多相圈式繞組電機的定子端部漏感計算

史振宇 吳旭升 高 嵬 李宗陽

（1.海軍駐438廠軍事代表室 武漢 4300332.海軍工程大學電氣與信息工程學院 武漢 430033 3.92418部隊 杭州 311203）

1 引言

端部漏感的計算結果不但影響電機瞬態和超瞬態參數的分析精度，還會影響電機電磁場的二維分析結果的可靠性。然而定子端部漏感的傳統算法存在著依賴經驗公式和不能用于計算多相電機的缺陷，精度較高的三維電磁場解法也有建模復雜且計算時間較長的不足[1-3]。在引入氣隙電流與鏡像電流的情況下，文獻[4-6]通過將電流源分段后，疊加計算各小段電流效果的算法計算了多相電機端部漏感。這種離散的處理方式雖然能較好地改善傳統算法與電磁場解法的不足之處，但算法本身是在汽輪機的條式繞組[4-7]基礎上進行的，其模型本身與圈式繞組存在較大差別，直接用來計算圈式繞組的定子端部漏感必然會有誤差。本文通過建立圈式繞組線圈端部的空間模型，研究了多相電機的定子端部漏感計算方法。

2 端部漏感建模與計算

2.1 端部線圈建模

根據繞線式異步電機的端部特性，可將線圈端部分為兩條直線段與一條空間曲線段，該曲線是母線平行于軸線的一條漸開面與母線平行于定子鐵心端面且開口向下的拋物面的交線。綜上，可以得到圖1所示的定子端部在直角坐標系xyz內的簡圖。坐標系原點位于定子鐵心端面中心處，xOy平面與定子鐵心端面重合，z軸正方向沿軸向從原點指向外，x軸正方向從原點指向一號槽的中點。線圈與定子鐵心交點分別取在對應槽上、下層邊的中點，其到原點的距離分別為RA與RD。

圖1 電機端部的模型簡圖Fig.1 Diagram of motor end-winding

2.2 電流源的分段

在引入鏡像電流與氣隙電流后可將任一通電線圈端部的作用分為八個部分，分別對應空間的八個電流段。各電流段及其編號依次為:線圈端部電流段AB、BC與CD及其鏡像電流段 ''BA 、 ''CB 、 ''DC ，編號依次為為1～6；氣隙電流及其鏡像在線圈內部的AD段與線圈外部的AD段，編號為7、8。各電流段中的電流方向如圖2所示。

圖2 線圈端部各電流段電流方向Fig.2 Sketch map of every current part directions in coil ends

在假設電機鐵心磁導率為無窮大，并忽略齒槽效應條件下，得到第m段的電流為

2.3 線圈端部面積剖分

利用數值方法計算圖1中1號線圈端部在2號線圈端部面積內產生的磁鏈時需要對2號線圈端部面積進行剖分。根據線圈端部模型，2號線圈的端部被剖分為如圖3的空間矩行與空間三角形兩種共計Ns個面積小塊，對應面積為Si(i = 1,2,3 … Ns)。

圖3 線圈端部面積剖分圖（空間剖分）Fig.3 Section plane of coil end area (special)

2.4 電感計算

為提高數值計算的精度，將1號線圈各電流段分為Nm個小段，其中m=1,2,3,…,8。可以得到第m個電流段的第 n小段在 2號線圈端部Si的中心點上產生的法向磁通密度為

式中，l1mn表示從 1號線圈的第 m個電流段的第 n小段電流矢量段；r21imn表示從l1mn中點指向 Si重心的矢量；n2i表示在規定磁動勢正方向后Si中心的單位法矢量。

進而得到1號線圈端部在2號線圈端部面積內產生的磁鏈為

則1號線圈通電后，2號線圈端部產生的電感為

對線圈端部沿逆時針或順時針統一編號后，根據式（2）～式（4）可知對于兩對編號間隔相同的線圈對（即第x和第y號與第k號和第k+x-y號線圈），由于其相對位置相同，存在如下關系

因此，對于相對位置相同的任意兩個線圈，端部互電感有如下關系

即相對位置相同的兩個線圈端部之間的電感相同。所以在求解線圈端部互感矩陣Mz1×z1時，只需求解其中的電感 Mi1(i =1,2,3,…z1)，共計z1項，便可得到互感矩陣Mz1×z1。

2.5 各相漏感的計算

在計算出各線圈端部的互感與自感后，可根據電機繞線方式寫出與之對應的關聯矩陣C[5]。結合互感矩陣Mz1×z1，得到相間漏感矩陣

式中，u、v取法同文獻[5]中相同。

利用互感矩陣Mz1×z1，結合各相的電流矢量圖，便可求出多相電機各相的端部漏感。

3 樣機計算與分析

3.1 線圈編號

為便于計算與分析，將原理樣機定子槽編號，令1號槽中線位于xOz平面，從原點向z軸正方向看，沿順時針方向將定子槽編為1～48號。線圈的編號與該線圈上層邊所在槽的編號相同。

3.2 線圈端部間的電感計算

以1號線圈為例，將其電流段劃分成各小段，并將其端部面積剖分，利用式（2）可以求出各電流小段在端部面積內各小塊上的法向磁通密度。經計算得出其自感引起的端面內的法向磁通密度分布如圖4所示。

通過圖4可以看出:在線圈端部，導線附近的法向磁通密度最大，且由導線所在位置向定子鐵心端面方向逐漸減小。在圖中離C點較近區域與距離B點較近區域相比，由于距離氣隙電流遠近不同，磁通密度大小略有不同。離軸線較近的B點附近區域，磁通密度衰減相對較快。

圖4 自感引起的端部面積內的法向磁通密度分布Fig.4 Normal flux density distributions produced by self inductance in coil end area

對不同線圈端部的電流分段和面積剖分，結合端面內各面積小塊的法向磁通密度、式（3）與式（4）可以求出線圈端部互感矩陣M48×48，由于篇幅有限且M48×48中存在式（6）所給關系，故表1只給出了1號線圈通電時，在48個線圈端部引起的電感值。

表1中，由于端部自身耦合程度最高，1號線圈端部的自感是最大的；隨著耦合程度的降低，各線圈端部間的電感會逐漸減小，故表中的電感從 2號與 48號線圈開始向遠離 1號線圈的兩側依次衰減；而當線圈與1號線圈距離較大時，兩線圈間的距離對電感的絕對值的影響開始明顯，故表中由12線圈與37號線圈開始向遠離1號線圈的方向，電感的絕對值略有降低。

表1 線圈端部間的電感Tab.1 Inductance values in coil ends（單位:×10-7H）

利用本文計算方法與Rmxprt軟件計算出樣機在繞成三相，不同短距比條件下的定子端部漏感見表2。

表2 不同條件下定子端部漏感Tab.2 Stator ends leakage inductance with different conditions（單位:×10-4H）

通過表2可以看出兩種方法計算出的端部漏感相差不大，說明本文所提出的圈式繞組端部漏感計算方法具有一定的正確性。但同時，表2中的數據還反映出本文所述方法的計算結果普遍大于同條件下的傳統方法的結果。出現這一現象是因為在線圈端部之間的漏感矩陣中，自漏感占據著很大的比重。在自漏感中，在線圈匝數相同的條件下，線圈端部的面積越大，線圈的自感也越大。而在線圈伸出端部的直線段部分長度和折線段部分長度相同的條件下，圈式繞組線圈端部的面積明顯大于條式繞組的值。因此，在相同條件下，本文所計算的圈式繞組的漏感值大于傳統算法的結果。

根據本文所述的計算方法，編制相應計算程序。算出樣機各相間的端部互漏感見表3。

表3 相間互漏感Tab.3 End leakage inductance between two phases（單位:×10-6H）

可以看出，互漏感矩陣中各相的自電感最大。此外，當任意兩相在電流向量圖中相對位置相同時，兩線圈端部的互電感相同，如 MA1B1= MA2B2。

利用本文所述方法，計算出樣機在不同短距比條件下的端部漏感見表4。

表4 不同短距比下的端部漏感Tab.4 End leakage inductance with different short pitch ratios（單位:×10-4H）

由表4可以看出，樣機的端部漏感隨著短距比的增大，逐步增加。

4 試驗驗證

當利用Ansoft對電機進行二維有限元仿真時，除轉子端環漏感與轉子端環電阻的實際值、定子端部漏感與定子相電阻以外，不用考慮其他漏電感和電阻參數。在以上四項中，定子相電阻可以通過試驗測得，轉子端環漏感實際值與端環電阻實際值與定子繞線方式無關，可以通過現有的公式計算得出。因此，當錄入由本文計算得到的六相電機的定子端部漏感，通過有二維有限元計算得到的結果與試驗數據對比可以用來驗證為本文所述算法。

計算得到樣機定子端部漏感為1.5647×10-4H，將其錄入Ansoft進行2D有限元仿真后得到空載條件下，定子相電流波形如圖5所示。

圖5 定子電流隨時間的變化曲線Fig.5 Graph describing stator current with different time

通過圖5可以得出電機運行穩定后的有效值為9.688A。在電源條件相同的情況下，通過試驗測得樣機空載運行穩定后定子相電流有效值為9.8A，與仿真得的到得結果誤差不到1.2%，說明本文提出的多相圈式電機定子端部漏感的計算方法具有一定的有效性。

5 結論

本文通過建立定子繞組為圈式時的定子線圈端部空間模型，推導了多相圈式感應電機的端部漏感計算公式。編程計算了某型樣機的定子端部的互漏感與不同短距比時的定子漏感，并對計算結果做出了分析。最后通過對比驗證了本文所述算法的有效性。

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