近極槽數表貼式永磁同步電機齒頂漏磁分析與計算

彭 兵 夏加寬 王成元 荊汝寶

（沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870）

1 引言

近極槽數配合的表貼式永磁同步電機在低速應用方面表現出良好的性能，如高轉矩密度、高效率、高伺服性能[1-2]，在數控轉臺、電力機車牽引、機器人肘關節和風力發電[3-6]等場合應用廣泛。

目前，對近極槽數配合的表貼式永磁同步電機的研究重點集中于電機的設計方法[7-9]和寄生影響分析[6,10]等方面，而對于齒頂漏磁的研究還不夠深入。齒頂漏磁是近極槽數配合的表貼式永磁同步電機的主要漏磁之一，齒頂漏磁的快速、準確計算有助于縮短電機設計周期和提高電機設計的準確性。文獻[11]研究了近極槽數配合的表貼式永磁同步電機齒頂漏磁的分布情況和有限元計算方法，但沒有給出適合工程設計的解析公式。文獻[12]給出了單齒齒頂漏磁的解析表達式，但是沒有分析近極槽數配合的表貼式永磁同步電機的整個齒頂漏磁，其計算的平均齒頂漏磁系數不能真實地反映整個電機的齒頂漏磁情況，也沒有分析總結出電機參數的變化對齒頂漏磁的影響。

本文在基于文獻[12]的單齒齒頂漏磁計算方法的基礎上，首先分析齒頂漏磁的特點，接著推導平均每極齒頂漏磁的解析表達式，然后分析近極槽數配合的表貼式永磁同步電機極數和極弧系數的選擇對齒頂漏磁系數的影響。最后，以96槽外轉子永磁同步電機為例，結合Ansoft有限元仿真軟件驗證齒頂漏磁分析方法和計算方法的正確性和準確性。

2 近極槽數表貼式永磁同步電機開路磁通

近極槽數配合的表貼式永磁同步電機由于極數和槽數相差不大，除了有普通表貼式永磁同步電機的氣隙漏磁和端部漏磁外，還有較大的齒頂漏磁。在轉子的某個位置，一個磁極產生的一部分磁通不經過電機的定子齒、定子軛回到另一個磁極，而是被定子的齒頂短路回到另一個磁極，這就是齒頂漏磁。

在任意時刻，半單元電機內通過各齒的主磁通、齒頂漏磁各不相同。圖1是一臺96槽80極外轉子永磁同步電機的有限元仿真磁通分布圖，從圖中可以看出:齒頂漏磁是主要的漏磁，其在電機中是按半單元電機周期重復的，7～12齒的漏磁就是1～6齒漏磁的復制。

圖1 96槽80極外轉子永磁同步電機磁通分布圖Fig.1 Flux distribution of 96 slots 80 poles PMSM with outer rotor

3 齒頂漏磁系數計算

在某一時刻，每一磁極可能與一個齒或兩個齒甚至更多的齒發生磁耦合，計算每極下的齒頂漏磁沒有規律可循。但是在轉子轉過的一個齒距內，通過任一齒的齒頂漏磁與位移是有一定的函數關系的，計算某個時刻下的各個單齒的齒頂漏磁是可能的，然后把所有齒頂漏磁通等效到每個磁極下，再去計算齒頂漏磁系數就極為方便了。

3.1 單齒齒頂漏磁計算

單齒齒頂漏磁的分析與計算在文獻[12]中已有詳細的描述，本文借助其分析方法進行了更為深入的研究。

假設鐵心磁導率為無窮大，永磁體向外磁路提供的磁通為Φm，轉子以同步速旋轉，|x|為齒中線與臨近轉子q軸的距離。當轉子的q軸距離2齒中線為x≤-(bs+bm-τ)/2時，第一塊永磁的右邊緣與1齒的右邊緣距離為d1，與2齒的左邊緣距離為d2，由于d1≤d2，且因鐵磁物質的聚磁效應，永磁體1發出的磁通不通過2齒，2齒的齒頂漏磁為零，如圖2a所示；轉子繼續旋轉，當q軸與2齒中線重合時，也即x=0，此時，永磁體1有(bs+bm-τ)/2部分發出的磁通通過2齒進入永磁體2，2齒的齒頂漏磁最大，漏磁通為ΦLt=-Φm(bs+bm-τ)/2，如圖2b所示；隨著轉子的旋轉，2齒的齒頂漏磁逐漸減小，轉子轉到圖2c所示位置，齒頂漏磁減小為零，此時x=(bs+bm-τ)/2。在一個齒距的其他位置，2齒的齒頂漏磁都為零。圖2中，btop為齒頂寬度；bs為槽距；τ為極距；bm為永磁體寬度，bm=αpτ；αp是極弧系數；n為轉速。

圖2 齒頂漏磁示意圖Fig.2 Illustrating calculation of zigzag leakage flux

由上述定性分析，結合有限元仿真，可以得到任意一個齒在一個齒距內的齒頂漏磁通曲線，如圖3所示。

圖3 ΦLt和|x|的近似關系Fig.3 Approximate relationship between ΦLt and |x|

圖3中，z為槽數；p為極對數；Φm為永磁體向外磁路提供的磁通；ΦLt為齒頂漏磁通；Dg為氣隙直徑。

由圖3可寫出單齒齒頂漏磁ΦLti的方程式

3.2 平均每極齒頂漏磁計算

在任意時刻，單個齒的齒頂漏磁并不相同，計算任意時刻齒頂漏磁必須計算出該時刻所有齒頂漏磁之和，計算比較繁雜。在整個電機中，齒頂漏磁具有周期性的特點，如果能找到重復周期數，就只要計算一部分齒的齒頂漏磁，大大減小了計算量。

當齒中線和q軸重合時，齒頂漏磁最大，可以計算任意時刻齒中線和q軸的重合數，重復周期數就是重合數。

其漏磁重復周期數為z和2p的最大公約數（GCD），漏磁重復周期數為分數槽電機中的單元電機數的2倍。以96槽80極電機為例，GCD（z，2p）=GCD（96，80）=16，則其漏磁重復周期數為16。

則i與k組合有:（1，1）、（7，6）、（13，11）、（19，16）、…，這說明第1個齒的中線和靠近第1個磁極的q1軸重合，第1個齒的的齒頂漏磁最大，第7個齒的中線和靠近第6個磁極的q6軸重合，第7個齒的齒頂漏磁最大，依次類推，重復數為16。

為了方便計算齒頂漏磁系數，把所有齒頂漏磁等效到每個極下，計算每個極下的平均齒頂漏磁。所以求每個極下的平均齒頂漏磁，只要先求出相鄰z /GCD(z, 2p)個齒的齒頂漏磁之和，然后再除以2p /GCD(z, 2p)，就得出每個極下的平均齒頂漏磁。根據圖3和式(1)可知，求齒頂漏磁的關鍵之處是求解各個齒與其相鄰最近q軸的距離xi的值。

把xi的值代入到式（1）中就得到各個齒的漏磁ΦLti（xi），則平均齒頂漏磁為

則齒頂漏磁系數為

4 實例分析

4.1 齒頂漏磁案例計算

電機的相關參數見表1。

表1 電機參數Tab.1 Electric machine parameters

由式（5）求出第i個齒與第k個q軸的距離，計算數據見表2，表2每一列上的最小數就是所要求的 xi值，又根據式（1）可知 xi值在[0，5.27]區間時，ΦLti不為0，其余均為0，與xi對應的單齒齒頂漏磁通見表3。由式（6）可求出每個極下的平均齒頂漏磁通為ΦLtave=0.1576Φm。由式（7）可得σLt=1.187。

表2 齒中線與q軸的距離Tab.2 The distance between q axis and tooth centerline

表3 任意時刻相鄰6個齒的齒頂漏磁Tab.3 The zigzag leakage flux of adjacent six teeth at random moment

由表2可以看出，第四齒的齒頂中線與第三個q軸和第四個q軸的距離相等，這也說明第三塊磁極與第四個齒完全正對，齒頂漏磁為零。這與分析結果一致，也與圖1仿真結果完全一致。

4.2 電機參數對漏磁系數的影響

由式（1）可知，齒頂漏磁系數與極數、極弧系數和氣隙直徑有直接的關系，找到電機參數對齒頂漏磁的影響規律將有助于指導電機的優化設計。采用上文的解析法計算了96槽、411mm氣隙直徑和54槽、311mm氣隙直徑的電機在不同極數和極弧系數下的齒頂漏磁系數，得到齒頂漏磁系數隨極數、極弧系數的變化趨勢如圖4所示。

圖4 齒頂漏磁系數與電機參數的關系Fig.4 Relationship between the zigzag leakage flux coefficient and the electric machine parameters

由圖4看出，隨著極數的增加，齒頂漏磁增大了；隨著極弧系數的增加，齒頂漏磁也增大了。

4.3 有限元驗證

表4是96槽、極弧系數為0.82、氣隙直徑為411mm的電機在不同極數下分別由解析法和有限元法計算出的齒頂漏磁系數及偏差。

有限元法計算齒頂漏磁是利用Ansoft有限元仿真軟件計算半個單元電機通過齒頂部（q1～q6間的6個齒）的總磁通與通過齒中間部位（q1～q6間的6個齒）的總磁通的比值就是齒頂漏磁系數。解析法計算結果與有限元法計算結果相比，兩者的偏差小于1.5%，這表明齒頂漏磁分析方法正確，解析法有非常高的精度。

表4 兩種方法計算的齒頂漏磁系數結果及偏差Tab.4 Two methods calculation results of zigzag leakage flux coefficient and the deviation of the results

5 結論

本文分析了近極槽數配合表貼式永磁同步電機齒頂漏磁的特點，通過平均每極齒頂漏磁的計算方法，建立了平均每極齒頂漏磁和漏磁系數的解析表達式，該解析表達式只與電機的槽數、極數和極弧系數有關。還研究了齒頂漏磁系數與電機參數的關系，發現齒頂漏磁系數隨極數的增加而增加，隨極弧系數的增大而增大的規律。最后通過有限元仿真分析解析計算結果，兩種方法計算結果極為接近。

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