一類四階強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的混合元誤差估計(jì)

于艷紅 劉 洋 李 宏

（1.山東英才職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，濟(jì)南 250116；2.內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010021）

本文研究如下一類半線性四階強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程［1－2]

式中，Ω是R2中具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω的有界區(qū)域，J＝（0，T]，0＜T＜∞，其中函數(shù)f（u）是足夠光滑的，且關(guān)于u滿足Lipschitz連續(xù)性條件：也即存在L＞0，使得

系數(shù)A（x）是有界的正函數(shù)，即存在正常數(shù)m和M滿足以下不等式

并且假設(shè)初值函數(shù)u0，u1，邊值函數(shù)g都是足夠光滑的.

近年來(lái)，混合有限元方法方面的研究得到了足夠的重視，文獻(xiàn)［3－5]中使用傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的混合元方法分別研究橢圓問(wèn)題、拋物問(wèn)題和一些非線性發(fā)展方程問(wèn)題，文獻(xiàn)［6]研究了二階線性強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的混合有限元方法.文獻(xiàn)［2]討論了四階強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程一維和多維情形的新的H1－Galerkin混合格式，還給出了有限元解的存在唯一性的證明，并給出了誤差估計(jì).但是對(duì)于半線性四階強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)混合有限元方法的研究還沒(méi)有出現(xiàn)過(guò).本文利用文獻(xiàn)［6]的思想提出了半線性四階強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的一種混合有限元格式，并分別給出了相應(yīng)的投影，引理和誤差估計(jì)證明.

為了下面分析問(wèn)題需要，首先給出一些必要的定義及記號(hào).（·，·）和‖·‖分別定義為L(zhǎng)2內(nèi)積及范數(shù).并且定義加權(quán)L2（Ω）＝（L2（Ω））2范數(shù)‖·‖A為‖v‖A＝（A－1v，v）1／2，v∈（L2（Ω））2.并且L2（Ω）的子空間H（div；Ω）如下定義的

相應(yīng)的范數(shù)定義為

1 混合格式和重要引理

令σ＝A（x）（▽utt＋▽ut＋▽u），可將原方程化為如下一階系統(tǒng)：

令V＝H（div；Ω）和W＝L2（Ω），下面給出混合有限元的弱形式，求｛（u），σ｝：［0，T]→W×V使得：

其中〈·，·〉是定義在L2（?Ω）的內(nèi)積和v是?Ω的外法向量.

本文使用 Riviart－Thomas空間［4]Vh×Wh?V×W，問(wèn)題（4）～（5）的半離散混合有限元格式為：求｛σh，uh｝：［0，T]→Vh×Wh，使得

為了用混合有限元方法來(lái)研究半線性四階強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程，應(yīng)該引入一個(gè)適合該方程的混合橢圓投影.求滿足：

腌漬方式：在制作脆皮雞時(shí)，先加鹽、味精等調(diào)味料進(jìn)行前期腌漬，再加入新鮮的蒜苗和蒜瓣等蔬菜一同腌制，然后再刷脆皮水。

下面給出投影的存在唯一性.

定理1 系統(tǒng)（8）～（9）的解是存在唯一的.

證明 采用文獻(xiàn)［6]中的證明方法，只需證明相應(yīng)的齊次系統(tǒng)

有零解即可.

再者，對(duì)于空間Wh×Vh，存在一個(gè)與h無(wú)關(guān)的正常數(shù)C使得

因此由式（12）和式（17），得到

從式（14）和（15）兩式，可以得到

為理論分析的需要，相對(duì)于Rviart－Thomas空間，引進(jìn)投影算子［6]Ph：W→Wh，滿足：

且有逼近性質(zhì)

這里Ph是L2投影，∏h是Rviart－Thomas投影.下面給出幾個(gè)重要的引理.

引理1［6]上面引進(jìn)的投影算子對(duì)?φ∈V，成立div∏hφ＝Phdivφ（其中div＝▽·）.下面給出的一些誤差估計(jì).令u－Phu，則式（8）～（11）可以改寫為

引理2 令η＝σ－σh，ρ1＝Phu－uh和ρ2＝u－Phu，滿足式（27）～（30），則以下的誤差估計(jì)成立.

證明 考慮輔助問(wèn)題

設(shè)Ω對(duì)問(wèn)題（31）是2正則，即當(dāng)g∈L2（Ω）時(shí)，存在唯一φ∈H2（Ω）∩H10（Ω）為（31）的解，且有先驗(yàn)估計(jì)：

由式（27）和式（31）可以得到

使用已知投影估計(jì)及式（28），可得

注意到式（29）～式（30），得到

聯(lián)合式（37）和式（38），使用Gronwall引理，得到

從而有

引理3 令｛σ，u｝和｛σh，uh｝分別是（4）～（5）和（8）～（11）的解，則以下的誤差估計(jì)成立

對(duì)于k＝0，有

對(duì)于k≥1，2≤r≤k＋1，有

2 誤差估計(jì)

證明 利用ρ和η的定義，將誤差寫成

因?yàn)棣押挺怯梢?給定，所以只需估計(jì)θ和ζ.因此關(guān)于θ和ζ的誤差由方程（4）～（9）可以寫成

在式（41）中分別取wh＝θtt，wh＝θt和wh＝θ，并將這3個(gè)方程相加得

在式（42）中取vh＝ζ，有

將式（43）和（44）相加，并注意到下面表達(dá)式

利用Cauchy－Schwarz不等式及Young不等式，有

對(duì)上式兩端關(guān)于時(shí)間從0到t積分，得到

再者，由于uht（0）＝Phu1，從而有

聯(lián)立式（46）～（48），并使用Gronwall引理可得

聯(lián)立式（47）和式（49）使用引理3和三角不等式即得定理2結(jié)論.

［1]尚亞?wèn)|.方程utt－Δu－Δut－Δutt＝f（u）的初邊值問(wèn)題［J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（3）：385－393.

［2]劉 洋，李 宏.四階強(qiáng)阻尼波方程的新混合元方法［J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2010，32（2）：157－170.

［3]羅振東.混合有限元方法基礎(chǔ)及其應(yīng)用［M].北京：科學(xué)出版社，2006.

［4]Chen Z X.Finite Element Methods and Their Applications［M].Berlin：Springer－Verlag，2005.

［5]Johnson C，Thomee V.Error Estimates for Some Mixed Finite Element Methods for Parabolic Problems［J].RARIO Numer.Anal.，1981，15：41－78.

［6]Pani A K，Yuan J Y.Mixed Finite Element Methods for a Strongly Damped Waveequation［J].Numer.Methods Partial Differential Eq.，2001，17：105－119.