基于遺傳算法的FIR濾波器設計

吳艷君

（菏澤學院 物理系，山東 菏澤 274015）

0 引言

FIR數字濾波器以其具有的穩定性和線性相位這兩2個突出優點在現代信號處理中發揮了非常重要的作用。常用的FIR濾波器設計方法有窗函數法、頻率采樣法和最佳逼近法等，而頻率采樣法直接從頻域進行設計，易于理解與實現，但存在一些不足，比如，如何確定過渡帶樣本值，傳統的查表法不能保證數據是最優的。

本文提出一種FIR濾波器的優化設計，用遺傳算法確定最佳過渡帶樣本值，得到最大的阻帶最小衰減。

1 頻率采樣法的基本原理

對希望逼近的濾波器的頻率響應H （ejω）在0～d2π之間等間隔采樣N點，得到頻率采樣值Hd（k）[1]：

其中，Hg（k）為Hd（k）的幅度函數，θ（k）為相位函數。

對 Hd（k）進行N點IDFT,得到單位脈沖響應 h（n）∶

由h（n）可得到濾波器的系統函數 H（z）：

FIR濾波器具有線性相位的條件是 h（n）為實序列，且 h（n ） = ± h （N - 1- n ） 。若要設計線性相位濾波器，采樣值 Hd（k）要具有以下約束條件：

2 遺傳算法

遺傳算法[2]（GA，Genetic Algorithm），是一種全局優化算法，它借用了生物遺傳學的觀點，通過自然選擇、遺傳、變異等作用機制，實現各個個體適應性的提高。GA通常由3個基本操作組成：選擇、交叉和變異，可定義為一個7元組，又稱遺傳算法的形式化定義[3]，即：

其中，M為群體大小；F為個體適應度評價函數；s為選擇算子；c為交叉算子；m為變異算子；Pc為交叉概率；Pm為變異概率。在運行GA之前需設置以上各參數值。圖1所示為遺傳算法的流程。

圖1 遺傳算法流程

3 濾波器設計

3.1 GA實現

基于GA用頻率采樣法設計一帶通FIR濾波器，技術指標為：通帶上截止頻率 ωpl= 0 .35π，通帶下截止頻率 ωpu= 0 .65π ，阻帶上截止頻率 ωsl=0.2π ，阻帶下截止頻率 ωsu= 0 .8π，通帶最大衰減Ap= 0 .3dB ，阻帶最小衰減 As= 6 0dB 。

選擇采樣點數N=40，在0～2π內等間隔采樣，采樣間隔 Δω=2π 4 0=0.05π。過渡帶0.2π＜ω＜0.35π、0.65π＜ω＜0.8π中均有2個樣本，對上過渡帶來說，樣本在 k = 5 ,k = 6 和 k = 2 5,k = 2 6處。假設用 T1、T2表示過渡帶樣本的值（ 0 ＜ T1＜ 1 ,0 ＜ T2＜ 1 ），則采樣的幅度響應為：相位響應為：

由式（1）得 Hd（k），經式（2）可得到61點FIR濾波器的脈沖響應 h （n）。本文就是運用GA尋找最佳的 T1、 T2，從而得到最大的阻帶最小衰減。

在GA的每i代中，對第 j條個體（表示 T1、T2的字符串）譯碼計算出 T1、 T2，并求出相應的實際最小阻帶衰減 As，這樣就可以定義該個體的適應度即：

其中，M為群體規模。然后在設置必要的參數后，即可按照圖1執行操作，從而實現GA算法。

3.2 結果分析

對 T1、 T2進行編碼，令個體為 L = 3 2的二進制字符串，因為設群體規模 M = 1 00，Pc=0.9，Pm= 0 .01，G= 2 0，運行GA[5-8]。經GA與查表法的設計結果如表1所示，表中 As是實際阻帶最小衰減。圖2和圖3分別給出了查表法和GA得到的濾波器幅度響應曲線。可看出，經GA進行優化得到最佳的過渡帶采樣點，所設計的濾波器的阻帶最小衰減參數，要明顯優于查表結果，獲得了最大的阻帶最小衰減。

表1 GA與查表法設計結果

圖2 查表法所得幅度響應曲線

圖3 GA所得幅度響應曲線

4 結語

數字濾波器的優化設計一直受到廣泛關注，本文將遺傳算法應用于頻率采樣法設計帶通FIR濾波器，通過尋找過渡帶的最佳采樣值，得到最大的阻帶最小衰減，明顯優于傳統查表法，實現了優化設計的效果。遺傳算法可以應用于不同領域，解決各種問題的最優解，但對其的改進及收斂問題也是以后值得研究的。

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