適的應力函數如下:

根據文獻[5-6]，將式(7)和式(8)代入式(3)后再代入邊界邊界條件(2)得到關于(a1，a2，b1，b2)的四元齊次線性方程組:

要使該齊次線性方程組有一組非零解，則系數行列式為零，又通過引入φ角，

利用三角函數公式得到特征方程為:

2.1 非對稱凸角界面端

圖2 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凸角界面端Fig.2 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢconvex-angled interface end

以圖2所示情形為例，將θ1=π/4，θ2=-π/2，φ2=-π/2，φ=-π/2.代入特征方程式(11)中，可得:

用三倍角公式展開并且化簡得:

解得:

λ 在(-1，0)之間，

圖3 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凸角界面端λ隨材料參數比變化規律圖Fig.3 The variation chart of λ with the ratio of material parameters

2.2 非對稱凹角界面端

圖4 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凹角界面端Fig.4 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢconcave-angled interface end

以圖4所示情形為例，將θ1=π/3，θ2=-π，φ2=-π，φ=-π.代入特征方程中得:

化簡得:

解得:

λ 在(-1，0)之間，因此:

圖5 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凹角界面端隨材料參數比變化規律圖Fig.5 The variation chart of λwith the ratio of material parameters

2.3 斜平面角界面端

當 0 ＜ θ1＜ π/2，θ2= θ1- π，φ2=arctan(β2tanθ1)-π，代入特征方程式(11)得:

其中，

圖6 各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型斜平面角界面端模型Fig.6 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢoblique-plane-angled interface end

圖7 θ1=π/3，π/4，π/5時λ隨材料參數比變化圖Fig.7 The variation chart of with the ratio of material parameters(θ1=π/3，π/4，π/5時 )

(1)當分別取定 θ1=π/3，θ2=θ1-π =-2π/3(data1)，θ1= π/4，θ2= θ1- π =-3π/4(data2)和θ1=π/5，θ2=θ1-π =-4π/5(data3)時，根據參考文獻[9]中的材料參數，選取 β2=1.186 3，得到 λ 隨各向同性與正交異性材料參數比的變化規律如圖7所示。

(2)根據文獻[9]，當分別取定材料參數比μ/選取β2=1.186 3，得到λ隨各向同性與正交異性斜平面角界面端角度(0＜θ1＜π/2)的變化規律如圖8所示。

圖8 λ隨凹角θ1變化Fig.8 The variation chart of λ with θ1

從圖7中可以得出，當界面端角度θ1取定三種角度時，各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型斜平面角界面端應力場隨參數比的增大，奇異性增大，奇異指數介于0到-0.5之間;當θ1減小θ2增大，即向材料二正交異性材料傾斜時，界面端應力場奇異性增大。從圖8中可以得出，當材料參數比取定三組數值時，各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型斜平面角界面端應力場奇異性隨界面端角度θ1的增大先增大后減小，當θ1=π/2時，可以推出已有的直角界面端不存在應力奇異性的結果。

同理，當 π/2 ＜ θ1＜ π，θ2= θ1- π，φ2=arctan(β2tanθ1)時的斜平面角界面端應力奇異指數變化規律也可以得到。

3 應力場、位移場與應力強度因子的計算

以非對稱類凸角界面端為例給出應力場、位移場、應力強度因子，其他情形用同樣方法可得。

其中b2為自由變量，可以由載荷條件求出。

應力強度因子:

定義

則

4 結論

通過對各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型非對稱凸角、凹角以及斜平面角界面端的討論可知:非對稱凸角界面端無應力奇異性，隨著上下材料常數比的增長，奇異指數λ趨于0;非對稱凹角界面端應力具有唯一冪次奇異性，隨著μ/的增長，奇異指數λ由-0.25逐漸趨于-0.65，并以非對稱凸角界面端為例給出各向同性與正交異性雙材料Ⅲ型凸角界面端應力場、位移場以及應力強度因子的解析表達式;得到了斜平面角界面端應力奇異性變化規律。

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