基于MATLAB的太陽黑子時間序列分析與仿真

周園 肖洪祥 董俊飛

桂林理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 廣西 541004

0 引言

在非線性系統(tǒng)中，初始條件的微小變化，往往會導(dǎo)致結(jié)果以指數(shù)級的大小發(fā)生分離，這時我們稱這個系統(tǒng)存在混沌。時間序列是非線性動力系統(tǒng)的一種模型。如果時間序列對初始條件敏感，采用傳統(tǒng)線性時間序列分析方法將很難予以分析，因此傳統(tǒng)時間序列預(yù)測模型對混沌時間序列的擬合和預(yù)測準確度都很差。經(jīng)過混沌學(xué)的發(fā)展，可以使用序列本身的規(guī)律對其進行預(yù)測。Lyapunov指數(shù)法即是其中之一。通過最大Lyapunov指數(shù)的數(shù)值，可以判斷一個時間序列是否是混沌時間序列，亦即該非線性系統(tǒng)中是否存在著混沌。本文對太陽黑子序列進行分析，證明其是一個混沌時間序列。

1 基于Lyapunov指數(shù)的時間序列分析方法

對時間序列進行分析，首先必須進行相空間重構(gòu)。根據(jù)有限的數(shù)據(jù)重構(gòu)吸引子以研究系統(tǒng)動力行為的方法即是相空間重構(gòu)。主要思想為：系統(tǒng)中每個分量的演化皆是由與之聯(lián)系的其他分量所決定的，相關(guān)分量的信息隱含在任意其他分量的變化過程中，即是運用系統(tǒng)的任何一個觀察量可以重構(gòu)出整個系統(tǒng)的模型。

設(shè)時間序列為{xt}，其中t=1,2,...,N 。重構(gòu)相空間Rm的元素組為：

其中，N為重構(gòu)相空間維數(shù)；τ為延遲時間間隔數(shù)，且為正整數(shù)；p=N-(m-1)τ為時間序列嵌入相空間的向量數(shù)，N為時間序列的數(shù)據(jù)點數(shù)。

由Tokens定理，在理論條件下可任選τ。但在現(xiàn)實條件下時間序列都是有限長且有噪聲的。因而在重構(gòu)相空間時，τ的選取至關(guān)重要。目前所采用的方法大多是通過經(jīng)驗來選擇τ， 從而使得XT和XT+τ相互獨立并不完全相關(guān)。

Lyapunov指數(shù)是描述奇異吸引子性質(zhì)的數(shù)據(jù)量。在m維離散系統(tǒng)中存在m個Lyapunov指數(shù)，即Lyapunov指數(shù)族。正的Lyapunov指數(shù)意為在此維度方向，系統(tǒng)以指數(shù)級速度分離。1983年，G.Grebogi證明了若最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0，則系統(tǒng)一定存在著混沌。因此要判斷一個時間序列是否為混沌時間序列，必須求出其最大Lyapunov指數(shù)。為了保證領(lǐng)域點沿著不同的軌道運動，最近鄰域點間必須有分離間隔。此處取分離間隔為w=T/Δt，其中T為用FFT計算出的序列平均周期；Δt為序列的采樣周期。

2 計算機仿真步驟

仿真步驟如圖1所示。輸入太陽黑子年平均序列，通過FFT算法計算得到其平均周期T 。計算分離間隔作為時間窗τω。由公式得到嵌入維數(shù)m。運用所得的參數(shù)使用Wolf法算出最大Lyapunov指數(shù)。進而判斷該序列是否是混沌序列。

圖1 計算機仿真流程圖

(1) 這里選取的太陽黑子時間序列為從1700年-1987年共288年的數(shù)據(jù)。程序代碼為：

輸入的數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 太陽黑子年平均序列

(2) 對其進行FFT變換可以得到年平均周期T(如圖3所示)，程序為：

圖3 sunspot數(shù)據(jù)FFT變換幅度

此程序運行的結(jié)果為：

此結(jié)果即為該時間序列的平均周期，所以可以取T=11。

(3) 應(yīng)用Wolf法求最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是相空間中相近軌道的平均收斂性發(fā)散性的一種度量。Wolf法是Wolf等人于1985年提出的軌道跟蹤法。正的Lyapunov指數(shù)的大小表征相空間中相近軌道的平均發(fā)散的指數(shù)率。已知序列平均周期為T=11，序列采樣周期Δt=1。此處取的分離間隔w=T/Δt=11作為時間窗τω。由文獻可取延遲τ=2，由公式τω=(m -1)τ計算得嵌入維數(shù)m=6。

先在工作區(qū)間建立重構(gòu)相空間的函數(shù)文件reconstitution.m：

主體函數(shù)使用Wolf法求得最大Lyapunov指數(shù)，流程圖如4所示。

程序運行結(jié)果為：

圖4 Wolf法流程圖

此結(jié)果意為最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0。由以上原理，正的Lyapunov指數(shù)表明在該維方向，系統(tǒng)運動軌道迅速分離，系統(tǒng)存在著混沌。所以，太陽黑子年平均數(shù)序列是一個混沌時間序列。

3 結(jié)束語

MATLAB具有強大的數(shù)據(jù)處理能力，可以方便的實現(xiàn)用戶所需的各種計算功能。本文即利用基于MATLAB平臺實現(xiàn)對太陽黑子年平均數(shù)這一時間序列的分析與仿真。得到其最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0，從而證明該時間序列的確是一個混沌時間序列。

[1] 邵小強,馬憲民.混沌時間序列預(yù)測的建模與仿真研究.計算機仿真.2011.

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